Este documento presenta 6 ejercicios de cálculo diferencial e integral. Los ejercicios incluyen determinar límites, dominios, derivadas parciales, derivadas de funciones compuestas, derivadas direccionales y puntos críticos de funciones de varias variables.

1. Guía de Ejercicios. Unidad I
1. Determine el límite de las funciones indicadas si existe.
( )222
)2,3(),(
2),( xyyxyxyxf
yx
−++=
− 





++
+
=
− 1
32
),( 22
2
)2,1(),( yx
yx
yxf
yx
32
)1,3(),(
52),( yyxyxf
yx
+=
− x
senxy
yxf
yx cos
),(
3
)0,0(),( −
=
Resolver:
Ejercicio:
32
)1,3(),(
52),( yyxyxf
yx
+=
− =
32
)1,3(),(
)1(5)1()3(2),( +=
−yx
yxf
=
518),(
)1,3(),(
+=
−yx
yxf
=
23),(
)1,3(),( −
=
yx
yxf
2. Determine el dominio de las siguientes funciones.
f (x,y)= xy f (x,y)=
22
1 yx −−
f (x,y)= )16)(81( 2222
−+−− yxyx f (x,y)= arccos(x/3). xy
f (x,y)= 22
25
3
yx −− f(x,y)= ( )xy
yx
ln
25 22
−−
Resolver:
Ejercicio: f (x,y)= arccos(x/3). xy

2. xy
X ≥ 0, y ≤ 0.
Arccos(x/3) X/3 ≥ -1, X/3 ≤ 1.
X ≥ -3, X ≤ 3.
Dom: { X,Y € |R / 0 ≤ X ≤ 3, Y ≥ 0}
3. Determine la derivada parcial de cualquier orden de las siguientes
funciones.
f(x,y)=
2/546
352 xyyxx −−+ f(x,y)=
y
ex 26
f(x,y)=
43
35 yxyx +− f(x,y)= yeyxx x
5432
3
3532/5
+−+
f(x,y)= 2
3
53/2 5
4
2
3
y
x
xyyx −+ −
f(x,y)= ( ) 223
6ln xyxyyx −+
f(x,y)= ( ) xyxsenyxtg cos353 5/6
+−+ f(x,y)= xy2
2
f(x,y)=
3
senxye y
f(x,y)=
3
32 tgyyexe xy
+− −
f(x,y)= 22
yx
xy
+
Resolver:
Ejercicio: F (x,y)=
43
35 yxyx +−
F(x)=
43
35 yxyx +− F(y) =
43
35 yxyx +−

3. 053 2
+− yx 3
1250 yx +−
yx 53 2
− 3
125 yx +−
4. Hallar la derivada aplicando la Regla de la cadena.
22
yxw += ;
tt
eyex −
== ;
22
yxw += ; senteytex tt
== ;cos
yzxzxyw ++= ;
t
eztytx =−=−= ;1;1 2
( )yxw −= cos ; tytx 2;2
==
Resolver:
Ejercicio:
22
yxw += ;
tt
eyex −
== ; formula: t
w
∂
∂
= x
dw
∂ . t
dx
∂ + y
dw
∂ .
t
dy
∂
x
dw
∂ = 2x, y
dw
∂ = 2y, t
dx
∂ =
t
e , t
dy
∂ =
t
e−
,
)(22 tt
eyxe −
−+
))((2))((2 tttt
eeee −−
−+
tt
ee 22
22 −
−

4. 5. Encuentre la derivada Direccional de las siguientes funciones.
f(x, y)=
222
zyx ++ ; P(1,2,-1); V( 1,-2,3)
f(x, y,z)= yxyx 543 +− ; P(1,2); V(1/2,3/2)
f(x, y)=
432/5
63
2
3
xyyx −+ ; P(3,1); V(4,2)
f(x,y)= yxsen cos2 ; P(0,0) ;V ),
2
( π
π
Resolver
Ejercicio: f(x,y)= yxsen cos2 ; P(0,0) ;V ),
2
( π
π
yx
x
df
cos2cos2=
∂
XsenYsen
y
df
2−=
∂
↑=∀ yxf cos2cos2 ↑− XsenYsen2
( ) ↑=∀ )0cos()0.2cos(20,0f ↑− )0()0.2( sensen
)0,2(0.0)1)(1(2 ↑=−↑
),
2
)(0,2( π
π
=∪ fD
π
π
=+ 0
2
2
6. Determine los extremos relativos.

5. f(x, y)= 3222 22
−+++ xyxyx ;
f(x,y)= 101645 22
++−+− xyxyx
f(x, y)= 1312433 22
+−−+ yxyx
f(x, y)=
33
3 yxyx +−
f(x, y)= 44106 22
+−++ yyxyx
Resolver:
Ejercicio:
f(x, y)= 1312433 22
+−−+ yxyx
46 −=
∂
x
x
df
, 62
2
=
∂x
fd 126 −=
∂
y
y
df
, 62
2
=
∂y
fd
0
2
=
∂xy
fd
3
2
6
4
046
==
=−=
∂
X
x
x
df
2
6
12
0126
==
=−=
∂
y
y
y
df
=)2,32(f 13)2(12)32(4)2(3)32(3 22
+−−+
3
1
−= Es un punto
crítico

6. f(x, y)= 3222 22
−+++ xyxyx ;
f(x,y)= 101645 22
++−+− xyxyx
f(x, y)= 1312433 22
+−−+ yxyx
f(x, y)=
33
3 yxyx +−
f(x, y)= 44106 22
+−++ yyxyx
Resolver:
Ejercicio:
f(x, y)= 1312433 22
+−−+ yxyx
46 −=
∂
x
x
df
, 62
2
=
∂x
fd 126 −=
∂
y
y
df
, 62
2
=
∂y
fd
0
2
=
∂xy
fd
3
2
6
4
046
==
=−=
∂
X
x
x
df
2
6
12
0126
==
=−=
∂
y
y
y
df
=)2,32(f 13)2(12)32(4)2(3)32(3 22
+−−+
3
1
−= Es un punto
crítico