Este documento introduce la transformada Z como una herramienta matemática útil para el análisis de señales discretas y sistemas de tiempo discreto. Explica cómo mapear entre el dominio del tiempo y el dominio Z, y calcula las transformadas Z de funciones comunes como el impulso, escalón y rampa. También cubre propiedades como linealidad, desplazamiento y convolución. Finalmente, muestra cómo usar la transformada Z para convertir ecuaciones en diferencias en ecuaciones algebraicas.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGIENERÍA ELECTRÓNICA
EXTENSIÓN MATURÍN
PROFESOR : BACHILLER:
Ing. Cristóbal Espinoza Lugo Noelcris V- 25.363.385
ASIGNATURA:
Teoría Moderna de Control
Maturín, Marzo 2019

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ÍNDICE
(Pág.)
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................3
CONTENIDO ........................................................................................................................4
TRANSFORMADA Z DE UNA SECUENCIA. MAPEO ENTRE PLANO S Y Z .....4
TRANSFORMADA Z DEL IMPULSO, ESCALON, RAMPA Y PARABOLA
UNITARIA..........................................................................................................................5
PROPIEDAD DE LINEALIDAD, DESPLAZAMIENTO, SIMILITUD,........................7
DIFERENCIACION, INTEGRACION Y CONVOLUCION .........................................7
TRANSFORMADA Z INVERSA.....................................................................................9
ECUACIONES EN DIFERENCIAS .............................................................................10
EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................11
CONCLUSIÓN....................................................................................................................20
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................21

3. 3
INTRODUCCIÓN
A través de la historia el hombre ha creado herramientas para facilitar el
desarrollo de las diferentes labores para los diversos campos de acción
empleados en su vida cotidiana. La ciencia y la tecnología como parte de esa
cotidianidad no ha sido ajena al avance constante que en la historia ha
caracterizado al ser humano. Los conceptos de señales y sistemas aparecen en
una variedad muy amplia de campos, las ideas y técnicas asociadas con estos
conceptos juegan un papel importante en áreas tan diversas de la ciencia
tecnología como comunicaciones, aeronáutica, astronáutica, diseño de circuitos,
acústica, sismología, ingeniería biomédica, sistemas de generación y distribución
de energía, control de procesos químicos y procesamiento de voz.
Por este motivo esta investigación está dirigida a estudiar la transformada z
que es un método matemático que se emplea entre otras aplicaciones, para n el
estudio de procesamientos de señales digitales, análisis de sistemas de radar,
telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por
computadora. Además es una herramienta muy útil para el análisis de diferentes
tipos de señales, tanto en el dominio del tiempo como en la frecuencia.
La importancia del modela de la transformada Z radica en que permite
reducir ecuaciones en diferencias o ecuaciones recursivas con coeficiente
constantes a ecuaciones algebraicas lineales, este tipo de ecuaciones provienen
de todo tipo de sistemas digitales utilizados para control, procesamiento de
imágenes, sonido entre otros.

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CONTENIDO
TRANSFORMADA Z DE UNA SECUENCIA. MAPEO ENTRE PLANO S Y Z
La transformada Z, se considera semejante a las secuencias de tiempo de
la transformada de Laplace. Este misma puede tomarse como una extensión den
la transformada de fourier discreta. El transformado Zn se usa para representar
señales en el tiempo discreto o secuencias en el dominio de la variable compleja Z
paran luego describir el concepto de la función del sistema para un sistema lineal
invariante con el tiempo.
Para una secuencia general x[n] =... x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ... la
transformada z , X(z) de x[n] se define como:
Sea la secuencia aplicada a la entrada de un sistema caracterizado por su
respuesta al impulso h[n] la salida y[n] se obtiene mediante la convolución:
Donde 𝑍 𝑛
se puede considerar como una función propia y como el valor propio
asociado que corresponde con la transformada z de la respuesta al impulso del
sistema.
Una manera de considerar la transformada Z de una secuencia es pensar
que Z1 se usa para enumerar el lugar de una muestra particular. En la secuencia
3, 2, 1, 0, 0,... la muestra de valor 3 se presenta primero en t=0. La muestra de
valor 2 se presenta después; se retrasa un período de muestreo con respecto a la
primera muestra y se indica con Z-1 para indicar este retardo. La muestra final de

