1. Para obtener el dominio de una función a partir de su gráfica, se proyecta la gráfica sobre el eje x. El dominio será el conjunto de valores de x para los que existe un punto en la gráfica. 2. Para obtener el recorrido de una función, se proyecta la gráfica sobre el eje y. El recorrido será el conjunto de valores que toma y.

1. 1. DOMINIO
OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
Cuando una función se presenta a través de su gráfica, con
proyectar sobre el eje de abscisas (eje OX) dicha gráfica
conseguimos su dominio de definición. Esto es así porque
cualquier valor “x” del dominio tiene una imagen “ )(xfy = ”,
y, por lo tanto, le corresponde un punto ),( yx de la gráfica. Este
punto es el que, al proyectar dicha imagen sobre el eje OX, nos
incluye ese valor dentro del dominio.
En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está
dibujado un poco más abajo para que sea bien visible la escala
del eje de abscisas). En este caso tenemos que
]8,4()4,()( ∪−∞=fDom .
De una manera no formal, podríamos decir que si aplastamos la gráfica sobre el eje OX y ésta estuviese
manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.
OBTENCIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA
I) FUNCIÓN POLINÓMICA: ℜ=⇒= )()()( fDomxPxf
Ejemplos
a) ℜ=⇒−+−= )(polinómicafunción5
3
2
5)( 23
fDomxxxxf
b) ℜ=⇒−+−= )(polinómicafunción1
3
3
2)( 24
fDomxxxxf
II) FUNCIÓN RACIONAL: }0)(/{)(
)(
)(
)( =−ℜ=⇒= xQxfDom
xQ
xP
xf
Ejemplos
a) }5,1{}054/{)(racionalfunción
54
2
)( 2
2
−−ℜ==−−ℜ∈−ℜ=⇒
−−
−
= xxxfDom
xx
x
xf
Dominio de f(x) o campo de existencia de f(x) es el conjunto de valores para los que está definida la
función, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente “x”. Se denota por Dom(f).
)}(/{)( xfyconyxfDom =ℜ∈∃ℜ∈=

2. 






−=
−
=
+
=
±
=
+±
=⇔=−−
1
2
64
5
2
64
2
64
2
20164
0542
xxx
b) ℜ==+ℜ∈−ℜ=⇒
+
−
= }04/{)(racionalfunción
4
2
)( 2
2
xxfDom
x
x
xf
realsolucióntieneno4404 22
⇒−=⇔−=⇔=+ xxx
III) FUNCIÓN RADICAL:



=⇒
≥∈=⇒
⇒=
)()(
}0)(/)({)(
)((
gDomfDomimparn
xggDomxfDomparn
xgxf n
Ejemplos
a) ),1[]1,(}01/{)(radicalfunción1)( 22
+∞∪−−∞=≥−ℜ∈=⇒−= xxfDomxxf
01:inecuaciónlaresolverqueTenemos 2
≥−x
Ceros
1ò11101 22
=−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
b) )2,2(}04/{)(radicalfunción
4
1
)( 2
4 2
−=>−ℜ∈=⇒
−
= xxfDom
x
xf
04:inecuaciónlaresolverqueTenemos 2
>− x
Ceros
2ò24404 22
=−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

3. c) ℜ=+−==⇒+−= )15()(radicalfunción15)( 23 2
xxyDomfDomxxxf
d) }2{
2
1
)(radicalfunción
2
1
)( 5 −−ℜ=





+
==⇒
+
=
x
yDomfDom
x
xf
IV) FUNCIÓN EXPONENCIAL
1) ℜ=⇒≠>= )(1,0)( fDomaaconaxf x
2) )()(1,0)( )(
gDomfDomaaconaxf xg
=⇒≠>=
Ejemplos
a) ),3[}03/{))3()(2)( 3
+∞=≥−ℜ∈=−==⇒= −
xxxyDomfDomxf x
b) }3,0{}03/{
3
2
)()( 2
2
3
2
2
−ℜ==−ℜ∈−ℜ=





−
==⇒= −
xxx
xx
yDomfDomexf xx





=⇒=−
=
⇔=−⋅⇔=−
303
0
0)3(032
xx
x
xxxx
c) ℜ==+ℜ∈−ℜ=





+
==⇒





=
+
}01/{
1
2
)(
2
1
)( 2
2
1
2
2
xx
x
yDomfDomxf
x
realsolucióntieneNo101 22
⇒−=⇔=+ xx

4. V) FUNCIÓN LOGARÍTMICA
1) ),0()(1,0log)( +∞=⇒≠>= fDomaaconxxf a
2) }0)(/)({)(1,0)]([log)( >∈=⇒≠>= xggDomxfDomaaconxgxf a
Ejemplos
a) 





+∞−=>+ℜ∈=⇒+= ,
2
1
}012/{)()12(log)( 2 xxfDomxxf
2
1
12012 −>⇔−>⇔>+ xxx
b) =>−ℜ∈=⇒−= }03/{)()3ln()( 33
xxxfDomxxxf ),3()0,3( +∞∪−
),3()0,3(0)3()3(033
+∞∪−∈⇔>+⋅−⋅⇔>− xxxxxx
Ceros





±=⇒=−
=
⇔=−⋅⇔=−
303
0
0)3(03
2
23
xx
x
xxxx

5. VI) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN SENO
a) ℜ=⇒= )()( fDomxsenxf
π2Periodo =→ T
b) )()()]([)( gDomfDomxgsenxf =⇒=
Ejemplo
),2(}02/{
2
1
)(
2
1
)( +∞=>−ℜ∈=





