1. ECUACIONES 3
1. Si se sabe que a  – b, a  0, indique un valor de x que satisfaga
2 2 2
la ecuación: (r +s +t )
__x__ + _ 1_ _ __x__ = _____a + 3_____ 2rst
2
a + ab x + 3 ax + 3a ax + 3a + bx + 3b a) 4 b) – 4 c) – 8
d) 8 e) 0
a) 2a b) 3b c) a + b
d) a e) b/a 3 3 3
8. Si las tres raíces de f(x) son , , , halle el valor de  +  + 
2. Dada la ecuación en x: 3
f(x) = x + x + 1
2
2x – ( + 2)x + ( + 4) = 0
a) 3 b) 4 c) – 3
d) 5 e) – 5
Donde sus raíces difieren en una unidad, halle el menor valor de .
9. Dada la ecuación en x:
a) – 8 b) 8 c) – 4
d) 4 e) – 6 4
x = (px + n + 1)( px – n – 1)
3. Si las raíces de la siguiente ecuación en x son recíprocas, 1/2
indique el conjunto de los valores de m que hacen que no tenga Donde p = (3n + 4)
raíces reales diferentes (m  0).
Halle el menor valor posible para 19n, de tal manera que las raíces
2 2 de la ecuación original formen una progresión aritmética.
mx – 2m x + n = 0
a) 2 b) – 22 c) 38
a) < – 1; 1> - {0}
d) 19 e) – 19
b) [ – 1; 1] - {0}
c) [ – 2; 2] - {0}
10. Si las raíces de la ecuación:
d) < – 2; 2> - {0}
e)  4 3 2
32x + 40x + 16x + 10x + 2 = 0
2
4. Si p y q son raíces de (x + 2) = x, halle una ecuación cuyas
únicas raíces sean (p + 1/q) y (q + 1/p). Son x1, x2, x3, x4, halle:
2 |x1| + |x2| + |x3| + |x4|
a) 4x + 15x + 25 = 0
2
b) 4x – 15x + 25 = 0
2 a) 0 b) 2,25 c) 1,25
c) 2x – 15x – 15 = 0 d) 1 e) 2
2
d) 2x + 15x – 15 = 0
2 11. Para que la expresión mostrada:
e) 2x + 15x + 15 = 0
7 2 7 2
5. Si: x(x – 2) + 7 + x +2 + 2
4x
2
x + 2(2x + 1) x – 2x + 49
2
r1, s1 son raíces de x – 2x + 2 = 0
2 Sea igual a 2, el valor real de x que hace que se cumpla lo anterior
r2, s2 son raíces de x – 3x + 4 = 0
2 es:
r3, s3 son raíces de x – 4x + 7 = 0
2
r4, s4 son raíces de x – 5x + 11 = 0 a) 6 b) 47 c) – 47
2
6
rn, sn son raíces de x + mx + 106 = 0
d) 47 e) 6
Halle el valor de A + B, si: 6 47
2 2 2 2
A = (r1) + (r2) + (r3) + ... + (rn) Problemas Propuestos
2 2 2 2
B = (s1) + (s2) + (s3) + ... + (sn) 2
1. Si las raíces de x + px + 4q = 0 son r1 y r2, y además (2 r1 + k) y
2 2
a) 91 b) – 100 c) 99 (2 r2 + k) son raíces de x + mx + n = 0, calcule el valor de m – 4n.
d) 100 e) – 91
2 2 2
a) p – 16q b) 4p – 16q c) p – 64q
6. Sea la ecuación: 2 2
d) 4p – 64q e) 4p – q
6 3
x – 19x – 216 = 0 2. Si p, q son raíces de P(x), y además r, s son raíces de Q(x), halle
3 3
Dé la suma de todas las raíces cuyas partes reales sean números r + s , si:
enteros positivos. 2
P( x) = x – 18x + 45.
2
a) 7 b) 5 c) 3 Q( x) = x + px + q (q < p)
d) 1 e) No tiene tales raíces
a) 2 405 b) – 2 800 c) 3 680
7. Si r, s, t son raíces de la ecuación d) 3 240 e) – 3 240
3
x = 4x – 1 3. Halle la mayor raíz real de la ecuación bicuadrática mostrada a
continuación, aumentada en el producto de sus raíces.
Halle el valor de: 4 3 3
x + (b – a)(x + 1) + (x – 1) – c(x + 3) – 1 = 0

2. a) – 12 + 3 + 57
2
b) – 12 – –3 + 57
2
c) – 6 + 3 + 39
2
d) – 6 + –3 + 39
2
e) No tiene raíces reales
4. Resuelva:
4 3 2
12x + 91x + 194x + 91x + 12 = 0
E indique la suma de las dos raíces reales cuya suma tenga el
mayor valor absoluto posible.
a) 7 b) – 7 c) – 7
4
d) 7 e) No tiene raíces reales
4
Prof. Juan C. Salas