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valor 1 se presenta dos períodos de muestreo después de la primera y se marca
con Z-2 para indicar este hecho. El uso de Z-1 sirve para tener un registro completo
cuando se trabaja con secuencias temporales de números. Multiplicar por Z es
equivalente a adelantar un intervalo de muestreo, mientras que dividir entre Z es
equivalente a retrasar un intervalo de muestreo.
Para el mapeo entre el plano S y Z se dice que en vista de que las variables
complejas s y z están relacionadas mediante 𝑧 = 𝑒 𝑇𝑠
, la localización de los polos y
los ceros en el plano z está relacionado con la localización de los polos y ceros del
plano s. Por lo tanto, la estabilidad del sistema en lazo cerrado en tiempo discreto
lineal e invariante con el tiempo puede determinarse con base en las posiciones
de los polos de la función de transferencia pulso en lazo cerrado. Debe observarse
que el comportamiento dinámico del sistema de control en tiempo discreto
depende del período de muestreo T.
TRANSFORMADA Z DEL IMPULSO, ESCALON, RAMPA Y PARABOLA
UNITARIA
Transformada Z del impulso:
 Impulso unitario: Definiendo la secuencia impulso unitario δ (k) = 1 para k
= 0, su transformada se determina de la siguiente forma :
∆( 𝑧) = 𝑍[ 𝛿( 𝑘)] = ∑ 𝛿( 𝑘) 𝑧−𝑘
𝑛
𝑘=𝑜
= 𝛿(0)+ 𝛿(1) 𝑧−1
+ 𝛿(2) 𝑧−2
+ ⋯…
 Impulso retrasado: Definiendo un impulso retrasado m unidades de tiempo
discreto y retomando la propiedad de corrimiento hacia la derecha, se
obtiene el siguiente par de transformación:
f (k) = δ (k − m)
𝐹( 𝑧) = 𝑍[ 𝛿( 𝑘 − 𝑚)] = 𝑧−𝑚

6. 6
 Escalón unitario: Se determina o se define por la siguiente expresión:
𝑢( 𝑘) = −1 𝑘
𝐾 = 0,1,2,3 …. . , 𝑛.
La transformada se obtiene de acuerdo con el siguiente desarrollo:
𝑈( 𝑘) = ∑ 𝑢( 𝑘) 𝑧−𝑘
= 𝑢(0) + 𝑢(1)𝑧−1∞
𝑘=0 + 𝑢(2) 𝑧−2
+ ⋯ + 𝑢(𝑘)𝑧−𝑘
+…
𝑢( 𝑧) = lim
𝑁→∞
∑ 𝑧−𝑘
𝑁−1
𝑘=0
= lim
𝑁→∞
∑(𝑧−1
) 𝑧
𝑁−1
𝑘=0
= lim
𝑁→∞
1 − 𝑧−𝑁
1 − 𝑧−1
∴ 𝑢( 𝑧) =
1
1−𝑧−1 En la región | 𝑧| =≻ 1
| 𝑧| =≻ 1 es la región de convergencia de la transformada U(z), la cual se anuncia
normalmente como:
𝑢( 𝑧) =
𝑧
𝑧 − 1
 Rampa: f (k) = k k = 0,1, 2, 3, .. . , n.
A continuación se desarrolla brevemente la obtención de la transformada de
una rampa discreta.
Multiplicando la ecuación anterior por − z y considerando a = 1, se obtiene
finalmente la expresión de la transformada de una rampa:
𝐥𝐢𝐦
𝑵→∞
∑ 𝑲𝒛−𝑲
∞
𝒌=𝟎
=
𝒛
(𝒛 − 𝟏) 𝟐
| 𝑧| =≻ 1

