La transformada zeta es una herramienta para el análisis de sistemas discretos. Se define como la transformada de Zappa de una secuencia discreta y generaliza el concepto de frecuencia al dominio complejo. La transformada de Z proporciona propiedades como superposición, desplazamiento y escalado que permiten modelar ecuaciones diferenciales discretas y funciones de transferencia.

1. TRANSFORMADA ZETA Señales y Sistemas

2. AGENDA DEFINICION PROPIEDADES TRANSFORMADA INVERSA ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y SISTEMAS DISCRETOS FUNCION DE TRANSFERENCIA ANALISIS DE SISTEMAS

3. TRANSFORMADA ZETA La transformada Z es una herramienta básica para el análisis y síntesis de sistemas discretos. Utilizaremos la transformada Z para la caracterización y análisis de sistemas discretos.

4. Definición de la Transformada Z Utilización: análoga a la de la transformada de Laplace en tiempo continuo

5. Definición de la Transformada Z Se define la Transformada Z, X(z) de una secuencia x[n] La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al dominio complejo como Para una secuencia x[n]={6 4 3 2 -3} , la Transformada Z es X(z)=6z2+4z1+3z0+2z-1-3z-2. El valor z-1 es el operador de retraso unidad.

6. Definición de la Transformada Z Ya que X(z) es una series de potencias, podría no converger para todo z . Los valores de z para los cuales X(z) converge definen la región de convergencia (ROC). Toda X(z) lleva asociada una ROC, ya que podría ocurrir que dos secuencias distintas produzcan una X(z) idéntica con diferentes ROCs.

7. La ROC y la relación entre T z y la TF en tiempo discreto Solo depende de r = | z | , al igual que la ROC en el plano de s depende solo de Re(s). Circulo unitario (r=1) en la ROC  existe la TF X(e j  ) en tiempo discreto

8. ROC Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z , excepto para z=0 y/o z=∞ (dependiendo de si X(z) tiene términos z -k y/o z k ). Transformadas Z de algunas secuencias: Impulso Unidad x[n] =  [n]  X(z) = 1 , ROC -∞<z<∞ Pulso Rectangular x[n] = u[n]-u[N-n]  Escalón Unitario x[n] = u[n] 

9. Ejemplo 1 Si | az -1 | <1, es decir |z |> |a | Es decir, ROC |z |> |a | fuera del circulo

10. Ejemplo 2 Si | a -1 z| <1, es decir |z |< |a | Es decir, ROC |z |< |a | dentro del circulo

11. Observación En estos dos últimos ejemplos se observa que la Transformada Z es idéntica para las dos secuencias. Sin embargo la ROC es distinta. Para la secuencia causal, la ROC es |z|>| a | , mientras que para la anticausal |z|<| a | . La ROC dependerá de si la señal es causal (definida en el eje positivo), anticausal (eje negativo) o no causal (dos ejes).

12. Propiedades Superposición ax[n]+by[n]  aX[z] + bY[z] Desplazamiento x[n-1]  z -1 X[z]+x(-1) x[n-N]  z -N X[z]+z -(N-1) x(-1)+…. x(-N) x[n+N]  z N X[z]-z N x(-1)-…. zx(N-1)

13. Propiedades Escalado a n x[n]  X[z/a] Multiplicado por n nx[n]  -zdX[z]/dz n 2

14. Propiedades Multiplicado por cos sin

15. Propiedades Convolucion Diferencia

16. Propiedades Teorema del Valor Inicial Teorema del Valor Final

17. Algunas Transformadas Z Secuencia Transformada Z ROC  (n) 1 Todo z  (n-m),m>0 z -m | z |>0  (n+m),m>0 z m | z |<∞  (n) z/(z-1) | z |>1  (-n-1) z/(z-1) | z |<1

18. Secuencia Transformada Z ROC a n  (n) z/(z-a) | z |>a -a n  (-n-1) z/(z-a) | z |<a na n  (n) az/(z-a) 2 | z |>a Cos(  o nT)  (n) | z |>1 Sin(  o nT)  (n) | z |>1 r n Cos(  o nT)  (n) | z |>r r n Sin(  o nT)  (n) | z |>r

19. Transformada Inversa La transformada Z es una secuencia de muestras que esta escrita por definición: X(z)=x(0)+x(T)z -1 +x(2T)z -2 +…… Si podemos manipular X(z) en esta forma, los valores de la muestras, x(nT), pueden ser determinados por inspección. Esto se logra por una división donde X(z) es expresada como una relación polinomial en z. Antes de dividir es conveniente arreglar tanto el numerador como el denominador en potencias ascendentes de z -1 .

