Descargar para leer sin conexión
Más contenido relacionado
![Interpolación lagrange[1]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/interpolacin-lagrange1-131220172359-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Similar a CAP 5.2 TRANSFORMADAS DE LA PLACE.pdf
CAP 5.2 TRANSFORMADAS DE LA PLACE.pdf
- 1. TRANSFORMADAS DE LA PLACE IngBladimir Cotari Z.
- 2. Definición LA siguiente expresióndefine la Transformada de La Place de la función Ft) : 𝑓 𝑠 = 𝑒−𝑠𝑡𝐹 𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 LA transformada de una función F(t) se denota por ℒ 𝐹(𝑡) de tal forma que: 𝓛 𝑭(𝒕) = 𝒆−𝒔𝒕𝑭 𝒕 𝒅𝒕 ∞ 𝟎 = 𝒇(𝒔) Notación
- 3. TRANSFORMADAS DE LAPLACEDE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES
- 4. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DELA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- 5. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DELA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- 6. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DELA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- 7. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DELA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- 8.
- 9.
- 10.
- 11.
- 12.
- 13. Tabla de transformadasde Laplace
- 14.
- 15. EJEMPLOS 𝓛 𝒕𝟐 𝒆𝟒𝒕 = = 2 (𝑠− 4)3 𝓛 (𝒕 + 𝒂)𝟑 = = 6 𝑠4 + 6𝑎 𝑠3 + 3𝑎2 𝑠2 + 𝑎3 𝑠 𝓛 𝟑𝒆−𝒕 + 𝒔𝒆𝒏𝟔𝒕 = = 3 𝑠 + 1 + 6 𝑠2 + 36 𝓛 𝒆𝟒𝒕(𝒕 − 𝒄𝒐𝒔𝒕 = = 1 (𝑠 − 4)2 − 𝑠 − 4 (𝑠 − 4)2+1
- 16. CÁLCULO DE LATRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES LOs siguientes cálculos están basados en la tabla Ejemplo .- Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: 𝑎) 𝐹 𝑡 = 𝑡4 𝓛 𝑭(𝒕) = 𝒏! 𝒕𝒏+𝟏 = 𝟐𝟒 𝒕𝟓 b) 𝐹 𝑡 = 𝑒−2𝑡 𝓛 𝑒−2𝑡 = 𝟏 𝒔 − 𝒂 = 𝟏 𝒔 + 𝟐 𝑐) 𝐹 𝑡 = cos 5𝑡 𝓛 cos 5𝑡 = 𝒔 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 = 𝒔 𝒔𝟐 + 𝟐𝟓
- 17. CÁLCULO DE LATRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES Ejemplo 2.- Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones 𝑎) 𝐹 𝑡 = 2 3 𝑡2 − 5 𝑠𝑒𝑛 ℎ3𝑡 𝓛 2 3 𝑡2 − 5 𝑠𝑒𝑛 ℎ3𝑡 = 𝟐 𝟑 𝓛 𝑡2 − 𝟓𝓛 𝑠𝑒𝑛 ℎ3𝑡 = 2 3 ∗ 2! 𝑠3 − 𝟓 ∗ 𝟑 𝒔𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝟒 𝟑𝒔𝟑 − 𝟏𝟓 𝒔𝟐 − 𝟗
- 18. Aplicación a lasED Una ecuación diferencial, en general de orden n, puede transformarse del dominio t al dominio del plano complejo s Ejemplo .- Considérese la ecuación diferencial y’’+64y = 0 sujeta a las condiciones 𝑦 0 = 2 3 ˄ 𝑦′ 0 = − 4 3 . Utilice la transformada de Laplace para transformar esta ecuación diferencial al dominio del plano complejo s. 𝑌′′ + 64𝑌 = 0 𝑌 0 = 2 3 ˄ 𝑌′ 0 = − 4 3 Sujeta a: Aplicando propiedades 4,4 ; 4,5 𝓛 𝑌′′ + 𝟔𝟒𝓛 𝑌 = 𝓛 0 𝑠2𝑦 𝑠 − 𝑠𝑌 0 − 𝑌′ 0 + 64𝑦 𝑠 = 0 𝑠2𝑦 𝑠 − 𝑠 2 3 − − 4 3 + 64𝑦 𝑠 = 0 Simplificando y despejando y(s): 𝒚 𝒔 = 𝟐𝒔 − 𝟒 𝟑 𝒔𝟐 + 𝟔𝟒𝒔
- 19. Ejemplo Ejemplo .- Considéresela ecuación diferencial y’’+9y = 6e3t sujeta a las condiciones 𝑦 0 = 𝑦′ 0 = 0 . Utilice la transformada de Laplace para transformar esta ecuación diferencial al dominio del plano complejo s. 𝒚 𝒔 = 𝟔 𝒔 − 𝟑 𝒔𝟐 + 𝟗
- 20. DEFINICIÓN DE LATRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE La inversión del operador transformada de Laplace se define mediante: 𝓛−𝟏 𝒇(𝒔) = 𝑭 𝒕 = 𝟐𝝅𝒊 𝒇(𝒔)𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒔 𝜸+𝒊∞ 𝜸−𝒊∞ ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE Un teorema ,en el cual se establece que se puede invertir el proceso de la Transformada sin problemas, es decir, si se conoce la transformada de Laplace, es posible recuperar la función original.
