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![José Agüera Soriano 2011 13
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El impulso sobre la masa del volumen de control
provocará una variación de su cantidad de movimiento [ ]:
Esta variación del sistema es la corresponde al instante
(t + dt), menos la que tenía en t:
V1
A'A
B'B
m1
α
D'(c)
D
ΣF
V2
C'
2m
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Ecuaciones flujos
El documento describe las ecuaciones fundamentales de un flujo, incluyendo la ecuación de continuidad, la ecuación de energía y la ecuación de cantidad de movimiento. Explica cómo aplicar estas ecuaciones a máquinas hidráulicas, tuberías, toberas y otros elementos de flujo.
![Ecuacionde bernoulli[modo de compatibilidad]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/ecuaciondebernoullimododecompatibilidad-140320061558-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Ecuaciones flujos
- 1. José Agüera Soriano2011 1 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO
- 2. José Agüera Soriano2011 2 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO • ECUACIÓN DE CONTINUIDAD • ECUACIÓN DE LA ENERGÍA • ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO • APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA • RESALTO HIDRÁULICO
- 3. José Agüera Soriano2011 3 INTRODUCCIÓN Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo: • ecuación de continuidad (conservación de la masa) • ecuación de la energía (conservación de la energía) • ecuación de la cantidad de movimiento (conservación de la cantidad de movimiento).
- 4. José Agüera Soriano2011 4 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD En un flujo permanente, volumen de control V2 1 2 V1 mmm &&& == 21 QQQ ⋅=⋅=⋅ ρρρ 2211 222111 SVSVm ⋅⋅=⋅⋅= ρρ& )( 21 ρρρ == 2211 SVSVQ ⋅=⋅= a) para gases, b) para líquidos
- 5. José Agüera Soriano2011 5 2 2 1 1 zg p zg p E ⋅+=⋅+= ρρ 2 2 1 1 z p z p H +=+= γγ Energía de un líquido en reposo o en metros de columna de líquido, S.I.enJ/kg 2 2 zg pV E ⋅++= ρ m 2 2 z p g V H ++= γ Energía de un líquido en movimiento o en metros de columna de líquido,
- 6. José Agüera Soriano2011 6 SLL plano de referencia z1 γp /1 1V 2g/2 1H 2 2 /V 2g γ/p2 z2 2H 12Hr A 1 A' B' B 2 V plano de carga inicial (PC) línea piezométrica (LP) línea de energía (LE) LP Ecuación energía en conducciones de líquidos H1 = H2 + Hr12 122 2 2 2 1 1 2 1 22 rHz p g V z p g V +++=++ γγ
- 7. José Agüera Soriano2011 7 γp gV 22 z zp +γ = altura piezométrica =altura cinética (desnivel entre LE y LP) =altura de presión (desnivel entre LP y conducto) = altura de posición respecto plano de referencia SLL plano de referencia z1 γp /1 1V 2g/2 1H 2 2 /V 2g γ/p2 z2 2H 12Hr A 1 A' B' B 2 V plano de carga inicial (PC) línea piezométrica (LP) línea de energía (LE) LP
- 8. José Agüera Soriano2011 8 Ecuación energía en máquinas flujo líquido Ht trabajo técnico, el que atraviesa los límites de la máquina rt Hzz pp g VV H −−+ − + − = 21 21 2 2 2 1 2 γ H1 = H2 + |Hr12| + Ht 1H z turbina plano de referencia z1 1 Ht 2 2H H1 12 Ht Hr Ht plano de referencia bomba 1 1 2 Ht H2 H 12r
