Este documento presenta la transformada de Laplace como una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales. Primero introduce la transformada de Laplace y sus condiciones de existencia. Luego, describe propiedades clave como la linealidad y cómo se aplican la transformada a funciones derivadas e integrales. Finalmente, introduce dos teoremas de traslación y cómo se puede usar la función escalón unitario con la transformada de Laplace. El documento proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para ilustrar el uso de la transformada de Laplace en la resolución de e

1. 1
“EscuEla politécnica
nacional”
INGENIERIA EN SISTEMAS INFORMATICOS Y DE
COMPUTACION
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Integrantes:
Cerón Laura
chirau diana
tacán Deysi
Velasco kevin

2. 2
Índice
1. Introducción……………………………………………………………….3
2. Objetivos…………………………………………………………………..4
3. Transformada de Laplace ……………………………………………....5
3.1 Reseña Histórica…………………………………………………….5
3.2Definición de Transformada de Laplace……………………………5
3.3Condiciones suficientes de existencia de la TL……………………6
3.4Unicidad de la TL……………………………………………………..6
4. Propiedades operacionales…………………...………………………..7
4.1 Linealidad…………………………………………………………….7
4.2 Transformada de la integral……………………………………….10
4.3 Transformada de la convolución………………………………….11
5. Primer Teorema de Traslación…………………………………………12
5.1 Forma inversa del primer teorema de traslación………………..13
6. Función escalón unitario………………………………………………..14
7. Segundo teorema de traslación………………………………………..18
7.1 Forma alternativa del segundo teorema de traslación………….19
7.2 Forma inversa del teorema de traslación…………………………20
8. Derivada de una transformada de Laplace……………………………21
8.1 Definición……………………………………………………………..21
8.2 Transformada de Laplace de las derivadas de una función……22
9. Ejercicios…………….…………………………………………………….23
9.1 Ejercicios resueltos………………………………………………….23
9.2 Ejercicios propuestos……………………………………………….25
10.Conclusiones …………………………………………………………….29
11.Bibliografía………………………………………………………………. 30

3. 3
1. INTRODUCCIÓN
La Transformada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina
Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea,
junto con la Transformada de Fourier, una de las herramientas más útiles para
estos efectos. En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias como las que surgen al analizar, por ejemplo, circuitos
electrónicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a
ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas
algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. Este método se
puede ilustrar con el siguiente esquema:
El objetivo del método es que modificar el problema usando la transformada de
Laplace y posteriormente usar la Transformada Inversa, sea más fácil que resolver
la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil
cuando las funciones involucradas no son continuas.
Para poder hacer efectivo este método se requiere de varios resultados previos,
junto con presentar la transformada de Laplace y utilizarla para obtener la
transformada de funciones básicas, como las potencias o la función exponencial,
estudiamos qué características debe tener una función para que exista su
transformada.
Posteriormente, para poder utilizar la transformada de Laplace en la resolución de
ecuaciones diferenciales, estudiamos diversos teoremas relacionados con la
derivada y la integral de funciones.

4. 4
2. OBJETIVOS
 Comprender la teoría de la transformada inversa de Laplace, así
como también encontrar y entender la relación que entre cada
una de las propiedades para resolver ejercicios.
 Aplicar la transformada de Laplace y su transformada inversa
para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
 En este trabajo se pueden apreciar los teoremas de Laplace, así
como algunos problemas y ejemplos de los mismos y una breve
explicación de los mismos.
 Analizar la utilización de los diferentes propiedades operaciones
de Laplace.

