1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con cálculo de límites, operaciones con polinomios, convergencia de series, límites de funciones y gráficas de curvas y funciones. Incluye 8 ejercicios que abarcan estos temas.

1. Ejercicio 1. Calcular los siguientes limites:
1. l´ım
n→∞
n + 1
n
n
2. l´ım
n→∞
2 + 2
n
n2
3. l´ım
n→∞
2n+3n2
+4n3
n4−2n
Ejercicio 2. Calcular los siguientes limites:
i) l´ım
x→1
f(x) si f(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1√
x2 − 4x + 4 si x > 1
ii) l´ım
x→1
g(x) si g(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1√
x2 − 4x + 4 si x > 1
1 Continuidad de funciones
Definici´on 1 Sea la funci´on f : A → R, A ⊆ R y sea x0 ∈ A, se dice que f es
continua en x0, si para cada E(f(x0), ) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal
que si x ∈ E(x0, δ) entonces f(x) ∈ E(f(x0), ε)
Teorema 2 Sea f : A → R, A ⊆ R una funci´on, entonces las dos condiciones
siguientes son equivalentes:
1. f es continua en a
2. f verifica:
(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)
(b) Existe l´ım
x→a
f(x) = L
(c) f(a) = L
1

2. Ejercicio2: Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y
resuelvalos:
1. Sea P(x) = x3
−3x5
+2x y Q(x) = x4
−5x3
−2x+3 efectuar las siguientes
operaciones entre polinomios:
(a) P(x)+Q(x) = x3
−3x5
+2x+x4
−5x3
−2x+3 = −4x3
−3x5
+x4
+3
(b) P(x)−Q(x) = x3
−3x5
+2x−x4
−5x3
−2x+3 = −4x3
−3x5
−x4
+3
(c) P(x)Q(x)
= x3
− 3x5
+ 2xx4
−5x3
−2x+3
: x3
− 3x5
+ 2xx4
−5x3
−2x+3
2. Calcular los siguientes limites:
(a) l´ım
x→∞
n
√
n3 + 3n : (n3
+ 3n)
1
n
(b) l´ım
n→∞
n√
n3+3n
2n−3n observe la diferencia l´ım
n→∞
n√
n3+3n
2n−3n3 = 0
(c) l´ım
n→∞
(n3
+ 3n)n
= ∞
3. Analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)
∞
n=1
n 3n−54
2n2 − 5n3 =
∞
n=1
1
2
3n−625
n2 − 5n3
1
n
(b)
∞
n=1
n 3n−54
2n2
2
− 5n3
n
=
∞
n=1 (1
4
(3n−625)2
n4 − 5n3
)
1
n
n
(c)
∞
n=1
en
+e−n
2 = ∞
(d)
∞
n=1
1√
sen2x−cos2x
:
∞
n=1
1√
(sen2x−cos2x)
Ejercicio3: Calcular los siguientes limites de funciones:
1. (a) l´ımx→0
sin ax
x = a
(b) l´ımx→0
sin 7x
3x : 7
3
(c) l´ımx→0
2x
−3x
x = ln 2 − ln 3
(d) l´ımx→0
x−1
cot x = 1
2

3. (e) l´ımx→0+
1
x
tan x
= 1
Ejercicio 4: Graficar las siguientes c´onicas, teniendo en cuenta el
tipo de coordenadas m´as adecuado.
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9 + y2
4 = 1
(c) x2
5 − y2
3 = 1
(d) −2x2
+ 3x − 1 = 0
Observando las gr´aficas obtenidas indicar los elementos notables de cada una
de ellas.
Ejercicio 5: Graficar las siguientes cu´adricas, teniendo en cuenta
el tipo de coordenadas m´as adecuado.
1. (a) x2
+ y2
+ z2
= 9
(b) x2
5 − y2
3 = 2z
(c) −2x2
+ 3x − z(cilindricas)
Ejercicio 6: Graficar la funci´on f(x) = ex
x2+1 , indicar la posible ecuaci´on
de una as´ıntota oblicua observando el gr´afico.
Ejercicio 7: Obtener las raices de las siguientes ecuaciones:
1. (a) 3x2
− 2x + 1 = 0, verificar el valor obtenido observando la gr´afica
correspondiente.
(b) x3
− 3x2
+ 2x − 6 = 0
(c) x4
− x3
− 7x2
+ x + 6 = 0
Ejercicio 8: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analitica
y gr´aficamente:
1. (a)
x − 3y = 2
2x − 6y = 4
(b)
−2x + 3y = −1
x − 2y = 0
3