Este documento presenta los objetivos y contenidos básicos sobre el cálculo de derivadas de funciones. Explica las definiciones de derivada, reglas para derivar funciones elementales, reglas de derivación como la cadena y derivadas de orden superior. También cubre derivadas de funciones trigonométricas y sus identidades.

1. Ing. En ejecución en Prevención de Riesgos
Curso de Cálculo I
Prof. Alexi Ramírez Escobar
IP. Santo Tomas Concepción
Guía Unidad III Cálculo I
OBJETIVO: CALCULAR DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, UTILIZANDO LAS DISTINTAS REGLAS DE DERIVACIÓN.
DEFINICIÓN DE DERIVADA
La derivada de la función )(xf se define mediante el límite:
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→
1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función:
2
5)( xxf =
DERIVADAS ELEMENTALES
1. Si n
xxf =)( ; 1
)(' −
⋅= n
xnxf
2. Si Cxf =)( , con C una constante ; 0)(' =xf
3. Si x
bxf =)( ; )ln()(' bbxf x
⋅=
4. Si x
exf =)( ; x
exf =)('
5. Si )(log)( xxf b= ;
)ln(
1
)('
bx
xf
⋅
=
6. Si )ln()( xxf = ;
x
xf
1
)(' =
OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA
Si )(xfy = , la deriva de )(xf se puede anotar de las siguientes formas:
)()(' )1(
xf
dx
dy
xf ==

2. ALGEBRA DE LAS DERIVADAS
1. Derivada de una suma ( diferencia )
[ ] )(')('')()( xgxfxgxf ±=±
2. Derivada de un producto
[ ] )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf ⋅+⋅=⋅
3. Derivada de una división
( )2
)(
)(')()()('
'
)(
)(
xg
xgxfxgxf
xg
xf ⋅−⋅
=





DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sea y = f(x) una función entonces:
)()('' xf
dx
d
xfy ==
es la primera derivada o derivada de primer orden
)()( 2
2
''''
xf
dx
d
xfy ==
es la segunda derivada o derivada de segundo orden
)()( 3
3
''''''
xf
dx
d
xfy ==
es la tercera derivada o derivada tercer orden
.
.
.
.
)()()()(
xf
dx
d
xfy n
n
nn
==
es la enésima derivada o derivada de orden n
EJEMPLO
1. Halle todas las derivadas de orden superior para 223 234
−++= xxxy
0..........................................................00
721272'''21236''2612' 223
===
=+=++=++=
nviv
iv
yyy
yxyxxyxxxy
2. Halle la tercera derivada de x
y
1
=
432
6'''2''' −−−
−==−= xyxyxy
REGLA DE LA CADENA
Si f(u) es derivable en )(xgu = y g(x) derivable en x, entonces la compuesta
))(()( )( xgfgf x =
es derivable en
x. Además:
)(')).((')'( )( xgxgfgf x =
Usando la notación de Leibniz, si )(,)( xguufy == entonces:
dx
du
du
dy
dx
dy
==

3. REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS
Si )(xu es una función derivable entonces:
dx
du
nuu
dx
d nn 1−
=
EJEMPLOS
Sea
42
)13( +−= xxy halle su derivada
)13()13(4' 32
−+−= xxxy
Sea xxy += 3
calcule dx
dy
xx
x
xxx
dx
dy
xxxxy
+
+
=++=+=+=
−
3
2
22
1
32
1
33
2
13
)13()(
2
1
)(
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Derivada de seno de x
[ ]
)cos()1)(cos()0)((
)(
lim)cos(
1)cos(
lim)(
)cos()(
lim
1))(cos((
lim
)cos()()1))(cos((
lim
)()cos()()cos()(
lim
)()(
lim)(
00
000
00
xxxsen
h
hsen
x
h
h
xsen
h
xhsen
h
hxsen
h
xhsenhxsen
h
xsenxhsenhxsen
h
xsenhxsen
xsen
dx
d
hh
hhh
hh
=+=+
−
=+
−
=
+−
=
−+
=
−+
=
→→
→→→
→→
Derivada de coseno de x
[ ]
)()1)(()0)(cos(
)(
lim)(
1)cos(
lim)cos(
)()(
lim
1))(cos(cos(
lim
)()()1))(cos(cos(
lim
)cos()()()cos()cos(
lim
)cos()cos(
lim)cos(
00
000
00
xsenxsenx
h
hsen
xsen
h
h
x
h
xsenhsen
h
hx
h
xsenhsenhx
h
xxsenhsenhx
h
xhx
x
dx
d
hh
hhh
hh
−=−=−
−
=−
−
=
−−
=
−−
=
−+
=
→→
→→→
→→
Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno
y a coseno.
Derivada de tangente de x
)(sec
)(cos
1
))(cos(
)()(cos
))(cos(
)())(()cos()cos(
)cos(
)(
)tan(
2
2
2
22
2
x
x
x
xsenx
x
xsenxsenxx
x
xsen
dx
d
x
dx
d
=
=
+
=
−−
=