- 21. ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSASDE LAPLACE
- 22. Si f(s) esfunción y su transformada inversa es F(t): ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Propiedad de la linealidad 𝓛−𝟏 𝒄𝟏 𝒇𝟏 𝒔 + 𝒄𝟐 𝒇𝟐(𝒔) = 𝑐1𝓛−𝟏 𝒇𝟏 𝒔 + 𝑐2𝓛−𝟏 𝒇𝟐 𝒔 = 𝒄𝟏𝑭 𝒕 + 𝒄𝟐𝑭(𝒕) Propiedad de traslación 𝓛−𝟏 𝒇 𝒔 − 𝒂 = 𝒆𝒂𝒕 𝑭(𝒕) Segunda Propiedad de Traslación 𝓛−𝟏 𝒆−𝒂𝒔 𝒇 𝒔 = 𝑭 𝒕 − 𝒂 ; 𝒕 > 𝒂 = 𝟎 𝒕˂ 𝒂 = 𝐹 𝑡 − 𝑎 𝑡(ﮟ − 𝑎) División por s 𝓛−𝟏 𝒇 𝒔 𝒔 = 𝑭 𝒖 𝒅u 𝑡 0 𝓛−𝟏 𝒇 𝒔 = 𝑭(𝒕)
- 23. ALGUNAS PROPIEDADES DELA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Propiedad de Convolución División por sn 𝓛−𝟏 𝒇 𝒔 𝒔𝒏 = … 𝒕 𝟎 𝑭 𝒖 𝒅𝒖𝒏 𝒕 𝟎 𝒕 𝟎 𝑺𝒊: 𝓛−𝟏 𝒇 𝒔 = 𝑭 𝒕 ˄ 𝓛−𝟏 𝒈 𝒔 = 𝑮(𝒕) 𝓛−𝟏 𝒇 𝒔 𝒈(𝒔) = 𝑭 𝒖 𝑮(𝒕 − 𝒖)𝒅u 𝒕 𝟎 Sean polinomios en los cuales Pn (s) y Qm (s)n donde Pn (s) es de grado menor que Qm(s) y Qm(s) tienen raíces an , donde k = 1, 2, 3, ...., n. Entonces: 𝓛−𝟏 𝑷𝒏(𝒔) 𝑸𝒎(𝒔) = 𝑷𝒏(𝒂𝒌) 𝑸′ 𝒎(𝒂𝒌) 𝒆𝒂𝒌𝒕 𝒏 𝒌=𝟏 Esta fórmula es válida incluso en el caso de que ak sea compleja de la forma α + βi Fórmula del Desarrollo de Heaviside
- 24. Ejemplos Ejemplo .- Encontrarla transformada inversa de Laplace , mediante la tabla de las siguientes funciones: 𝒂) 𝓛−𝟏 𝟑 𝑺𝟒 = 𝟑 𝒕𝟑 𝟑! = 𝒕𝟑 𝟐 𝒄) 𝓛−𝟏 𝟒𝒔 𝑺𝟐 + 𝟏𝟔 = 𝟒 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒕)
- 25. ALGUNAS PROPIEDADES DELA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Ejemplo 4.- Encontrar la transformada inversa de Laplace de las siguiente función: 𝑓 𝑠 = 2𝑠 − 1 𝑠2 + 2𝑠 + 5 𝑓 𝑠 = 2𝑠 − 1 𝑠2 + 2𝑠 + 5 = 2𝑠 − 1 (𝑠2+2𝑠 + 1) + 22 𝑓 𝑠 = 2𝑠 − 1 − 2 + 2 (𝑠 + 1)2+22 = 2(𝑠 + 1) − 3 (𝑠 + 1)2+22 𝑓 𝑠 = 2(𝑠 + 1) (𝑠 + 1)2+22 − 3 (𝑠 + 1)2+22 𝓛−𝟏 2(𝑠 + 1) (𝑠 + 1)2+22 − 3 𝓛−𝟏 1 (𝑠 + 1)2+22 = 𝟐𝒆−𝒕𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 − 3𝑒−𝑡 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕)
- 26.
