Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Explica que este tipo de ecuaciones se pueden expresar en forma ordinaria como y' + P(x)y = Q(x) y se resuelven mediante variables separadas si Q(x) = 0 o mediante el método del factor integrante o variación de parámetros si Q(x) ≠ 0. También describe cómo aplicar el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

1. Ecuaciones Diferenciales Lineales<br />La ecuación diferencial lineal de primer orden, tiene la forma general<br />aoxyn+ an-1xyn-1+ ...+ a1xy'+a0xy=f(x)<br />345376517081503063240104140a(x)b(x) son variables de la funciónc(x)00a(x)b(x) son variables de la funciónc(x)Se traduce a la expresión<br />axy'+bxy=c(x)<br />La cual queda expresada como y es su Forma Ordinaria:<br />y'+Pxy=Q(x)<br />Si Q(x) = 0 es homogénea y se resuelve por variables separadas.<br />Si Q(x) ≠ 0 no es homogénea y se resuelve por factor integrante o variación de parámetros dependiendo de la situación.<br />Es fácil verificar que la ecuación diferencial tiene un factor integrante por medio de la función:<br />μx= epxdx<br />Si multiplicamos la ecuación por μx, se sigue que:<br />y= 1μxQx∙ μxdx<br />Solución General<br />Ejemplo 1:<br />xdy=xsenx-ydx<br />1.- Acomodar la ecuación en su forma ordinaria<br />xdydx=(senx-y)<br />dydx=senx-yx<br />y'=senx- yx<br />y'+ yx=senx<br />2.- Verificar que el valor de Q(x)<br />Qx=senx ∴Qx≠0<br />3.- Encontrar el factor integrante<br />e1xdy=elnx=x<br />4.- Usar la ecuación de la solución general<br />y=1xsenxxdx ∴ y=1xxsenxdx<br />y=1x-xcosx+senx+C<br />y=-cosx+senxx+Cx<br />Solución de las ED lineales no homogéneas por el método de variación de parámetros<br />El procedimiento que seguimos para llegar a una solución particular de una ecuación diferencial lineal de primer orden<br />y'+Pxy=Q(x)<br />en un intervalo se aplica también a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden<br />a2xyn+ a1xy'+a0xy=g(x)<br />comenzaremos llevando la ecuación diferencial a su forma canónica o estándar.<br />y''+Pxy'+Qxy=f(x)<br />dividiéndola por el primer coeficiente, a2(x). Suponemos que P(x), Q(x) y f(x) son continuas en algún intervalo I, no hay dificultad en obtener la función complementaria, yc,, cuando los coeficientes son constantes.<br />Suposiciones importantes<br />En correspondencia a la suposición yp = u1(x)y1(x) a fin de hallar una solución particular, yp, de la ecuación lineal de primer orden.<br />Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, u1 y u2, es de esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos la hipótesis adicional de que las funciones u1 y u2 satisfacen y1u´1 + y2u´2 = 0. Esta suposición es pertinente porque si pedimos que y1u´1 + y2u´2 = 0, la ecuación se reduce a y1u´1 + y2u´2 = f(x). Con ello ya tenemos las dos ecuaciones que deseábamos, aunque sea para determinar las derivadas u´1 y u´2. Aplicamos la regla de Cramer y la solución del sistema<br />y1u'1+y2u'2=0<br />y'1u'1+y'2u'2=f(x)<br />se puede expresar en términos de los determinantes<br />u'1=W1W y u'2=W2W<br />en donde<br />W=y1y2y'1y'2 w1=0y2f(x)y'2 W2=y10y'1f(x)<br />Las funciones u1 y u2, se determinan integrando los resultados en (6). Se ve que el determinante W es el wronskiano de y1 y y2. Sabemos, por la independencia lineal entre y1 y y2 en I, que W (y1(x), y2(x)) # 0 para toda x en el intervalo.<br />