La transformada Z convierte señales en tiempo discreto en el dominio complejo z, simplificando ecuaciones recursivas en algebraicas. Se define como la suma de los valores de la señal multiplicados por potencias de z. Tiene propiedades como linealidad, desplazamiento y convolución. Se usa en procesamiento digital de imágenes, filtros, control de sistemas y resonancia magnética nuclear.

1. TRANSFORMADA Z
LUIS CARLOS SARMIENTO BAEZ
EDWIN GAMBOA
EDDYE GOMEZ

2. DEFINICIONES

3.  La transformada Z es la contraparte en el tiempo discreto de la
transformada de Laplace en ella se representa señales en tiempo
discreto en el dominio de la variable compleja z.
 La transformada Z convierte ecuaciones en diferencias recursivas en
ecuaciones algebraicas simplificando la solución de los sistemas en
tiempo discreto.
Definición

4.  Se tiene en forma general la trasformada X[z] se define como:
 La TZ es generalmente compleja y su forma polar es :
 Donde r es la magnitud de z y Ω es el ángulo de z y al remplazar en la ecuación
queda :
 O de forma equivalente:

5.  De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente
para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como.
 En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es
causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con
ROC del tipo |z|>R ; es decir que converge "hacia afuera".
Transformada Z unilateral

6.  La Transformada Z inversa se define
donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de
convergencia (ROC). El contorno, C , debe contener todos los polos de X(z) . Un
caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C es el círculo
unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad),
obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:
Transformada Z inversa

7. Trasformada z en impulsos unitarios
 La transformada converge a un
punto si no ocurre que k <0 tienda a
radios infinitos y k>o tienda a 0+oj

8. Región de convergencia
 la banda de valores de la variable compleja z para la cual converge la transformada Z se denomina la región de convergencia (RDC),
la reducción de la transformada Z a la de Fourier se produce cuando la magnitud de la variable de transformación z es igual a la
unidad. De manera que la reducción se produce en el contorno del plano z complejo correspondiente a un círculo de radio unitario,
el cual jugará un papel importante en la discusión de la región de convergencia de la transformada Z . La suma de las potencias
negativas converge para Z mayor que alguna constante r 1 , y la suma de las potencia as positivas converge para z menor que alguna
otra constante r 2 . Esto muestra que la región de existencia de la transformada z bilateral es un anillo cuyos radios r 1 y r 2
dependen de x [n ].

9. Características de la región de convergencia
 Esta región pude estar dentro de un
circulo fuera de el o entre dos
círculos
 Si la transformada es racional no
puede contener polos
 Es una secuencia finita
 Trabaja con potencias negativas

10. Características de la región de convergencia
 Si x[n] es una secuencia lateral derecha, es
decir, x[n] = 0 para n< N1< ∞ , y X(z)
converge para algún valor de z, entonces la
RDC es de la forma

11. Ejemplo de convergencia

12. Numero de zeros
 Valores para los cuales la función se vuelve
0; estos solo pueden aparecer en el
numerador de la función
Números de polos
 Valores para los cuales la función se vuelve
indeterminada; estos solo pueden aparecer
en el denominador de la función

13. Variables a considerar en una transformada z
 Transformada racional
 Numerador polinómico
 Denominador polinómico
 Numero de zeros
 Numero de polos

16. PROPIEDADES

17. Propiedades de la transformada z
Linealidad
 Si x1[n] y x2[n] son dos secuencias con
transformadas X1(z) y X2(z) y regiones de
convergencia R1 y R2, respectivamente, es
decir
 Entonces
 A1 y a2 son constante arbitrarias de una
combinación lineal de las secuencias
individuales z

18. Ejemplo

19. Desplazamiento en el tiempo
 Debido a la multiplicación por z − n0 , para n0 > 0, se introducen polos adicionales en z= 0 y se
eliminarán en z = ∞ . En la misma forma, si n 0 < 0, se introducen ceros adicionales en z = 0 y se
eliminarán en ∞ = z . Por consiguiente, los puntos z= 0 y z = ∞ pueden añadirse o eliminarse
mediante corrimiento en el tiempo. En resumen, la RDC de x0[nn] −es la misma que la RDC de x [n]
excepto por la posible adición o eliminación del origen o infinito. Debido a estas últimas relaciones,
z–1 a menudo se le denomina el operador de retardo unitario y z se conoce como el operador de
avance o adelanto unitario .

20. Inversión en el Tiempo
 X [n ] ↔X (z ) R= RDC
 entonces
 En consecuencia, un polo (o cero) en X(z) en z= zk se mueve a 1/zk luego de inversión en el
tiempo. La relación R'= 1/R indica la inversión de R, reflejando el hecho de que una secuencia
lateral derecha se convierte en lateral izquierda si se invierte el tiempo, y viceversa.

