El documento explica la transformada de Laplace, incluyendo su definición, notación, propiedades y aplicaciones a ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace convierte funciones del dominio del tiempo al dominio complejo, lo que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales. El documento también cubre la transformada inversa de Laplace y ejemplos numéricos.

1. TRANSFORMADAS
DE LA PLACE
Ing Bladimir Cotari Z.

2. Definición
LA siguiente expresión define la Transformada de La Place
de la función Ft) :
𝑓 𝑠 = 𝑒−𝑠𝑡𝐹 𝑡 𝑑𝑡
∞
0
LA transformada de una función F(t) se denota por
ℒ 𝐹(𝑡) de tal forma que:
𝓛 𝑭(𝒕) = 𝒆−𝒔𝒕𝑭 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= 𝒇(𝒔)
Notación

3. TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE
ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

4. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES
DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

5. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES
DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

6. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES
DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

7. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES
DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

8. CONCEPTOS

9. ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES

10. Ejemplo

11. ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES

12. ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES

13. Tabla de transformadas de Laplace

14. CONCEPTOS

15. EJEMPLOS
𝓛 𝒕𝟐
𝒆𝟒𝒕
= =
2
(𝑠 − 4)3
𝓛 (𝒕 + 𝒂)𝟑
= =
6
𝑠4 +
6𝑎
𝑠3 +
3𝑎2
𝑠2 +
𝑎3
𝑠
𝓛 𝟑𝒆−𝒕 + 𝒔𝒆𝒏𝟔𝒕 = =
3
𝑠 + 1
+
6
𝑠2 + 36
𝓛 𝒆𝟒𝒕(𝒕 − 𝒄𝒐𝒔𝒕 = =
1
(𝑠 − 4)2
−
𝑠 − 4
(𝑠 − 4)2+1

16. CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
DE FUNCIONES
LOs siguientes cálculos están basados en la tabla
Ejemplo .- Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
𝑎) 𝐹 𝑡 = 𝑡4 𝓛 𝑭(𝒕) =
𝒏!
𝒕𝒏+𝟏
=
𝟐𝟒
𝒕𝟓
b) 𝐹 𝑡 = 𝑒−2𝑡
𝓛 𝑒−2𝑡
=
𝟏
𝒔 − 𝒂
=
𝟏
𝒔 + 𝟐
𝑐) 𝐹 𝑡 = cos 5𝑡
𝓛 cos 5𝑡 =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
=
𝒔
𝒔𝟐 + 𝟐𝟓

17. CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE DE FUNCIONES
Ejemplo 2.- Encontrar la transformada de Laplace de las
siguientes funciones
𝑎) 𝐹 𝑡 =
2
3
𝑡2 − 5 𝑠𝑒𝑛 ℎ3𝑡 𝓛
2
3
𝑡2 − 5 𝑠𝑒𝑛 ℎ3𝑡 =
𝟐
𝟑
𝓛 𝑡2 − 𝟓𝓛 𝑠𝑒𝑛 ℎ3𝑡 =
2
3
∗
2!
𝑠3
− 𝟓 ∗
𝟑
𝒔𝟐 − 𝟑𝟐
=
𝟒
𝟑𝒔𝟑
−
𝟏𝟓
𝒔𝟐 − 𝟗

18. Aplicación a las ED
Una ecuación diferencial, en general de orden n, puede transformarse del
dominio t al dominio del plano complejo s
Ejemplo .- Considérese la ecuación diferencial y’’+64y = 0 sujeta a las
condiciones 𝑦 0 =
2
3
˄ 𝑦′ 0 = −
4
3
. Utilice la transformada de Laplace para
transformar esta ecuación diferencial al dominio del plano complejo s.
𝑌′′
+ 64𝑌 = 0 𝑌 0 =
2
3
˄ 𝑌′
0 = −
4
3
Sujeta a:
Aplicando propiedades 4,4 ; 4,5
𝓛 𝑌′′ + 𝟔𝟒𝓛 𝑌 = 𝓛 0
𝑠2𝑦 𝑠 − 𝑠𝑌 0 − 𝑌′ 0 + 64𝑦 𝑠 = 0
𝑠2𝑦 𝑠 − 𝑠
2
3
− −
4
3
+ 64𝑦 𝑠 = 0
Simplificando y despejando y(s):
𝒚 𝒔 =
𝟐𝒔 − 𝟒
𝟑 𝒔𝟐 + 𝟔𝟒𝒔

19. Ejemplo
Ejemplo .- Considérese la ecuación diferencial y’’+9y = 6e3t sujeta a las condiciones
𝑦 0 = 𝑦′ 0 = 0 . Utilice la transformada de Laplace para transformar esta ecuación
diferencial al dominio del plano complejo s.
𝒚 𝒔 =
𝟔
𝒔 − 𝟑 𝒔𝟐 + 𝟗

20. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE
LAPLACE
La inversión del operador transformada de Laplace se define mediante:
𝓛−𝟏
𝒇(𝒔) = 𝑭 𝒕 = 𝟐𝝅𝒊 𝒇(𝒔)𝒆𝒔𝒕
𝒅𝒔
𝜸+𝒊∞
𝜸−𝒊∞
ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE
Un teorema ,en el cual se establece que se puede invertir el proceso de la
Transformada sin problemas, es decir, si se conoce la transformada de Laplace, es
posible recuperar la función original.

21. ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

22. Si f(s) es función y su transformada inversa es F(t):
ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Propiedad de la linealidad
𝓛−𝟏 𝒄𝟏 𝒇𝟏 𝒔 + 𝒄𝟐 𝒇𝟐(𝒔) = 𝑐1𝓛−𝟏 𝒇𝟏 𝒔 + 𝑐2𝓛−𝟏 𝒇𝟐 𝒔 = 𝒄𝟏𝑭 𝒕 + 𝒄𝟐𝑭(𝒕)
Propiedad de traslación
𝓛−𝟏
𝒇 𝒔 − 𝒂 = 𝒆𝒂𝒕
𝑭(𝒕)
Segunda Propiedad de Traslación
𝓛−𝟏
𝒆−𝒂𝒔
𝒇 𝒔 = 𝑭 𝒕 − 𝒂 ; 𝒕 > 𝒂
= 𝟎 𝒕˂ 𝒂
= 𝐹 𝑡 − 𝑎 ‫𝑡(ﮟ‬ − 𝑎)
División por s
𝓛−𝟏
𝒇 𝒔
𝒔
= 𝑭 𝒖 𝒅u
𝑡
0
𝓛−𝟏
𝒇 𝒔 = 𝑭(𝒕)

23. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Propiedad de Convolución
División por sn
𝓛−𝟏
𝒇 𝒔
𝒔𝒏
= …
𝒕
𝟎
𝑭 𝒖 𝒅𝒖𝒏
𝒕
𝟎
𝒕
𝟎
𝑺𝒊: 𝓛−𝟏
𝒇 𝒔 = 𝑭 𝒕 ˄ 𝓛−𝟏
𝒈 𝒔 = 𝑮(𝒕)
𝓛−𝟏 𝒇 𝒔 𝒈(𝒔) = 𝑭 𝒖 𝑮(𝒕 − 𝒖)𝒅u
𝒕
𝟎
Sean polinomios en los cuales Pn (s) y Qm (s)n
donde Pn (s) es de grado menor que Qm(s) y
Qm(s) tienen raíces an , donde k = 1, 2, 3, ....,
n. Entonces:
𝓛−𝟏
𝑷𝒏(𝒔)
𝑸𝒎(𝒔)
=
𝑷𝒏(𝒂𝒌)
𝑸′
𝒎(𝒂𝒌)
𝒆𝒂𝒌𝒕
𝒏
𝒌=𝟏
Esta fórmula es válida incluso en el caso de que ak sea compleja de la forma α + βi
Fórmula del Desarrollo de Heaviside

24. Ejemplos
Ejemplo .- Encontrar la transformada inversa de Laplace , mediante la tabla de las siguientes
funciones:
𝒂) 𝓛−𝟏
𝟑
𝑺𝟒
=
𝟑 𝒕𝟑
𝟑!
=
𝒕𝟑
𝟐
𝒄) 𝓛−𝟏
𝟒𝒔
𝑺𝟐 + 𝟏𝟔
= 𝟒 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒕)

25. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE
Ejemplo 4.- Encontrar la transformada inversa de Laplace de las siguiente
función:
𝑓 𝑠 =
2𝑠 − 1
𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝑓 𝑠 =
2𝑠 − 1
𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
2𝑠 − 1
(𝑠2+2𝑠 + 1) + 22
𝑓 𝑠 =
2𝑠 − 1 − 2 + 2
(𝑠 + 1)2+22
=
2(𝑠 + 1) − 3
(𝑠 + 1)2+22
𝑓 𝑠 =
2(𝑠 + 1)
(𝑠 + 1)2+22
−
3
(𝑠 + 1)2+22
𝓛−𝟏
2(𝑠 + 1)
(𝑠 + 1)2+22
− 3 𝓛−𝟏
1
(𝑠 + 1)2+22
=
𝟐𝒆−𝒕𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 − 3𝑒−𝑡 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕)

26. Ejemplo

27. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Un gran número de
ecuaciones
diferenciales pueden
ser resueltas
mediante la
transformada de
Laplace . La siguiente
figura muestra el
esquema a seguir
para resolver
ecuaciones
diferenciales de
orden n lineales con
coeficientes
constantes.