−
==⇒





−
= xx
x
yDomfDom
x
senxf
FUNCIÓN COSENO
a) ℜ=⇒= )(cos)( fDomxxf
π2Periodo =→ T
b) )()()](cos[)( gDomfDomxgxf =⇒=
Ejemplo
),0()ln()()cos(ln)( +∞===⇒= xyDomfDomxxf

6. FUNCIÓN TANGENTE






Ζ∈+−ℜ==ℜ∈=⇒= kkxxfDomxtgxf ;
2
)12(}0cos/{)()(
π
π=→ TPeriodo
FUNCIÓN COTANGENTE
};{}0/{)(cotg)( Ζ∈−ℜ==ℜ∈=⇒= kkxsenxfDomxxf π
π=→ TPeriodo

7. FUNCIÓN SECANTE






Ζ∈+−ℜ==ℜ∈=⇒= kkxxfDomxxf ;
2
)12(}0cos/{)(sec)(
π
π2Periodo =→ T
FUNCIÓN COSECANTE
};{}0/{)(cosec)( Ζ∈−ℜ==ℜ∈=⇒= kkxsenxfDomxxf π
π2Periodo =→ T

8. VII) COCIENTE DE FUNCIONES NO POLINÓMICAS:
)(
)(
)(
xh
xg
xf =
}0)(/)({)]()([)( =∈−∩= xhhDomxhDomgDomfDom
(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
Ejemplos
a)
)1ln(
)(
−
=
x
x
xf
ℜ=→= Dominioxy
),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=→−= xxxxxy
2110)1ln( =⇔=−⇔=− xxx
),2()2,1()(Por tanto, +∞∩=fDom
b)
1
102
)( 1
−
+
= +x
e
x
xf
),5[}0102/{Dominio102 +∞−=≥+ℜ∈=→+= xxxy
),5[51020102 +∞−∈⇔−≥⇔−≥⇔≥+ xxxx
ℜ=→−= +
Dominio11x
ey
101101 11
−=⇔=+⇔=⇔=− ++
xxee xx
),1()1,5[)(Por tanto, +∞−∪−−=fDom
VIII)FUNCIONES DEL TIPO: )(
)( xg
xfy =
)(}0)(/)({Dominio gDomxffDomx ∩>∈=
(Valores de x en los que 0)( >xf y f y g están definidas a la vez)
Ejemplos
a)
2
1
55
3
)(
−






−
−
=
x
x
x
xf

9. )3,1(0
55
3
∈→>
−
−
x
x
x
Ceros Polos
303 =⇒=− xx 1055 =⇒=− xx
}2{Dominio
2
1
−ℜ=→
−
=
x
y
)3,2()2,1(})2{()3,1()(Por tanto, ∪=−ℜ∩=fDom
IX) FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Se estudian las funciones parciales en cada uno de los subintervalos en los que están definidas.
Ejemplo
a)







≥−
<<−
−≤<−−
=
52
31
1
1332
)(
xsix
xsi
x
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
)(]1,3(Dominio32 fDomxy ∈−−⇒ℜ=→−=
)()3,0()0,1(}0{Dominio
1
fDom
x
y ∈∪−⇒−ℜ=→=
)(),5[Dominio2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
),5[)3,0()0,3()(Por tanto, +∞∪∪−=fDom

10. b)









≥−
<<
−
≤
−
=
62
61
)1ln(
1
1
2
1
)(
2
xsix
xsi
x
xsi
xx
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
)(]1,0()0,(}2,0{}02/{Dominio
2
1 2
2
fDomxxx
xx
y ∈∪−∞⇒−ℜ==−ℜ∈−ℜ=→
−
=
2ò00)2(022
==⇔=−⋅⇔=− xxxxxx
⇒+∞∪=−+∞==−−>−ℜ∈=→
−
= ),2()2,1(}2{),1(}0)1ln(/{}01/{Dominio
)1ln(
1
xxxx
x
y
)()6,2()2,1( fDom∈∪⇒
)(),6[Dominio2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
}2,0{)(Por tanto, −ℜ=fDom

12. 2. RECORRIDO
OBTENCIÓN DEL RECORRIDO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
Para calcular el recorrido de una función, se representa
gráficamente y luego se estudia sobre el eje de ordenadas.
Procedemos igual que en el dominio, pero ahora proyectamos
sobre el eje de ordenadas.
En la gráfica de la derecha }0{)(Rec −ℜ=f .
OBTENCIÓN DEL RECORRIDO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA
Para calcular el recorrido de una función expresada en forma analítica, )(xfy = , se debe encontrar una
expresión en la que se puedan obtener los valores de la variable “x” en función de los valores de la variable “y”.
Esta expresión no siempre es una función, como veremos más adelante, pero su dominio constituye el recorrido
de )(xf .
Ejemplo: Calcular el recorrido de la función
12 +
=
x
x
y .
Hay que obtener “x” en función de su imagen “y”, y determinar el dominio de esta expresión.
xyxyxxy
x
x
y =+⇒=+⋅⇒
+
= 2)12(
12 12
)12(2
−
−
=⇒−=−⋅⇒−=−⇒
y
y
xyyxyxxy
2
1
012existe)(1
≠⇔≠−⇔= −
yyyfx






−ℜ=
2
1
)(RePor tanto, fc
Recorrido de f(x) es el conjunto de valores que toma la variable dependiente “y”, es decir, el conjunto de
números reales que son imagen de algún elemento del dominio de f(x). Se denota por Rec(f).
})()(/{)(Re yxfconfDomxyfc =∈∃ℜ∈=