21. Multiplicación por z ^no o Corrimiento en Frecuencia
 Si
 Entonces
 Por la definición dada, tenemos que
Un polo (o cero) en z= zk en X(z) se mueve a z= z0zk luego de la multiplicación por z^no y la RDC se expande o
contrae por el factor z0, y la propiedad especificada queda demostrada. Un caso especial de esta propiedad es la
relación

22.  Demostración
 Ejemplo

23.  Si la secuencia x[n] tiene transformada Z igual a X(z) con región de
convergencia R, es decir,
 entonces
 Observe que la expresión es la contraparte en tiempo discreto de la operación
de integración en el dominio del tiempo y se denomina acumulación.
Acumulación

24.  Si x1[n] y x2[n] son tales que
 entonces la transformada de la convolución de estas secuencias es dada por
 Esta relación juega un papel importante en el análisis y diseño de sistemas LIT
de tiempo discreto, en analogía con el caso de tiempo continuo.
Convolución

25.  Entonces, por la definición
 Observando que el término entre paréntesis en la última expresión es la transformada Z de la
señal desplazada, entonces por la propiedad de corrimiento en el tiempo tenemos
 Con una región de convergencia que contiene la intersección de la RDC de X1(z) y X2(z). Si un
cero de una de las transformadas cancela un polo de la otra, la RDC de Y(z) puede ser mayor. Así
que concluimos que
Demostración

26. Secuencias importantes de la transformada z
 La Secuencia Impulso unitario δ[n]
 por consiguiente,
 Es fácil demostrar
 La Secuencia Escalón Unitario u[n]
 Haciendo a= 1 obtenemos

27.  Funciones Sinusoidales
 Sea x[n]= cos=Ωon . Escribiendo x[n] como
 y usando el resultado
 En forma similar, la transformada Z de la secuencia x[n]= senΩon está dada
por
Secuencias importantes de la transformada z

28.  La expresión que define la transformada Z es una serie de potencias
donde los valores de la secuencia x[n] son los coeficientes de z^–n. Así
pues, si se da X(z) como una serie de potencias en la forma
 podemos determinar cualquier valor particular de la secuencia
determinando el coeficiente de la potencia apropiada de z^–1. Puede
pasar que este enfoque puede no proporcione una solución en forma
cerrada pero es muy útil para una secuencia de longitud finita donde X(z)
puede no tener una forma más sencilla que un polinomio en z ^–1.
Expansión en Series de Potencias

29.  Para transformadas Z racionales, se puede obtener una expansión en
serie de potencias mediante división de polinomios, como se ilustrará en
el siguiente ejemplo.
Se obtiene

30.  Igual que en el caso de transformada de Laplace inversa, el método de
expansión en fracciones parciales generalmente proporciona el método
más útil para hallar la transformada Z inversa, especialmente cuando X(z)
es una función racional de z. Sea
 Suponiendo que n≥m, es decir, el grado de N(z) no puede exceder el
grado de D(z), y que todos los polos son sencillos, entonces la fracción
X(z)/z^*es una función propia y puede ser expandida en fracciones
parciales
Expansión en Fracciones Parciales

31.  donde
 Por lo tanto, obtenemos
 Determinando la RDC para cada término a partir de la RDC total de X(z) y
usando una tabla de transformadas, podemos entonces invertir cada
término, produciendo así la transformada Z inversa completa.

32.  Si m> n, entonces se debe añadir un polinomio en z al lado derecho de la
Ec. Cuyo orden es (m– n). Entonces, para m> n, la expansión en
fracciones parciales tendrían la forma
 Si X(z) tiene polos de orden múltiple, digamos que pi es el orden del polo
múltiple con multiplicidad r, entonces la expansión de X(z)/z consistirá de
términos de la forma
 donde

33. Ejemplo

34. APLICACIONES

35. La transformada Z se utiliza en el procesamiento de
imágenes digitales. como por ejemplo los televisores
de alta definición y las cámaras digitales.
DTMF (Dual-Tone Multi-Frequency)
Filtros IIR (Respuesta al impulso infinita
o recursivos). Se trata de un tipo
de filtros digitales, el proceso de
filtrado se realiza por medio de la
evaluación de la ecuación de
diferencias que regulan el sistema.
Análisis y proyecto de circuitos digitales, los
sistemas de radar o telecomunicaciones y
especialmente los sistemas de control de procesos
por computadoras.

36. Otras aplicaciones
 La Transformada Z puede utilizarse para determinar la estabilidad de un sistema de tiempo
discreto, como por ejemplo un radar, resonador magnético entre otras cosas:
La RNM aprovecha el uso de campos magnéticos y ondas de radio
para producir imágenes de altísima calidad, lo que permite el estudio de
órganos y estructuras del cuerpo para encontrar lesiones y
enfermedades incluso en etapas iniciales.

37. Sistema Base: Antena + Plataforma +
Engranaje + Motor + Amplificador de Potencia
Antena dirigible con un movimiento angular puede recibir como señales de entrada, además de la orden de
posición de referencia, a perturbaciones externas, como fuerzas producidas por el viento, o perturbaciones en el
control producidas por errores de lectura en las mediciones de la señal de salida o en el proceso del computador.
Aplicación en ingeniería: Sistema con control con perturbaciones

38.  http://www.uru.edu/fondoeditorial/libros/pdf/moron/SISTEMAS-CAP%206.pdf
 http://gerardo-villicana-espinoza.blogspot.com/2011/12/aplicaciones-de-la-
transformada-z.html
 http://www.ieesa.com/universidades/tesis01/capt3b.pdf
 http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Arroyo%20Federico.pdf
 http://www.clinicasanantonio.cl/resonador.php
 Signals and systems (Aktay Alkin )
Bibliografia