Ecuaciones e inecuaciones

1. Alumno
DIEGO LEANDRO IZA GAVILANES
Tutor
Msc. ACOSTA BONILLA JHON PATRICIO
Tarea
ECUACIONES E INECUACIONES.
Nivel
SÉPTIMO PARALELO 04

2. ECUACIONES E INECUACIONES.
 ECUACIONES
 En las ecuaciones distinguimos varios
elementos:
 • Incógnita: La letra (o variable) que figura en
la ecuación.
 • Miembro: Es cada una de las dos expresiones
algebraicas separadas por el signo =.
 • Término: Cada uno de los sumandos que
componen los miembros de la ecuación.
 • Grado: Es el mayor de los exponentes de las
incógnitas, una vez realizadas todas las
operaciones (reducir términos semejantes
Se llaman ecuaciones a
igualdades en las que aparecen
número y letras (incógnitas)
relacionados mediante
operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una
incógnita cuando aparece una
sóla letra (incógnita,
normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4

3.  La ecuación de primer grado es la forma de relacionar elementos
conocidos y desconocidos en matemática. La forma de representar la
ecuación de primer grado es:
ax + b = 0
 Donde a y b son números reales diferentes de cero y x representa el
elemento desconocido. Se llama de primer grado porque el valor
desconocido no se multiplica por sí mismo, es decir, tiene exponente 1.
 El valor desconocido también se llama incógnita. Las ecuaciones de primer
grado pueden presentar una o más incógnitas, como en el siguiente caso:
ax - by = c
 Para las incógnitas se usan, por lo general, las letras x, y , z.
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

4. Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que debe
tomar la incógnita xx para que se cumpla la igualdad. Podemos
comprobar si la solución encontrada es correcta sustituyendo la
incógnita xx por la solución. Como regla general, una ecuación de
primer grado tiene una única solución. No obstante, puede darse
el caso de que no exista ninguna o que existan
infinitas (veremos algún ejemplo de estos casos).
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

5. Ana Zita
Doctora en Bioquímica
Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en
donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es
decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de
trinomio:
donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es
coeficiente de x2, b es el término o coeficiente de x y c es el término
independiente Si a = 1, la ecuación cuadrática es reducida. Si a = 0, entonces
deja de ser una ecuación de segundo grado, y se transforma en una
de primer grado:
ECUACIONES CUADRÁTICAS O
DE SEGUNDO GRADO

6. Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas,
de si existen los términos dependiente de x (b) o independiente (c).
Ecuaciones completas de segundo grado
Las ecuaciones completas de segundo grado tienen la forma ax2 + bx + c =
es decir, todos los términos se encuentran presentes; por ejemplo:
En este caso a = 2, b = 3 y c = 4.
En este caso a = 1, b = 10 y c = 20, pues el (-20) del lado derecho de la
ecuación pasa al lado izquierdo cambiando de signo, así:
TIPOS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

7. Cómo resolver ecuaciones cuadráticas
 Para resolver una ecuación de segundo grado usando la fórmula general, vamos
a proceder de la siguiente manera:
 Identificamos los coeficientes a, b y c.
 Los sustituimos en la fórmula general.
 Calculamos x1 sumando el discriminante y x2 restando el discriminante.
 Debemos tener en cuenta que:
 ⇒ solo hay una raíz para la ecuación.
 ⇒ hay dos raíces con números reales.
 ⇒ no hay una solución real.

8. Método de factorización
El método de factorización se basa en la siguiente propiedad:
La propiedad del producto cero dice:
AB = 0 si y solo si A=0 ó B=0
Lo que significa que si el producto de dos números es cero, entonces alguno de
ellos o ambos son igual a cero.
Para resolver una ecuación cuadrática con el método de factorización, seguiremos los
siguientes pasos:
1. Escribir la ecuación en forma a x 2 + b x + c = 0 .
2. Factorizar
3. Haciendo uso de la propiedad del producto cero, igualar cada factor a cero y resolver
para x.
4. Verificar la solución.
METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES
CUADRÁTICAS

