1. EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS
1) Encontre as raízes dos polinômios abaixo.
a) P( x ) = x 2 + 2x − 8
b) G( x ) = x 3 − 2x 2 + x
c) F( x ) = x 2 − 3 x + 2
2) Divida o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) e apresente o resultado na forma
P ( x ) = D( x ) ⋅ Q( x ) + R ( x ) onde R(x) é o resto e Q(x) é o quociente.
a) P( x ) = x 3 + 2x 2 − 4 x + 1 e D( x) = x − 1
b) P( x ) = x 4 − 3 x 2 − 4 e D( x) = x + 2
c) P( x ) = x 3 − x 2 + 3x − 2 e D( x) = x 2 − 2x + 3
d) P( x ) = x 4 + x 3 − 2 e D( x) = x 2 − x + 5
3) Utilize produtos notáveis para expandir as expressões abaixo.
a) ( x + 1 )2 x y
2
x s
3
k)  −  s)  + 
b) ( a + 5 )2 2 3 2 3
c) ( a2 + 1 )2 l) (a2 – b2 )2 t) ( 2c + 3d)3
d) ( 3y + 2 )2 2 u) (2 – x)3
 1
2 m)  a − 
x y  2 v) (a2 – 2)3
e)  + 
 2 4
(a )
3
2 2 1 
n) 3
− 3ab w)  − s 
f) ( 2a + 10 )2 2 
g) ( x2 + y2 ) 2 o) (2+m) (2-m)
x) (3m – 2n )3
h) ( 2xy + 5 )2  c d  c d 
p)  +  −  y) (2m –b) (2m + b)
i) (2–s) 2  3 2  3 2 
3
a 
j) (2m – n ) 2 q) ( 1 – 3v) (1 + 3v) z)  + 4
3 
r) ( 1 + a )3
4) Fatore (ao máximo) os polinômios abaixo.
a) x 2 z − 2x 3 z 2 − 5x 2 zy + 3x 2 z 2
b) 20zx 2 − 12x 2 t 2 + 20 xyz − 12xyt 2 + 5zy 2 − 3t 2 y 2
c) (x + y )2 − 2(x + y )(5z + c) + (5z + c)2
63 3
d) 9x 2 + x+
12 4
e) (9x 2
)
+1
2
( )
− 12x 9x 2 + 1 + 36x 2

2. f) 6x 3n + x 2n
a 2x 2
g) − 3abxy + 36b 2 y 2
16
5) Simplifique as expressões abaixo utilizando as operações necessárias.
a2 − x 2 bx
x +y x −y c) ÷
− a 2b 2 a2 + x 2
x − y x + y 2x 2 + 2y 2
a) .
x +y x −y xy 1 1
+ +
x −y x +y a ab 3
d)
1
 x x 2x 2 4 x 2y 2  x2 −y2 b −1 +
b)  + + + . b
x −y x +y x2 +y2 x4 −y4  4x 2
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS
1) a) x = - 4 e x = 2 b) x = 0 e x = 1 (raiz dupla) c)x = 1 e x = 2
2) a) Q( x ) = x 2 + 3x − 1 ; R ( x ) = 0 portanto, ( )
x 3 + 2 x 2 − 4x + 1 = (x − 1) x 2 + 3 x − 1 + 0
b) Q( x ) = x 3 − 2x 2 + x − 2 ; R ( x ) = 0 portanto, (
x 4 − 3 x 2 − 4 = (x + 2) x 3 − 2x 2 + x − 2 + 0)
c) Q( x ) = x + 1; R ( x ) = 2x − 5 portanto, ( )
x 3 − x 2 + 3 x − 2 = x 2 − 2x + 3 (x + 1) + 2x − 5
d) Q( x ) = x 2 + 2x − 3 ; R ( x ) = −13 x + 13 portanto,
( )( )
x 4 + x 3 − 2 = x 2 − x + 5 x 2 + 2 x − 3 − 13 x + 13
3)
a) x2 + 2x + 1 x 2 xy y 2 x 3 x 2s xs 2 s 3
k) − + s) + + +
b) a2 + 10a + 25 4 3 9 8 4 6 27
c) a4 + 2 a2 + 1 l) a4 – 2a2b 2 + b4 t) 8c 3 + 36c 2d + 54cd2 + 27d3
d) 9y2 + 12y + 4 1 u) 8 – 12x + 6x 2 – x3
m) a 2 − a +
4 v) a6 – 6 a4 + 12 a2 – 8
x 2 xy y 2
e) + +
4 4 16 n) a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4 1 3 3
w) − s + s 2 −s 3
8 4 2
f) 4 a2 +40a + 100
g) x4 + 2x2y2 + y4 o) 4-m 2 x) 27m 3-54m 2n+36mn2-8n3
y) 4m 2 – b2
h) 4x2y2 + 20xy + c2 d2
p) −
9 4 1 3 4 2
25 z) a + a + 16 a + 64
27 3
i) 4 – 4s + s 2 q) 1 – 9v2
j) 4m 2 – 4mn + n2 r) 1 + 3 a + 3 a2 + a3

3. 4)
a) x2z(1 – 2xz – 5y + 3z)  1  1 f) x 2n (6 x n + 1)
d) 9 x +  x + 
b) (2 x + y )2 (5 z − 3t 2 )  3  4 2
 ax 
g)  − 6by 
c) (x + y − 5z − c )2 e) (3x − 1) 4  4 
5)a)
x + y x −y (x + y )2 − (x − y )2
− 2 2
x − y x + y 2 x + 2y ( x + y )( x − y ) 2(x 2 + y 2 ) x 2 + 2xy + y 2 − x 2 + 2xy − y 2 2(x 2 + y 2 )
. = . = . =
x + y x −y xy (x + y )2 + (x − y )2 xy x 2 + 2xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 xy
+
x − y x +y ( x + y )( x − y )
4 xy 2(x 2 + y 2 )
. =4
2( x 2 + y 2 ) xy
b) x4 – y4 = (x2 – y2 ). (x2 +y2) = ( x+y).(x-y). (x2 +y2)
x x 2x 2 4 x 2y 2 x 2 − y 2
( + + + ). =
x − y x +y x2 + y2 x4 − y 4 4x 2
x ( x + y )(x 2 + y2 ) + x (x − y )( x 2 + y 2 ) + 2 x 2 (x + y )( x − y ) + 4 x 2 y 2 ( x + y )( x − y )
=( ). =
(x + y )(x − y )(x 2 + y 2 ) 4x 2
x 4 + x 2 y 2 + x 3 y + xy 3 + x 4 + x 2 y 2 − x 3 y − xy 3 + 2x 4 − 2x 2 y 2 + 4 x 2 y 2 1
=( ). =
x2 +y 2 4x 2
4 x 4 + 4 x 2y 2 1 4x 2 (x 2 + y 2 ) 1
=( ). = . =1
x2 +y2 4x 2 x2 +y2 4x 2
a2 − x2 bx a 2 − x 2 a2 + x 2 a 4 − x 4
c) ÷ = . =
a 2b 2 a2 + x 2 a 2b 2 bx a 2b 3 x
1 1 b3 +1
+
a ab 3 ab 3 b3 +1 b (b + 1)(b 2 − b + 1) b + 1
d) = = . = =
1 b2 − b +1 ab 3 b 2 − b + 1 ab 2 (b 2 − b + 1) ab 2
b −1 +
b b