- 9. José Agüera Soriano2011 9 Ecuación energía en máquinas flujo líquido H1 − H2 = |Hr12| + Ht TURBINA HH1 2 Hr Ht tH He mH BOMBA 1H H2 Hr He Ht tH Hm
- 10. José Agüera Soriano2011 10 Turbina de reacción Potencia de un flujo (W)J/sHQgP ⋅⋅⋅= ρ (J/kg)sm sm:Gravedad m:Altura kg/s mkg:Densidad sm:Caudal 22 2 3 3 Hg g H Q Q ⋅ ⋅ ρ ρ
- 11. José Agüera Soriano2011 11 EJERCICIO La energía de un caudal de agua, de 60 m3 /s, es, H= 50 m. Calcúlese su potencia. Solución CV)(40000kW29430W1029430 506081,91000 3 =⋅= =⋅⋅⋅=⋅⋅= HQP γ
- 12. José Agüera Soriano2011 12 ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo aceleran: amF r & ⋅=Σ 1V C VF A V1 Σ D C 2 A FΣ D α V2 B
- 13. José Agüera Soriano2011 13 V1 A 'A B'B m 1 α D '(c) D ΣF V2 C' 2m C )( dtF ⋅Σ )( Vmd ⋅ pdVmddtF r =⋅=⋅Σ )( pd r )()( CDB'A'A'ABB'C'CDD'CDB'A' ABCDD'C'B'A' pppp pppd rrrr rrr +−+= =−= El impulso sobre la masa del volumen de control provocará una variación de su cantidad de movimiento [ ]: Esta variación del sistema es la corresponde al instante (t + dt), menos la que tenía en t: V1 A'A B'B m1 α D'(c) D ΣF V2 C' 2m C
- 14. José Agüera Soriano2011 14 V1 A'A B'B m1 α D'(c) D ΣF V2 C' 2m C 11221122 A'ABB'C'CDD' VdtmVdtmVmVm pppddtF ⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅= =−==⋅Σ && rrr 1122 VmVmF ⋅−⋅=Σ && Por ser el régimen permanente válida para líquidos y para gases )( 12 VVmF −⋅=Σ &
- 15. José Agüera Soriano2011 15 APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA Salida por un orificio p γ V 2 V =g2 H SLL ap g V H 2 2 = HgV ⋅⋅= 2
- 16. José Agüera Soriano2011 16 línea piezométrica (LP) línea de energía (LE) L V 1 SLL g 2 V 2 2/ H= 2 H Hr Flujo en tuberías con salida libre SLL pérdida de carga línea piezométrica (LP) Con el mismo diámetro y el mismo desnivel entre el extremo 2 y la SLL, se cumple para cualquier longitud, g V HHr 2 2 −=
- 17. José Agüera Soriano2011 17 Mayor longitud L de la tubería origina: - más pérdida de carga Hr - menos velocidad V del flujo en la tubería - menos caudal Q - menos pérdida de carga unitaria J (Hr/L) M 1 (a) L 2 LP LE γ p V SLL r H V 2 2g = 2H H SLL 1 (b) L 2 LP V LE g V 2 2 H= 2 H rH
- 18. José Agüera Soriano2011 18 línea piezométrica sin tobera ( ) V p γ Q máx B SV H S == HB SV g2 2 1 línea piezométrica con tobera plano de carga inicialSLL A A' L rH B' LEV 2 LP V 2g B S γ Bp LP γ i VS 2g =2g p SV 2 H iV 2 LE línea piezométrica sin tobera ( ) V p γ Q máx B SV H S == HB SV g2 2 1 línea piezométrica con tobera plano de carga inicialSLL A A' L rH B' B línea piezométrica (LP) pérdida de carga Salida por tobera Cuanto menor sea la sección S de salida, menor será el caudal Q que circula y menor Hr
- 19. José Agüera Soriano2011 19 LEV2 LP V 2g B S γ Bp LP γ i VS 2g =2g p SV2 H iV2 LE una tobera es un transformador de energía potencial en energía cinética. En B, la energía H está prácticamente en forma de presión: pB/γ. A lo largo de la misma, la velocidad aumenta y la presión disminuye. A la salida, pS = pa