5. 5
3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 Reseña Histórica
"Podemos mirar el estado presente del
universo como el efecto del pasado y la causa
de su futuro.
Se podría condensar un intelecto que en
cualquier momento dado sabría todas las
fuerzas que animan la naturaleza y las
posiciones de los seres que la componen, si
este intelecto fuera lo suficientemente vasto
para someter los datos al análisis, podría
condensar en una simple fórmula el
movimiento de los grandes cuerpos del
universo y del átomo más ligero; para tal
intelecto nada podría ser incierto y el futuro así
como el pasado estarían frente sus ojos."
3.2 Definición de Transformada de Laplace
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define
como:
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
donde s es una variable compleja .iws
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
Se observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus
límites es infinito:
0 0
( ) lim ( )
h
s t s t
h
e f t dt e f t dt
Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)

6. 6
Notación:
3.3 Condiciones suficientes de existencia de la TL
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
),0[,|)(| tMetf at
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
0|)(|lim bt
t
etftqb
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe s > a
3.4Unicidad de la TL
Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL:
entonces el teorema de Lerch garantiza que
( ) ( ),f t F sL
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
L
L
L{f
1
(t) } = L{f
2
(t) }= F(s),

7. 7
)()()(
:pordefinidanulafunciónlay0
0)(
21
0
tftftN
N(t)a
dttN
a
4. PROPIEDADES OPERACIONALES
Una vez estudiada la definición de Transformada de Laplace y caracterizadas
algunas condiciones para que una función f tenga Transformada de Laplace L[f]
definida en un dominio del plano complejo Df, pasamos a estudiar algunas
propiedades básicas de esta transformada integral. La primera propiedad que
vamos a estudiar es la linealidad.
4.1 Linealidad
Esta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de
algunas funciones.
Teorema1:Sean f, g ∈ E y a, b ∈ C. Entonces para todo z ∈ Df ∩ Dg se verifica
que
[af + bg](z) = a [f](z) + b [g](z).
La demostración se sigue inmediatamente de la linealidad de la integral.
Consideremos:
)]([)]([bgafL
))(lim)((limbgafL
))()((limbgafL
))()((bgafL
0 0
0
0
zgbLzfaLz
dttgebtfeaz
dttbgtafez
dttbgtafez
x x
zt
x
zt
x
x
zt
x
zt

8. 8
A partir de la linealidad de la Transformada de Laplace podemos obtener nuevas
Transformadas de funciones elementales, como muestran los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
Función seno. Sea ω ∈ R y consideremos la función
Función seno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función

9. 9
Se dice que la función f ∈ E es derivable a trozos si es continua, existen las
derivadas laterales de f en cada punto de [0,+∞) y en cada subintervalo [a, b] ⊂
[0,+∞) existen a lo sumo una cantidad finita de puntos donde f no es derivable.
Si f es derivable a trozos, definimos f0: [0,+∞) → C como f0(x) = f0+(x) para todo x
∈ [0,+∞). Es claro entonces que f0 es una función continua a trozos, que coincidirá
en casi todos los puntos con la derivada ordinaria. Se tiene entonces el siguiente
resultado.
Teorema 2: Bajo las condiciones anteriores se verifica para todo z ∈ Df.
Sean z ∈ Df y x > 0 y consideremos
0 < x1 < x2 <...< xn−1 < x
Los puntos de discontinuidad de f0 en el intervalo (0, x) y fijemos x0 = 0 y
Xn = X. Entonces, dividiendo el intervalo de integración y utilizando la fórmula de
integración por partes.
Tomando límites cuando x → +∞, y teniendo en cuenta que z ∈ D∗ f y que por
tanto existen A,B ∈ R, A > 0, ez > B, tales que:
(1.5)

10. 10
Procediendo por inducción a partir de la fórmula (1.5) se prueba una fórmula
general para la derivada k-ésima de la función f en el caso de que fk−1) sea
derivable a trozos para k ∈ N. Esta fórmula viene dada para todo z ∈ D∗ f por
(1.6)
Donde las derivadas sucesivas de f en 0 se entienden como derivadas por la
derecha. Las fórmulas 1.5 y 1.6 serán claves para resolver ecuaciones y sistemas
diferenciales lineales con coeficientes constantes, como veremos en el apartado
de aplicaciones de este tema.
4.2 Transformada de la integral
Sea f ∈ E y definamos la función
Que obviamente está bien definida y es continua para todo t ∈ [0,+∞). La relación
entre las Transformadas de Laplace de ambas funciones viene dada por el
siguiente resultado.
Teorema 3: En las condiciones anteriores, para todo z ∈ D∗ f ∩{z ∈ C : ez > 0}
se verifica
Sea x > 0 y consideremos
0 = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = x de manera que f no es continua en xi para 1≤ i <
n. Obviamente g es derivable en (xi, xi+1)
Para 1 ≤ i < n. Entonces