20. Ejemplo

21. Propiedades de la ROC La ROC de X ( z ) consiste en un anillo en el plano z centrado aproximadamente en el origen (equivalente a una tira vertical en el plano s ) La ROC no contiene ningún polo

22. Propiedades de la ROC Si x [ n ] tiene duración finita, la ROC constituye todo el plano z , excepto posiblemente en z = 0 y/o z = ∞. Si x [ n ] es una secuencia del lado derecho, y si | z | = r o se encuentra en la ROC, todos los valores finitos de z para los cuales | z | > r o se encuentran (converge más rápido que) también en la ROC.

23. Propiedades de la ROC Si x [ n ] es una secuencia del lado izquierdo, y si | z | = r o se encuentra en la ROC, todos los valores finitos de z para los que 0 < | z | < r o se encuentran también en la ROC. Si x [ n ] es bilateral, y si | z | = r o se encuentra en la ROC, la ROC consiste en un anillo en el plano z que incluye el círculo | z | = r o . A que tipo de señales corresponden las siguientes ROC?

24. Ejemplo

25. Sistemas Discretos en Tiempo Con la transformadas Z, tenemos la herramienta necesaria para explorar los sistemas discretos en el tiempo. Propiedades de los Sistemas: Sistemas Invariante en el Tiempo Sistemas Causales y no Causales: Un sistema discreto en tiempo es causal si y solo si: implica

26. Sistemas Discretos en Tiempo En otras palabras, si la diferencia entre dos entradas a un sistema es cero para n<n o , la diferencia entre las salidas respectivas debe ser cero. Sistemas Lineales: Un sistema discreto es lineal si y solo si: Donde Sistemas Estables: Un sistema lineal discreto es estable BIBO si:

27. Sistemas Discretos Pero se sabe que la entrada es limitada, es decir: De esto, se puede observar que Entonces la estabilidad del sistema se reduce a comprobar que

28. ECUACIONES DE DIFERENCIAS La ecuación diferencial modela un sistema de tiempo continuo, la ecuación de diferencia modela un sistema de tiempo discreto. Veamos el siguiente ejemplo de ecuación diferencial La salida del sistema puede ser expresada de la forma: Lo que nos dice que el valor presente de la salida del sistema, y(t) depende de valores previos de la entrada del sistema y es también una función de valores pasados de la salida del sistema

29. Un sistema discreto opera de la misma manera, ya que la salida presente del sistema depende de la entrada presente x(nT), entradas pasadas x(nT-kT) y salidas pasadas del sistema y(nT-kT) . La estructura de tal procesador sigue la ecuación de diferencias general ECUACIONES DE DIFERENCIAS

30. x(nT) x(nT-T) x(nT-2T) x(nT-rT) L 0 L 1 L 2 L r Z y(nT) y(nT-T) y(nT-2T) y(nT-mT) -K 1 -K 2 -k m PROCESADOR LINEAL DE DIGITAL

31. FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA Aplicando la transformada Z a ambos lados de la ecuación de diferencia usando la propiedad de retardo. La relación entre Y(z) y X(z) definen la función de transferencia del sistema H(z). Por definición, se sabe que si la entrada al sistema discreto es la función pulso unitario, la salida del sistema es H(z). Con la transformada inversa de zeta obtendremos que y(nT) = h(nT)

32. FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA Podemos expresar la función de transferencia factorizada Se denominan polos del sistema a los valores p 1 ,p 2 ,...,p m . Determinan la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema). Los ceros del sistema ( z 1 ,z 2 ,...,z r ) determinan las frecuencias bloqueadas por el sistema.

33. El plano z y Estabilidad del Sistema La estabilidad de un sistema LTI discreto requiere que la respuesta al impulso h[n] sea absolutamente sumable (integrable en continuo). Esto quiere decir que h[n]=0 en n=∞ . Para ello es necesario que los polos de la función de transferencia H(z) estén todos dentro del círculo unidad en el plano z ( |p i |<1 ). Esto evita que la respuesta tenga exponenciales crecientes. La estabilidad de una función de Transferencia puede determinarse simplemente inspeccionando los coeficientes del denominador de la función de Transferencia. Para ello, debe estar en forma de términos de 2º Orden,

34. Para cada uno de los términos de 2º Orden podemos calcular las raíces (  1i y  2i ) del denominador de la siguiente forma: Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple La raíces deben estar dentro del círculo unidad, por lo que |  1i | <1 y |  2i | <1. Esto implica que el coeficiente |  2i |<1 .

35. RAICES DEL POLINOMIO  1i  2i 1 -1 1 2 -1 -2

36. Transformada Inversa por Inversión de la Integral

37. Ejemplo de un Sistema Discreto

38. Ejemplo de un Procesador Digital k x(nT)  z -1  y(nT) + +