28. Aplicación de Laplace a las EDs
𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑦 0 = 1
Ejemplo 1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial
𝑌′
+ 2𝑌 = 𝑡2
+ 2𝑡 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑌 0 = 1
Expresando en función de t:
𝓛 𝑌′ + 2𝑌 = 𝓛 𝑡2 + 2𝑡
Expresando en función de t:
𝑠𝑦 𝑠 − 𝑌 0 + 2𝑦 𝑠 =
2
𝑠3 +
2
𝑠2
𝑠𝑦 𝑠 − 1 + 2𝑦 𝑠 =
2
𝑠3 +
2
𝑠2
𝑦 𝑠 =
1
(𝑠 + 2)
2
𝑠3 +
2
𝑠2
𝑦 𝑠 =
𝑠3
+ 2𝑠 + 2
𝑠3(𝑠 + 2)
𝑦 𝑠 =
1
𝑠3
+
1
2𝑠2
−
1
4𝑠
+
5
4(𝑠 + 2)
Expresando en fracciones
Aplicando la transformada inversa:
𝓛−𝟏
𝑦(𝑠) = 𝓛−𝟏
1
𝑠3
+
1
2𝑠2
−
1
4𝑠
+
5
4(𝑠 + 2)
Y 𝑡 =
1
2
𝑡2
+
1
2
𝑡 −
1
4
+
5
4
𝑒−2𝑡
𝒚 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 +
𝟏
𝟐
𝒙 −
𝟏
𝟒
+
𝟓
𝟒
𝒆−𝟐𝒙

29. Aplicación de Laplace a las EDs
La técnica de la transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes y con condiciones iniciales. Las
condiciones iniciales se incorporan en el proceso de resolución; esto hace que no
sea necesario encontrar primero la solución general de la ecuación diferencial.
Otra de las ventajas que ofrece este método es que la función f (t) que aparece
en la ecuación no homogénea, no debe ser necesariamente continua; gracias a
algunos de los teoremas vistos antes, puede ser continua a trozos, con la
condición de que su transformada de Laplace exista.
4𝑦′′ − 𝑦 = 1 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑦 0 = 1; 𝑦′ 0 =
1
2
𝓛 4𝑦′′ − 𝑦 = 𝓛 1
4𝑠2𝓛 𝑦 − 4𝑠𝑦 0 − 4𝑦′ 0 − 𝓛 𝑦 =
1
𝑠
= 0
Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuación diferencial

30. Aplicación de Laplace a las EDs
4𝑠2
𝓛 𝑦 − 4𝑠 0 − 4
1
2
− 𝓛 𝑦 =
1
𝑠
4𝑠2𝓛 𝑦 − 2 − 𝓛 𝑦 =
1
𝑠
𝓛 𝑦 =
1
(4𝑠2 − 1)
1
𝑠
+ 2
𝓛 𝑦 =
1
(2𝑠)2−1
1 + 2𝑠
𝑠
=
𝓛 𝑦 =
1 + 2𝑠
𝑠 2𝑠 − 1 2𝑠 + 1
𝓛 𝑦 =
1
𝑠 2𝑠 − 1
Se puede escribir como una suma de
fracciones parciales, así:
1
𝑠 2𝑠 + 1
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
2𝑠 − 1
= ⋯ =
−1
𝑠
+
2
2𝑠 − 1
entonces:
1
𝑠 2𝑠 + 1
=
1
𝑠 −
1
2
−
1
𝑠
𝓛 𝑦 =
1
𝑠 −
1
2
−
1
𝑠
La antitransformada:
𝒚(𝒕) = 𝓛−𝟏
1
𝑠 −
1
2
−
1
𝑠
𝒚 𝒕 = 𝒆
𝟏
𝟐𝒕
− 𝟏

31. EJEMPLOS
𝑦′′
+ 9𝑦 =
3
2
𝑠𝑒𝑛2𝑡 ; 𝑌 0 = 0; 𝑌′
0 = 0 𝒚 =
𝟑
𝟏𝟎
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 −
𝟏
𝟓
𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕
𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑒3𝑡 ; 𝑌 0 = 0; 𝑌′ 0 = 4
𝒚 = −𝟑𝒆𝒕 + 𝟐𝒆𝟐𝒕 + 𝒆𝟑𝒕
𝑦′′
+ 6𝑦′
+ 13𝑦 = 10𝑒−2𝑡
; 𝑌 0 = 3; 𝑌′
0 = −13
𝒚 = 𝟐𝒆−𝟐𝒕
+ 𝒆−𝟑𝒕
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 − 𝟑𝒆−𝟑𝒕
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕

32. ANEXO

33. DESCOMPOSICION DE FRACCIONES

34. DESCOMPOSICION DE FRACCIONES

35. GRACIAS