11. 11
Teniendo en cuenta la continuidad de g y g(0) = 0. Vamos a comprobar que
Para ello y dado que f ∈ E, existirán reales B y A > 0 de manera que |f(t)| ≤ AeBt
para todo t ≥ 0. Sea
4.3 Transformada de la convolución
Sean f, g ∈ E y definamos f(t) = g(t) = 0 para todo t < 0. Se define la convolución
de f y g como la función
Puede verse con el cambio de variable y = t − s que f * g = g * f. El principal interés
de la convolución respecto a la Transformada de Laplace se concreta en el
siguiente resultado.
zx
x
exg )(lim

12. 12
Teorema 4:En las condiciones anteriores, para toda z ∈ Df ∩ Dg se verifica la
fórmula
[f * g](z) = [f](z) [g](z).
En primer lugar, existen números reales B y Ai > 0, i = 1, 2, de manera que para
todo t ≥ 0 se verifica
|f(t)| ≤ A1eBt
y |g(t)| ≤ A2eBt.
Entonces para todo t ≥ 0
5. PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
A veces es útil, para enfatizar, emplear el simbolismo
)( ass
Ejemplo:
a) )5(ss 4)5(
1.2.3
s
ss )5(ss 4
)5(
6
s
b) )2(ss
2a

13. 13
2)2( ssas
)2(ss )2(ss
16)2(
2
2
s
s
5.1 Forma inversa del primer teorema de traslación
La forma inversa del teorema es:
)()( asssF
Ejemplo:
a) Completar el cuadrado para determinar
Evalúe }
Solución.Si tuviera factores reales, emplearíamos fracciones
parciales; pero como este término cuadrático no se factoriza, completamos su
cuadrado.
b) Completar el
cuadrad y

14. 14
linealidad
Evalúe }
SOLUCIÓNCompletamos el cuadrado en el segundo denominador y aplicamos la
linealidad como sigue:
6. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Función escalón unitario En ingeniería se presentan con mucha frecuencia
funciones que pueden estar “encendidas” o “apagadas”. Por ejemplo, una fuerza
externa que actúa sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito
se pueden apartar después de cierto tiempo. Por ello, es conveniente definir una
función especial, llamada función escalón unitario.
La función se define como sigue:
La función escalón de Heaviside , también llamada función escalón unitario,
debe su nombre a Oliver Heaviside. Es una función continua cuyo valor es 0 para
cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

15. 15
Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales,
representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda
prendida indefinidamente.
Es la integral de la función delta de Dirac.
Función escalón considerando u(0) = 1/2
El valor de u(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como u(0) = 0, otros
u(0) = 1. u(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría
de la función, y permite una representación de la misma a través de la función
signo:
Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para u(0), de la
siguiente forma:

16. 16
Una forma de representar esta función es a través de la integral
La función escalón unitario o función de Heaviside se define
como
Observación: la función de heaviside se definió sobre el intervalo , pues
esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general
para .
Ejemplo:
Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función está dada por
y su gráfica se muestra en la figura

17. 17
Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función ,
definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra
en siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función está dada por
La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a
trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Use la función de Heaviside para reescribir la función

18. 18
Solución
Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside
Observación: la función
Se escribe usando la función de Heaviside como
7. SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION
Ejemplo:
Evalúe
Solución.
Identificamos a=2, entonces según el teorema tenemos:

