1. El documento presenta ejercicios de cálculo que incluyen determinar límites, dominios, derivadas parciales y derivadas aplicando la regla de la cadena de funciones. 2. Se pide hallar la derivada direccional de funciones dadas en puntos específicos, así como determinar extremos relativos. 3. Los ejercicios cubren conceptos fundamentales de cálculo como límites, derivadas parciales, derivadas direccionales y extremos de funciones.

1. Guía de Ejercicios. Unidad I
1. Determine el límite de las funciones indicadas si existe.
 222
)2,3(),(
2),( xyyxyxyxf
yx


= (3)2 + (3) (2) + 2 (2)2 − = 9 + 6 + 8 – 12 = 11
2. Determine el dominio de las siguientes funciones.
f (x,y)= arccos(x/3). xy
= √𝑥𝑦 → 𝑋 ≥ 0 , 𝑌 ≥ 0
= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
𝑥
3
) → (
𝑥
3
) ≥ −1 ,(
𝑥
3
) ≤ 1
𝑥 ≥ −3 , 𝑥 ≤ 3
= 𝐷𝑜𝑚 { 𝑋𝑌𝐸𝑅/ 0 ≤ 𝑋 ≤ 3 , 𝑌 ≥ 0}
3. Determine la derivada parcial de cualquier orden de las siguientes
funciones.
f(x,y)= 3
32 tgyyexe xy
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2ℯ𝑦 − 3𝑦ℯ − 𝑥(−1) + 0
= 2ℯ𝑦 + 3𝑦ℯ − 𝑥
4. Hallar la derivada aplicando la Regla de la cadena.
22
yxw  ; tt
eyex 
 ;
𝑑𝑤
𝑑𝑥
=
𝑑𝑤
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑤
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑤
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑤
𝑑𝑦
= 2𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ℯt
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −ℯ-t
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= 2𝑥𝑒 𝑡
+ 2𝑦 (−𝑒−𝑡)
= 2 ( 𝑒 𝑡)( 𝑒 𝑡) + 2 ( 𝑒−𝑡)(−𝑒−𝑡)
= 2𝑒2𝑡
− 2𝑒−2𝑡

2. 5. Encuentre la derivada Direccional de las siguientes funciones.
f(x, y)= 222
zyx  ; P(1,2,-1); V( 1,-2,3)
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 2𝑦
𝑑𝑓
𝑑𝑧
= 2𝑧
𝑉𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 ↑ + 2𝑦 ↑ 2𝑧
𝑉𝐹 (1,2, −1) = 2(1) ↑ +2(2) ↑ +2 (−1)
= 2 ↑ + 4 ↑ −2
𝐷𝑢𝑓 = (2,4, −2)(1,−2,3)
= 2 − 8 − 6 = −12
6. Determine los extremos relativos.
f(x, y)= 33
3 yxyx 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 3𝑥2
− 3𝑦
𝑑𝑓2
𝑑𝑥𝑦
= −3
𝑑𝑓2
𝑑𝑥2 = 6𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= −3𝑥 + 3𝑦2 𝑑𝑓2
𝑑𝑦2 = 6𝑦
3𝑥2
− 3𝑦 = 0 ⇒ 3𝑥2
= 3𝑦
−3𝑥 + 3𝑦2
= 0 𝑥2
= 𝑦
↓
−3𝑥 + 3(𝑥2
)2
= 0 y=(1)2
3𝑥4
= 3𝑥 =1
𝑥3
= 1
𝑥 = 1
(1,1) = (
6
−3
−3
6
) = 36-9 =27
𝐹(1,1) = (1)3
− 3(1)(1) + (1)3
= −1 Es un extremo minimo.