algebra

1. ÁLGEBRA
ECUACIONES
Definición: Una ecuación (igualdad) es la equivalencia
entre dos expresiones algebraicas.
Clasificación: Se pueden clasificar de acuerdo a:
1) Al grado: Pueden ser primer grado segundo
grado, tercer grado, …… , etc.
Ejem:
ax + b = 0 (primer grado)
ax2 + bx + c = 0 (segundo grado)
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (tercer grado)
2) A los coeficientes: pueden ser numéricos o
literales.
Ejm:
3x + 5 = 0 (numérico)
ax + b = 0 (literal)
3) A las incógnitas: pueden ser: una, dos, tres,
etc.
Ejm:
2x + 1 = 0 (1 incógnita)
2x + 8y – 8 = 0 (2 incógnitas)
4) A las soluciones: pueden ser compatibles o
incompatibles.
· COMPATIBLES: Son aquellas que tienen o
admiten solución, y pueden ser:
a) Determinadas: Si admiten un
numero limitado de soluciones.
Ejm:
2x + 1 = 0
x = -1/2 (1 solución)
x2 +5x + 4 = 0
(x + 4)(x + 1) = 0
Þ x + 4 = 0 x+1= 0
x= -4 x=-1
(2 soluciones)
b) Indeterminadas: si admiten un
numero ilimitado de soluciones.
Ejm:
x = x
Þ x = - ¥ …, -2,-1, 0, 1, 2, … +¥
x + y = 0
Þ x = 1, 2, 3, 4, … + ¥
y = -1,-2,-3,-4,…-¥
· Incompatibles o absurdas.
Son aquellas que no tienen solución, o cuya
solución no satisface a la ecuación.
Ejem:
x + 1 = x (absurdo)
x - x2 -8 =4
donde resolviendo se tiene x = 3
pero al reemplazar en la ecuación.
3 - 32 - 8 =
4
=
2 4 (absurdo)
Nota: Si a ambos miembros de una ecuación se
suma, resta, multiplica o divide por una misma
expresión se forma una ecuación equivalente a la
primera, pero la ecuación “no se altera”
x = x
Þ x ± a = x ± a a ¹ 0, a ¹ ¥
x x
= a
a
a ¹ 0, a ¹ ¥
x.a = x.a a ¹ 0, a ¹ ¥
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Definición: son aquellas ecuaciones donde el
maximo exponente de la variable es uno o
puede reducirse a uno, se les denomina
también ecuaciones lineales. Son de la
forma:
ax+b =0
EJERCICIOS
1. Hallar “x”
31+ 21+ 13+ 7+ 3+ x =6
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Hallar “a”
2
2
- +
a 6a 10
2
-
a 3
ö a 4
çè
a 8a 17
÷ø
æ
+
=
+ +
a) 1/2 b) -1/4 c) -1/2
d) 1/4 e) 1/5
3. Hallar “x”
7 + 2 +3 x =3
a) 3 b) 2 c) 45
d) 12 e) 8
4. Hallar “a”
15
5 a
5 a a
+
+ + =
a) 12 b) 4 c) 6
d) 8 e) 11
5. Hallar “x”
ax + -
a 2 b2
bx
a b
2ab
a b
-
+ =
+
a) (a +b)2 b) b2 -1 c) a 2 -b2
d) 21 e) a 2 +1

2. 6. Hallar “x”
( ) ( )
x a b b 2 - a
2
a.b
x b a
b
a
=
+ -
-
+ -
a) a + b b) 2(a + 1) c) 3( b - 1)
d) 2(a + b) e) b(a +1)
7. Hallar “x” ( )
( )
( ab 3 -
a 2 b
2
) x
a b
2
+
a ab x
a ab b
3 3
2 2
=
-
-
+ +
a) a b) b c) a -1
d) b -1 e) ab
8. Hallar el conjunto solución de la ecuación:
2 2
2 2
+ - -
+ + -
-
+
1 a. = -
x 1 x 1 2
4 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
2 2
2 2
= -
+ + -
+
+ - -
a) C.S : {- 2,1}b) C.S : {-1,1}
c) C.S : {-1,2} d) C.S : {- 2, 2}
e) C.S : {- 2, 3}
x y
z
= = ;
9. Resolver: a
b
c
mx + ny + pz = S
Indicar: x + y + z
a)
S ( a + b +
c
)
ma + nb +
pc
b)
( + +
)
m n p
S a b c
+ +
c)
( +
)
S a b
+ +
ma nb pc
d)
( )
ma nb
+ + +
S a b c pc
+
e)
( + + )
+
ma nb mc
S a b c pc
+ +
10. Hallar el conjunto solución:
4a +b -5x + 4b +a -5x =3 a +b -2x
a) S : {a,b} b) S : {b,1} c) S : {2,b}
d) S : {a,5} e) N.A.
11. Hallar “x” en:
+
a b
( ) ; x 0
a b x 1
b
bx 1
a
ax 1
¹
+ -
=
-
+
-
2
+ c) 2(a +b)
a) 2 b) a b
4
+
d) a + b e) a b
12. Obtener el conjunto solución de la ecuación:
a
+ -
x x 4a
x x 4a
=
- -
a) a b) a 2 c) a -1
d) (a -1)2 e) (a +1)2
13. Obtener el conjunto solución de la ecuación:
1 x
1 x
4 4 2 4 1 a 2
1 x
1 a
1 x
+
+ -
-
-
a) 1 b) a c) 2a
d) 3 e) 2
ECUACIONES DE 2DO GRADO
Definición: Son ecuaciones que tienen la forma:
ax2 +bx+c =0 a ¹0
Donde:
ax2 : Termino cuadrático
bx : Termino lineal
c : Termino independiente o constante
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO.
1) Por formula: reemplazando los coeficientes de
la ecuación en la formula (Baskara)
b b 4ac
2a
x
- ± 2 -
=
2) Por factorización: La ecuación se factoriza, y
cada uno de los factores obtenidos se iguala a
cero.
Ejem:
x2 -3x -10 =0
factorizando (x +2)(x -5) = 0
x + 2 = 0 x – 5 = 0
x = –2 x = 5
Nota: A las soluciones de una ecuación se les
conoce con el nombre de raíces de la ecuación.
NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
La naturaleza de las raíces de una ecuación de
segundo grado depende de la discriminante de la
raíz, que esta dada por:
D=b2 -4ac
Discriminante
D > 0 Las raíces son reales y
diferentes
D < 0 Las raíces son complejas y
conjugadas
D = 0 Las raíces son iguales y reales