=
Derivadas de las cofunciones trigonométricas
)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2
xxx
dx
d
xxx
dx
d
xx
dx
d
−==−=

4. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPUESTAS
dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
usenu
dx
d
dx
du
uusen
dx
d
)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot(
)(sec)tan()()cos()cos()(
2
2
−==−=
=−==
EJEMPLOS
1. Derive )( 2
xseny =
)cos(22)cos(' 22
xxxxy ==
2. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) 2
)( xxf = b) 5
)( xxf = c) 2)( =xf
d) xxf =)( e) 3
)( xxf = f) x
exf =)(
g) x
xf 2)( = h) )ln()( xxf = i) )log()( xxf =
3. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) 53)( 2
+−= xxxf b) 656)( 2
−+= xxxf c) 133)( 23
+++= xxxxf d)
xxxf −= 3
4)( e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x
4. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) x
exxf ⋅=)( b) )ln()( 2
xxxf ⋅= c) x
e
x
xf
4
)( =
d)
)ln(
)(
x
e
xf
x
= e)
x
x
xf
)ln(
)( = f) x
xxf 2)( 2
⋅=
5. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f (t) = t2
+ 1( ) × t3
+ t2
+ 1( ) b) f (z) =
1
2z
−
1
3z2
c) f (t) =
t −1
t2
+ 2t +1
d) f (x) =
3x
x3
+ 7x − 5
e) f (x) =
5 − 4x2
+ x5
x3
f) f (x) = 4 x5
+
2
x
6. En cada caso, determine
dx
dy
:
a) 632 23
++= xxy b) cbxaxy −+= 2
c) ( )xxy ln⋅= d)
x
e
x
y
2
= e) x
xy 23
⋅= f)
( )x
y
x
log
6
=
7. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = x2
+ x( )
6
b) f (x) = 2x3
+ 1( )
−5
c) ( )2
3
32)( += xxf
d) f (x) = x3
+1 e) f (t) =
t2
+1
t2
−1
f) f (u) =
1
u +1( )2

5. 8. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) 62
)( +
= x
exf b) t
etf ⋅−
= 53
)( c)
2
2
)( x
exxf −
⋅=
d)
u
e
uf
u2
)( = e) 82
5)( +
= x
xf f) w
wwf 6
22)( ⋅=
9. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) )43ln()( −= xxf b) 





−
+
=
u
u
uf
1
1
ln)( c) ( ) ( )12ln1)( 2
+⋅+= tttf
d) ( )2
1ln)( wwf += e) ( )2log)( 3
+= xxf f) ( )xxxf −= 4
2log)(
10. Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = x3
+ ln x2
+ 1( ) b) f (t) = et
× t5
+ 2
c) 3
)ln()( xexf x
+= d) f (u) = ln( u + 2u
)
11. En cada caso, determine 2
2
dx
yd
y 3
3
dx
yd
:
a) 12 25
−+= xxy b) ( ) 2ln6
++= xxy
c) xxey x
−−= d) xey x
⋅=
12. La posición de un móvil en función del tiempo viene dada por la expresión 232)( 2
++= ttte (espacio en m., tiempo
en seg.). Calcular la velocidad instantánea (v) en el instante t = 3 seg.
13. Hallar la derivada de la función f(x)=x2
+x+1 en x0= 1. Determinar la ecuación de la tangente a la función dada en en
punto P(1, f(1)).
14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de cada una de las funciones y en los puntos que se
indican:
a) 123 34
+−+= xxxy ; en x = 1
b) 2−= xy ; en x = 6
c) )cos()( xxseny += ; en x = 0
15. Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites:
xx
xx
x 23
3
lim 4
23
0 −
−
→
b)
675
252
lim 2
2
2 −−
+−
→ xx
xx
x
20
1
lim
x
ex x
x
−+
→
d)
2
)1ln(
lim
2 −
−
→ x
x
x

6. 2
2
0
32
lim
x
ee xx
x
−
→
+−
f)
1
21
lim
1 −
−+
→ x
x
x

7. 2
2
0
32
lim
x
ee xx
x
−
→
+−
f)
1
21
lim
1 −
−+
→ x
x
x