19. 19
Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace sólo de la función
escalón unitario. Esto se puede hace, partiendo del segundo teorema de
traslación. Si identificamosf(t) = 1 entoncesf(t - a) = 1, F(s) = { 1 } = 1/s y así:
7.1Forma alternativa del segundo teorema de traslación
Con frecuencia sucede que debemos determinar la transformada de Laplace de un
producto de una función g por una función escalón unitario (t - a), cuando la
función g carece de la forma f(t - a) desplazada que se requiere en el segundo
teorema de traslación. Para hallar la transformada de Laplace de g(t) (t - a) es
posible “arreglar” a g(r) con manipulaciones algebraicas, para forzarla a adquirir la
forma deseada f(t - a); pero como esas maniobras son tediosas y a veces no son
obvias, es más sencillo contar con una versión alternativa al teorema
Emplearemos (t - a) y la sustitución u = r - a, para obtener:
Esto es,
Ejemplo:
Evalúe
Solución.
Hacemos g(t) = sen (t), a = 29 y tenemos g(t + 2 ) = sen (t + 2 = sen t porque
la función seno tiene periodo 2 . De acuerdo con la ecuación con la forma
alternativa del teorema de traslación

20. 20
7.2 Forma inversa del teorema de traslación
Si , la forma inversa del segundo teorema de traslación, cuando
a>0, es:
Ejemplo:
Evalúe

21. 21
8. DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA DE LAPLACE
8.1Definición
Sea f(t) continua en (0,∞) y de orden exponencial a y sea f´ seccionalmente
continua en [0,∞). Entonces
[f´(t)] = s F(s) - f(0+
), (s >α)
Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por
salto en t = a > 0 , entonces :
[ f´(t)] = s F(s) - f(0+
) - e-as
[f(a+
)-f(a-
)]
Análogo si existen varias discontinuidades por salto.
Si f, f’ , ... , f(n-1)
son continuas en (0,∞) y de orden exponencial α y f(n)
es
seccionalmente continua en [0,∞), entonces :
[f(n)
(t)] (s) = sn
F(s) - sn-1
f(0+
) - sn-2
f’(0+
) - ··· - f(n-1)
(0+
) , (s >α)
Así para n = 2

22. 22
[f’’ (t)] = s [f’+ - f’ (0+
) = s [ s F(s) - f (0+
)] - f’(0+
) ⇒
⇒ *f’’ (t)+ = s2
F(s) - s f (0+
) - f’(0+
).
En general, inducción.
Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas
de valor inicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por
s”, transformándose una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una
algebraica.
Ejemplo:Calcular [senat] ,usando la expresión para [ f “]
8.2 Transformada de Laplace de las derivadas de una función
La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:
)0()()}('{ fssFtfL
donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.
La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
)0(')0()()}(''{ 2
fsfsFstfL
En forma similar:
)0()0(')0()()}({ )1(21)( nnnnn
ffsfssFstfL 
Demostración:

23. 23
0)(lim tfe st
t
)0()()()0(
)()()(')('
0
0
0
0
fssFdttfesf
dttfsetfedttfetfL
st
ststst
Supongamos que:
)0()0(')0()()}({ )2(321)1( nnnnn
ffsfssFstfL 
Entonces:
0)(lim )1(
tfe nst
t
)0()0(')0()(
)0()()()0(
)()()()(
)1(21
)1()(
0
)1()1(
0
)1(
0
)1(
0
)()(
nnnn
nnnstn
nstnstnstn
ffsfssFs
ftfsLdttfesf
dttfsetfedttfetfL

9. EJERCICIOS
9.1 Ejercicios resueltos
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1) TeTf T
2cos2
L Te T
2cos2
L
84
2
42
2
4
2cos 22
2
22
SS
S
S
S
S
S
T
SS
SS
2) TseneTf T
3
L TseneT
3 L
102
3
91
3
9
3
3 22
1
21
SSSS
Tsen
SS
SS
TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