- 20. José Agüera Soriano2011 20 EJERCICIO g V D L Hr 2 02,0 2 ⋅⋅= Solución Velocidad en la conducción r r r H H g V g V D L H ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅⋅= 005,0 1000002,0 1 2 2 02,0 2 2 sm981,1;m2,022 == VgV Calcúlese la sección de salida de la tobera al final de una conducción, de 10 km y 1 m de diámetro, origine la pérdida de 40 m en un salto de 400 m. Tómese,
- 21. José Agüera Soriano2011 21 Caudal sm556,1981,15,0 322 =⋅⋅=⋅⋅= ππ VrQ Velocidad de salida sm04,84m;3602 S 2 S === VgVH Diámetro de salida m154,0;04,84556,1 SSS === DVQS
- 22. José Agüera Soriano2011 22 Conducción hidroeléctrica de Villarino m30m;0,8 m60m;,07 m40m;5,7 m402 m15000 == == == = = r r r HD HD HD H L
- 23. José Agüera Soriano2011 23 Tubo de Pitot γ p g v h += 2 2 h M
- 24. José Agüera Soriano2011 24 FV p 1 A 2 D F C B Fr 1·1p S 1 G 2 · S p 2 2 F rp FFF += =⋅ 11 Sp =⋅ 22 Sp =− F =G GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211 Fuerza sobre un conducto corto Valoración indirecta de la fuerza F fuerza sobre la sección 1 fuerza sobre la sección 2 fuerza que ejerce la pared fuerza de gravedad (Fr insignificante) Las fuerzas sobre el volumen de control entre 1 y 2 son: 1·1p S 1 G 2 ·S p 2 2 F FV p 1 A 2 D F C B Fr
- 25. José Agüera Soriano2011 25 GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211 )( 12 VVmF −⋅=Σ & F )( 122211 VVmGSpSpF −⋅−+⋅+⋅= & )( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= & 2211 SpSpF ⋅+⋅= Por otra parte, Igualando y despejando En conductos cortos, G ≈ 0), en cuyo caso, Cuando no hay flujo,
- 26. José Agüera Soriano2011 26 Generalmente la fuerza será mayor cuando no hay flujo. Las presiones a sustituir en las fórmulas anteriores son la diferencia entre la interior y la que actúa exteriormente sobre el conducto. Si ésta fuera mayor, los términos de presión cambiarían de signo y con ello la fuerza F. Cuando la presión exterior es la atmosférica, las presiones a sustituir son las relativas.
- 27. José Agüera Soriano2011 27 EJERCICIO Calcúlese la fuerza sobre el codo de una conducción hidráulica, de 90o y de 2,8 m de diámetro, a) cuando fluyen 38,75 m3/s y la presión manométrica es de 8 bar, b) cuando el flujo se anula bruscamente, momento en el que se prevé que la presión en el codo se eleve a 13 bar. Solución a) Velocidad media m/s29,6 4,1 75,38 2 = ⋅ == πS Q V
- 28. José Agüera Soriano2011 28 )( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= & kN5169,8N51697662437374926029 29,675,3810004,1108 0 25 111 ==+= =⋅⋅+⋅⋅⋅= =⋅⋅++⋅= π ρ VQSpFx kN5169,8 N51697662437374926029 2967538100041108 0 25 222 = ==+= =⋅⋅+⋅⋅⋅= =⋅⋅+⋅+= ,,, VQSpFy π ρ Fuerza sobre el codo y V1S·p1 1 p x 22·S 2V 2 Fx 1 FFy
- 29. José Agüera Soriano2011 29 y V1S·p1 1 p x 22·S 2V 2 Fx 1 FFy Solución b) 2211 SpSpF ⋅+⋅= kN8004,8N8004797 4,110130 25 11 == =⋅⋅⋅=+⋅= πSpFx kN8004,8N8004797 4,110130 25 22 == =⋅⋅⋅=⋅+= πSpFy El anclaje del codo hay que calcularlo para esta última situación más desfavorable.
- 30. José Agüera Soriano2011 30