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1. ECUACIONES LINEALES.<br /> Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia especialmente “amigable” de la ecuaciones diferenciales en las que, dada una ecuación lineal , ya sea de primer orden o de un miembro de orden superior , siempre hay una buena posibilidad de que podamos encontrar alguna clase de solución de la ecuación que podamos examinar. <br />DEFINICION:<br />Una ecuación diferencial de primer orden de a forma:<br />a1xdydx+a0xy=g(x)<br />Se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y.<br />Cuando esta ecuación es homogénea cuando g(x)=0; si no lo es no es homogénea.<br />FORMA ESTANDAR:<br />dydx+Pxy=fx<br />La propiedad: la ecuación diferencial anterior tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones ,y=yc+yp´, donde yc es una solución de la ecuación homogénea asociada <br />dydx+Pxy=0<br />Y yp es una solución particular de la ecuación no homogénea. Obsérvese que:<br />ddx yc+yp+Pxyc+yp=dycdx+Pxyc+dypdx+Pxyp=fx<br />EL PROCEDIMIENTO:<br />Ahora podemos definir una solución particular de la ecuación, siguiendo un procedimiento llamada variación de parámetros. Aquí, la idea básica es encontrar una función, u tal que yp=uxy1x=uxePxdx sea una solución de la ecuación. En otras palabras, nuestra suposición para yp es la misma que yc=cy1x excepto que c se ha sustituido por el parámetro variable u. sustituyendo yp=uy1 en la ecuación se obtiene:<br />udy1dx+y1dudx+Pxy1=f(x)<br />Por tanto y1dudx=fx<br />Entonces separando la variables e integrando se obtiene <br />du=fxy1xdx y u=fxy1xdx<br />Puesto que y1x=e-Pxdx, vemos que 1y1x=e-Pxdx.Por lo tanto <br />yp=uy1=(fxy1xdx)e-Pxdx=e-Pxdxe-Pxdxfxdx<br />y<br />y=ce-Pxdx+e-Pxdxe-Pxdxfxdx<br />No memorice la formula que se presenta en la ecuación pero recuerde en especial <br />ePxdx<br />Ya que se utiliza para resolver la ecuación de una manera equivalente pero más fácil .Si la ecuación se multiplica de la siguiente manera <br />ePxdxy=c+ePxdxfxdx<br />Y después se deriva la ecuación <br />ddxePxdxy=ePxdxfx<br />Se obtiene <br />ePxdx dydx+PxePxdxy=ePxdxf(x)<br />SOLUCION:<br />Ponga la ecuación lineal en la forma dydx+Pxy=f(x)<br />Identifique de la identidad de la forma estándar P(x) y después determine el factor integrante ePxdx.<br />Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor de integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y y:<br />ddxePxdxy=ePxdxfx.<br />Integre ambos lados de la ultima ecuación.<br />