24. 24
3)L
-1
3
2
1
S !2
1
L
-1 T
SSSS
eTT
S
22
2
2
2
3
2
1
2
1!2
4) L
-1
106
1
2
SS
L
-1
11106
1
2
SS
L
-1
196
1
2
SS
L
-1
13
1
2
S
L
-1
3
2
1
1
SS
S
= senTe T3
5) L
-1
52
1
2
SS
L
-1
412
1
2
SS
L
-1
41
1
2
S 2
1
L
-1
1
2
4
2
SS
S
Tsene T
2
2
1
DERIVADA DE TRANSFORMADA:
6)L TT 2cos =
dS
d
1 L TT 2cos = 22
22
2
4
24
1
4
1
S
SS
S
S
dS
d
22
2
22
2
4
4
4
4
1
S
S
S
s
7) L
dS
d
TTsenh 13 L 22222
9
6
9
23
1
9
3
13
S
S
S
S
SdS
d
Tsenh
8) L 2
2
22
1
dS
d
senhTT L 2222
2
2
1
2
1
1
1
S
S
dS
d
SdS
d
senhT
22
22
1
18212
S
SSSS
32
2
42
2222
1
26
1
1812
S
S
S
SSS

25. 25
9) L
dS
d
TsenTe T
162
L
2
2
2
36
6
16
SS
T
SdS
d
Tsene
362
6
1 2
SdS
d
222
404
426
1
404
6
1
SS
S
SSdS
d
22
404
2412
SS
S
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
10)L
aS
eaTu L
S
e aS
1
11) L aTTu L aTuaaT L aTuaT L aTau
aS
e L T aS
ae L 1
S
ae
S
e aSaS
2
TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
12)L
-1
3
2
S
e S
L
-1
!2
11 2
3
S
e
S
L
-1
2
2
1
2
1!2 2222
3
TuTeTe
S
SS
22
2
1 2
TuT
13) L
-1
2
1
22
S
e S
L
-1
2
21 42
S
ee SS
= L
-1
2
2
1
S
L
-1 S
e
S
2
2
1
L
-1 S
e
S
4
2
1
422 222
TueTuee TTT
422 42222
TueTuee TTT
9.2 Ejercicios propuestos

26. 26
TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1) L
-1
346
52
2
SS
S
R = TseneTe TT
5
5
1
5cos2 33
2) L
-1
32
1
12
SS
S
R =
TTT
eTTeeT 2
2
3
455
DERIVADA DE TRANSFORMADA:
3) L TTe T
3cos3
R = 22
2
186
6
SS
SS
4) L senhTeT T3
R = 62
23
2
3610810836
SS
SSS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
5) L 23 Tu

27. 27
R =
S
e 2
L
S
e S2
3
3
6) L 11 TuT
R =
S
e L 2
S
e
T
S
7) L 22
Tue T
R = L
ST
eTue 22
2 L
1
2
S
e
e
S
T
8) L 313 TuT
R =
S
e
S
e SS 3
2
3
103
9) L 55
TuTeT
R =
1
5
1
5
2
5
S
e
S
e SS
10) L 11 13
TueT T
R = 4
1
6
S
e S
TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
11) L
-1
1SS
e S
R = 11 1
TueTu T

28. 28
12) L
-1
12
2
SS
e S
R = 2222 2
TueTuTTu T

29. 29
10. CONCLUSIONES
 La transformada de Laplace es denominada así en honor a
Pierre-Simon Laplace.
 La transformada de Laplace es una Integral Impropia.
 La función Escalón Unitario también es conocida como función
Heaviside.
 Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce
como transformada inversa de Laplace.
 Para calcular la transformada inversa de Laplace se utiliza la
integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.
 La linealidad es una propiedad muy útil para resolver ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez
permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones.

30. 30
11. BIBLIOGRAFÍA
 Dennis G. Zill Sexta Edición, 609 páginas, México
 http://repositorio.uned.ac.cr/reuned/bitstream/120809/452/1/MC0
192%20Ecuaciones%20diferenciales%20-%202011%20-
%20Matem%C3%A1tica.pdf
 http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/TransLaplace.pdf
 http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/
 http://prof.usb.ve/williamc/PS2315/propiedades_TL.pdf