7. 7
𝐹( 𝑍) = ∑ 𝐾𝑧−𝐾
∞
𝑘=0
Para una secuencia geométrica se tiene:
∑ 𝑎 𝐾
𝑧−𝑘
𝑧
𝑧 − 𝑎
∞
𝑘=0
Derivando con respecto 𝑎 𝑧
𝒅
𝒅𝒛
∑ 𝒌𝒂 𝑲
𝒛−𝒌−𝟏
=
𝒅
𝒅𝒛
𝒛
𝒛 − 𝒂
=
( 𝒛 − 𝒂) − 𝒛
(𝒛 − 𝒂) 𝟐
∞
𝒌=𝟎
=
−𝒂
(𝒛 − 𝒂) 𝟐
Así pues:
− ∑ 𝒌𝒂 𝐾
𝑧−𝑘−𝟏
= −
𝒂
(𝒛 − 𝒂) 𝟐
∞
𝑘=0
PROPIEDAD DE LINEALIDAD, DESPLAZAMIENTO, SIMILITUD,
DIFERENCIACION, INTEGRACION Y CONVOLUCION
 Linealidad: Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con
transformadas X[Z] y X2[Z], entonces:
Z (a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]
Siendo a1 y a2 constantes arbitrarias
 Desplazamiento temporal: Sea X[n] una secuencia causal con
transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :

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Simultáneamente, se puede demostrar que:
 Diferenciación con respecto a Z: Si se deriva la expresión
que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se
tiene:
De la expresión anterior se deduce que:
Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:
 Convolución: La convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es
más que el producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias,
es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el
tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z]
Donde H[Z] es la transformada de h[n].

9. 9
Para obtener la salida y[n] bastará hallar la transformada inversa de y[Z].
TRANSFORMADA Z INVERSA
La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo
papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo.
Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos
para hallar la transformada Z inversa.
La notación para la transformada Z inversa será Z-1. La transformada Z inversa de
X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n].
También se dice que es la operación que permite obtener la secuencia temporal a
partir de su transformada z:
𝑧−1{ 𝑥(𝑧)} = [𝑥 𝑘}
 Método de serie infinita de potencias: en este se realiza la división entre
el numerador y el denominador de la transformada Z. los coeficientes serán
la representación temporal de la secuencia.
 Método de descomposición en fracciones simples: Se trata de
descomponer la representación en transformada Z en fracciones simples y
aplicar las equivalencias correspondientes a cada fracción buscando en las
tablas de la transformada Z.
Cuando la transformada Z tiene en su numerador un término Z es mejor
descomponer
𝑥(𝑧)
𝑧
en lugar de x(z) directamente.

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ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Dada una ecuación en diferencias de orden n, utilizamos las propiedades
de la transformada Z, en especial las de linealidad y desplazamiento,
para transformarla en una ecuación algebraica.
La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas secuencias,
usando la propiedad de desplazamiento.
Función Discreta Transformada Z
X[n+4] Z4X[Z]-Z4X[0]-Z3[1]-Z2X[2]-ZX[3]
X[n+3] Z3X[Z]-Z3X[0]-Z2X[1]-ZX[2]
X[n+2] Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]
X[n+1] ZX[Z]-ZX[0]
X[n] X[Z]
X[n-1] Z-1X[Z]
X[n-2] Z-2X[Z]
X[n-3] Z-3X[Z]
X[n-4] Z-4X[Z]

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EJERCICIOS RESUELTOS

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CONCLUSIÓN
Las transformadas Z es una excelente técnica la cual, a pesar de tener su
sustento practico definido, como consecuencia de la tecnología se reinventa para
aplicarse, en este caso particular una de las necesidades humanas
fundamentales, que es la comunicación, y dentro del contexto tecnológico a las
telecomunicaciones. Cabe destacar que las telecomunicaciones obedecen a un
sistema de comunicación que incluye equipos electrónicos e inclusive la
manipulación de señales digitales, las cuales vienen compuestas por unos
parámetros discretos
Se puede relacionar este proceso, con la telefonía móvil, con un radar, o con
la operación de diversos equipos, entre otros, cuando estos poseen o manipulan
señales, como un factor de entrada y salida.
Finalmente se puede decir que la transformada Z es un desarrollo importante
en muchas áreas de la ingeniería moderna ya que a través de esta técnica se
permite el reemplazo de dispositivos analógicos por digitales, de tal manera que
representa un conocimiento que permite satisfacer las necesidades del ser
humano.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Domínguez, S., Campoy, P., Sebastián, J. M., & Jiménez, A. (2006). Control
en el espacio de estado. Madrid: Pearson Educación S. A.
 García Jaimes, L. E. (2009). Control digital. Teoría y práctica. Medellín.
 Transformada%20Z_corregido.pdf
 http://aprendeenlinea.udea.edu.com
 http://www4.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tema7.pdf