3. D = k2 La ecuación se resuelve
factorizando
b = 0 Las raíces son simétricas
x1 =a +b x2 =a -b
c = 1 Las raíces son reciprocas
x1 =a x2 =1/ a
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Sea la ecuación:
ax2 + bx + c = 0
Y sus raíces o soluciones sean: x1 y x2 entonces:
b
a
x1 x2
-
+ =
c
a
x1 .x2 =
FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1. Si las raíces son x1 y x2 la ecuación se
formará haciendo: (x -x1 )(x -x2 ) = 0
Ejm:
Si las raíces de una ecuación son x1 =2 y
x2 =3, formar la ecuación.
Entonces la ecuación será: (x -2)(x -3) = 0
x2 -5x +6 = 0
2. Si las raíces son x1 y x2 , entonces la
ecuación se formará de la siguiente manera: x 2 - (x1 + x2 )x + x1 x2 =
0
Ejemplo: Si las raíces de una ecuación son
x1 = 3 +1 y x2 =1- 3 formar la
ecuación.
Entonces la ecuación será: x2 -( 3 +1+1- 3)x +( 3 +1)(1- 3) =0
PROBLEMAS
1. Calcular el valor de “m” para que la ecuación
tenga 2 raíces iguales.
2x2 -mx +m -2 =0 ®D=0
a) 9 b) 6 c) 5 d) 4 e) 12
2. Calcular “P” en la ecuación; sabiendo que
x1 -x2 =2 ; x2 -6x +4 +p =0
a) 12 b) 7 c) 4 d) 5 e) 9
3. Determinar la suma de los valores de “K”, que
hacen que la suma de las raíces de la ecuación
sea igual al producto de las mismas.
x2 + kx + 2x - k2 + 4 = 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Calcular la suma de los valores de “a”
ax2 -(a -5)x +1 =0
si: x1 x2 = x1 -x2
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
5. Si a, b son las raíces de:
x2 +px +q =0
Hallar el valor de: E =a2 +2ab+b2
a) p b) p2 c) p – 1 d) 1 e) 4
6. Hallar el valor de “m” de manera. que la suma de
las raíces de la ecuación. (x2 -x)(m +1) = (4x -5) (m -1) , sea
igual al duplo del producto de las raíces de
dicha ecuación menos 1.
a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 7
7. Hallar la suma de las raíces de la ecuación
(2k +2)x2 +4(1-k)x +k -2 =0 ;
Sabiendo que estas son inversas.
a) 10/7 b) 11/3 c) 10/3 d) 11 e) 1/2
8. Si a y b, son las raíces de la ecuación:
mx2 -2(m -1)x +m =0 , con “m”
constante y cumplen 4
a b
+ = , ¿Hallar la
a
b
suma de todos los valores de “m”?
a) –5 b) 5 c) 4 d) –4 e) 1
9. Si a, b son las soluciones de la ecuación
x2 +bx +3 =0, Sia2 +ab+b2 =13Ha
llar a-b
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Hallar la suma de los valores positivos de “P”
para las cuales las raíces de la ecuación:
(P -3)x2 -2px +6p =0
Son reales positivos.
P :1, 2,3 A³0
a) 6 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12
11. Si P y Q son las raíces reales de la ecuación (a 2 -b2 )x2 -2(a -b)x +(a -b) = 0 ,
con a, b constantes reales y “K” es una
constante, tal que.
P- K = – (q - k). Hallar el valor de:
Pq+k

4. 2
+ d) a b
a) a + b b) 2 c) a b
1
+ e) a
1