9. Ejemplo 1:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
x 2 + 4 x - 12 = 0
Paso 2: Factorizar
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0
Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x
x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x=-6
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 12 = 0 36 - 24 -
12 = 0 0 = 0
Verificar x=2
x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 -
12 = 0 0 = 0

10. Completar al Cuadrado
 Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma: x 2 + 2 x y + y 2 o la forma x 2 - 2 x y + y 2
 Recordemos que un trinomio cuadrado perfecto se factoriza fácilmente así
x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, o la forma x 2 - 2 x y + y 2 = ( x - y ) 2
 La idea del método de completar al cuadrado es agregar una cantidad constante a una expresión para
convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.
 Así, para convertir la expresión x 2 + bx a un cuadrado perfecto se debe agregar ( b 2 ) 2 .
 De esta forma, la expresión será factorizada así x 2 + bx + ( b 2 ) 2 = ( x - b 2 ) 2 .
 Por otro lado, recordemos que para preservar el balance de una ecuación, si agregamos o restamos una
cantidad determinada a un lado de la ecuación, debemos agregar o restar la misma cantidad al otro lado de la
ecuación
 Ahora estamos listos para resolver las ecuaciones cuadráticas completando al cuadrado. Para ello seguiremos los
siguientes pasos:
 Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente
al lado derecho de la ecuación.
 Si la variable x 2 tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente.
 Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.
 Resolver la ecuación, teniendo en cuenta que si ( x - b 2 ) 2 = C entonces x - b 2 = ± C .

11.  Ejemplo 1:
Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x - 32 = 0
 Solución:
Paso 1: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado
derecho de la ecuación.
x 2 + 4 x = 32
Paso 2: Si la variable x 2 tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente.
En este caso el coeficiente de la variable x 2 ya es igual a 1.
Paso 3: Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.
x 2 + 4 x = 32 x 2 + 4 x + ( 4 2 ) 2 = 32 + ( 4 2 ) 2 ( x + 4 2 ) 2 = 32 + 4 ( x + 2 ) 2 = 36
Paso 4: Resolver la ecuación
( x + 2 ) 2 = 36 x + 2 = ± 36 x + 2 = ± 6
x + 2 = 6 x = 4 x + 2 = - 6 x = - 8
Paso 5: Verificar la solución.
Verificar x=4
x 2 + 4 x - 32 = 0 ( 4 ) 2 + 4 ( 4 ) - 32 = 0 16 + 16 - 32 = 0 0 = 0
Verificar x=-8
x 2 + 4 x - 32 = 0 ( - 8 ) 2 + 4 ( - 8 ) - 32 = 0 64 - 32 -
32 = 0 0 = 0

12. Fórmula Cuadrática
La fórmula cuadrática es una
generalización del método de completar al
cuadrado. Dada la ecuación cuadrática:
a x 2 + b x + c = 0
donde a, b y c son números reales, a ≠ 0 .
la fórmula cuadrática es la siguiente:
x = − b ± b 2 − 4 ⁢a ⁢c 2 ⁢a
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 -
1 + x = 0
Solución:
Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
2 x 2 + x - 1 = 0
Paso 2: Identificar las variables correspondientes.
a = 2 , b = 1 , c = − 1
Paso 3: Reemplazar los valores en la fórmula y resolver para x
x = − b ± b 2 − 4 ⁢a ⁢c 2 ⁢a
x = − 1 ± 1 2 − 4 ⁢( 2 ) ( − 1 ) 2 ⁢( 2 )
x = − 1 ± 1 + 8 4
x = − 1 ± 9 4
x = − 1 ± 3 4
x = − 1 + 3 4 x = 2 4 x = 1 2 x = − 1 − 3 4 x = − 4 4 x = − 1
Paso 4: Verificar la solución.
Verificar x = 1 2
2 x 2 - 1 + x = 0 2 ( 1 2 ) 2 -
1 + ( 1 2 ) = 0 2 ( 1 4 ) - ( 1 2 ) = 0 1 2 -
1 2 = 0 0 = 0
Verificar x = - 1
2 x 2 - 1 + x = 0 2 ( - 1 ) 2 - 1 + ( -
1 ) = 0 2 ( 1 ) - 2 = 0 2 - 2 = 0 0 =