Este documento describe varias propiedades y teoremas de la transformada z, incluyendo: 1) La multiplicación por una constante, 2) La linealidad, 3) Los desplazamientos en tiempo, 4) El teorema de traslación compleja, 5) El teorema de diferenciación compleja, 6) El teorema del valor inicial, y 7) El teorema del valor final. Estos teoremas describen cómo manipular funciones en el dominio-z y extraer información sobre las funciones originales en el dominio-t.

1. 1
PROPIEDADES Y
TEOREMAS DE LA
TRANSFORMADA Z

2. 2
Transformada z: tablas

3. 3
Transformada z: tablas

4. 4
Transformada z: tablas

5. 5
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Multiplicación por una constante
Si a es una constante:
Linealidad de la transformada
Si a y b son escalares:
Multiplicación por ak

6. 6
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Desplazamientos en tiempo
Si n es un entero:
𝑍 1 𝑡 − 𝑇 = 𝑧!"
𝑧 1 𝑡 = 𝑧!"
1
1 − 𝑧!" =
𝑧!"
1 − 𝑧!"
𝑍 1 𝑡 − 4𝑇 = 𝑧!#𝑧 1 𝑡 = 𝑧!#
1
1 − 𝑧!"
=
𝑧!#
1 − 𝑧!"

7. 7
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Ejemplo
Para la función x(t) mostrada en la figura, encuentre la respectiva
transformada z, y exprésela en forma racional (numerador y
denominador). Para el cálculo considere:
a) T = 1 seg.
b) T = 2 seg.

8. 8
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Teorema de traslación compleja
Si observamos que
𝑍[𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡] =
𝑧!"
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑇
1 − 2𝑧!"𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑇 + 𝑧!#
Sustituimos z por 𝑧𝑒$%
para obtener la transformada z de 𝑒$%
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡, como sigue:
𝑍[𝑒!$%
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡] =
𝑒!$&
𝑧!"
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑇
1 − 2𝑒!$&𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑇 + 𝑒!#$&𝑧!#
De manera similar, para la función de coseno, se tiene:
𝑍[𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡] =
1 − 𝑧!"
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑇
1 − 2𝑧!"𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑇 + 𝑧!#
Mediante la sustitución de z por 𝑧𝑒$%
en la transformada z de cos wt, se obtiene
𝑍[𝑒!$%
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡] =
1 − 𝑒!$&
𝑧!"
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑇
1 − 2𝑒!$&𝑧!"𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑇 + 𝑒!#$&𝑧!#

9. 9
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Teorema de diferenciación compleja
Encuentre la transformada-z de :
Recordamos que la transformada-z del escalón unitario es
X(k) puede ser reescrita como
De aquí:

10. 10
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Teorema del valor inicial
Si x(t) tiene la transformada z X(z) y si el existe, entonces el
valor inicial x(0) de x(t) o x(k) está dado por
Este teorema es conveniente para verificar la incidencia de posibles
errores en el cálculo de la transformada z. Debido a que x (0)
normalmente se conoce.
Determine el valor inicial x(0) si la transformada z de x(t) esta dada por
𝑋 𝑧 =
1 − 𝑒!& 𝑧!"
(1 − 𝑧!")(1 − 𝑒!&𝑧!")
Mediante el uso del teorema del valor inicial, se encuentra.
𝑥 0 = lim
'→)
1 − 𝑒!& 𝑧!"
(1 − 𝑧!")(1 − 𝑒!&𝑧!")
= 0

11. 11
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Teorema del valor final
Suponga que x(k), donde x(k) = 0 para k < 0, tiene la transformada z
X(z) y que todos los polos de X(z) están dentro del círculo unitario, con
la posible excepción de un solo polo en z = 1.
Ejemplo:
Determine el valor final de:
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑧!"
−
1
1 − 𝑒!$&𝑧!"
𝑎 > 0
Mediante el uso del teorema de valor final.

12. 12
Propiedades y Teoremas de la Transformada z
Teorema del valor final
𝑥 ∞ = lim
'→"
1 − 𝑧!"
𝑋(𝑧)
𝑥 ∞ = lim
'→"
1 − 𝑧!"
1
1 − 𝑧!" −
1
1 − 𝑒!$&𝑧!"
𝑥 ∞ = lim
'→"
1 −
1 − 𝑧!"
1 − 𝑒!$&𝑧!"
= 1
Se observa que la X(z) dada es en realidad la transformada z de
𝑥 𝑡 = 1 − 𝑒!$%
Al sustituir t=∞ en esta ecuación, se tiene:
𝑥 ∞ = lim
%→)
1 − 𝑒!$%
= 1

13. 13
Propiedades y Teoremas de la Transformada z

14. 14
Propiedades y Teoremas de la Transformada z