- 27. SOLUCIÓN DE ECUACIONESDIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Un gran número de ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas mediante la transformada de Laplace . La siguiente figura muestra el esquema a seguir para resolver ecuaciones diferenciales de orden n lineales con coeficientes constantes.
- 28. Aplicación de Laplacea las EDs 𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑦 0 = 1 Ejemplo 1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial 𝑌′ + 2𝑌 = 𝑡2 + 2𝑡 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑌 0 = 1 Expresando en función de t: 𝓛 𝑌′ + 2𝑌 = 𝓛 𝑡2 + 2𝑡 Expresando en función de t: 𝑠𝑦 𝑠 − 𝑌 0 + 2𝑦 𝑠 = 2 𝑠3 + 2 𝑠2 𝑠𝑦 𝑠 − 1 + 2𝑦 𝑠 = 2 𝑠3 + 2 𝑠2 𝑦 𝑠 = 1 (𝑠 + 2) 2 𝑠3 + 2 𝑠2 𝑦 𝑠 = 𝑠3 + 2𝑠 + 2 𝑠3(𝑠 + 2) 𝑦 𝑠 = 1 𝑠3 + 1 2𝑠2 − 1 4𝑠 + 5 4(𝑠 + 2) Expresando en fracciones Aplicando la transformada inversa: 𝓛−𝟏 𝑦(𝑠) = 𝓛−𝟏 1 𝑠3 + 1 2𝑠2 − 1 4𝑠 + 5 4(𝑠 + 2) Y 𝑡 = 1 2 𝑡2 + 1 2 𝑡 − 1 4 + 5 4 𝑒−2𝑡 𝒚 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝟒 + 𝟓 𝟒 𝒆−𝟐𝒙
- 29. Aplicación de Laplacea las EDs La técnica de la transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y con condiciones iniciales. Las condiciones iniciales se incorporan en el proceso de resolución; esto hace que no sea necesario encontrar primero la solución general de la ecuación diferencial. Otra de las ventajas que ofrece este método es que la función f (t) que aparece en la ecuación no homogénea, no debe ser necesariamente continua; gracias a algunos de los teoremas vistos antes, puede ser continua a trozos, con la condición de que su transformada de Laplace exista. 4𝑦′′ − 𝑦 = 1 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑦 0 = 1; 𝑦′ 0 = 1 2 𝓛 4𝑦′′ − 𝑦 = 𝓛 1 4𝑠2𝓛 𝑦 − 4𝑠𝑦 0 − 4𝑦′ 0 − 𝓛 𝑦 = 1 𝑠 = 0 Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuación diferencial
- 30. Aplicación de Laplacea las EDs 4𝑠2 𝓛 𝑦 − 4𝑠 0 − 4 1 2 − 𝓛 𝑦 = 1 𝑠 4𝑠2𝓛 𝑦 − 2 − 𝓛 𝑦 = 1 𝑠 𝓛 𝑦 = 1 (4𝑠2 − 1) 1 𝑠 + 2 𝓛 𝑦 = 1 (2𝑠)2−1 1 + 2𝑠 𝑠 = 𝓛 𝑦 = 1 + 2𝑠 𝑠 2𝑠 − 1 2𝑠 + 1 𝓛 𝑦 = 1 𝑠 2𝑠 − 1 Se puede escribir como una suma de fracciones parciales, así: 1 𝑠 2𝑠 + 1 = 𝐴 𝑠 + 𝐵 2𝑠 − 1 = ⋯ = −1 𝑠 + 2 2𝑠 − 1 entonces: 1 𝑠 2𝑠 + 1 = 1 𝑠 − 1 2 − 1 𝑠 𝓛 𝑦 = 1 𝑠 − 1 2 − 1 𝑠 La antitransformada: 𝒚(𝒕) = 𝓛−𝟏 1 𝑠 − 1 2 − 1 𝑠 𝒚 𝒕 = 𝒆 𝟏 𝟐𝒕 − 𝟏
- 31. EJEMPLOS 𝑦′′ + 9𝑦 = 3 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡; 𝑌 0 = 0; 𝑌′ 0 = 0 𝒚 = 𝟑 𝟏𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝟏 𝟓 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑒3𝑡 ; 𝑌 0 = 0; 𝑌′ 0 = 4 𝒚 = −𝟑𝒆𝒕 + 𝟐𝒆𝟐𝒕 + 𝒆𝟑𝒕 𝑦′′ + 6𝑦′ + 13𝑦 = 10𝑒−2𝑡 ; 𝑌 0 = 3; 𝑌′ 0 = −13 𝒚 = 𝟐𝒆−𝟐𝒕 + 𝒆−𝟑𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 − 𝟑𝒆−𝟑𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕
- 32.
- 33.
- 34.
- 35.