Este documento presenta una guía de funciones de dos o más variables que incluye ejercicios para calcular dominios, graficar curvas de nivel, hallar límites, derivadas parciales y totales, y aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos condicionados de funciones. El documento contiene 33 ejercicios que abarcan una variedad de temas relacionados con el cálculo multivariable.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE BOLIVAR
MATEMATICAS III
GUÍA DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES
1. Halle el Dominio de las siguientes funciones:
( ) ( )4ln, −= xyyxf ( ) 22
44, yxyxf −−=
( )
y
yx
yxf
1
,
22
+−
= ( ) ( )221
1, yxsenyxf −−= −
( ) yxyxf +=, ( ) 





+
+
= −
2
2
1
1
1
tan,
y
x
yxf
2. Grafique algunas Curvas de Nivel para cada una de las siguientes funciones.
( ) yxyxf −=, ( ) ( )yxyxf −= ln, ´
( ) 22
925, yxyxf −−= ( ) 22
2
,
yx
x
yxf
+
=
( ) xyyxf =,
22
),( yx
eyxf −−
=
3. Demuestre usando la definición de Límite
( ) 1042lim 22
)1,3(,
=−+−
→
yxyx
yx
( ) 53lim 2
)2,1(,
=+
→
yx
yx
( ) 2lim 22
)1,1(,
=+
→
yx
yx
( ) 42lim 2
)4,2(,
−=−+
−→
yxx
yx
4. Use la definición para hallar las derivadas de primer orden a las siguientes funciones.
( ) 332
3, xyxyxyxf −−= ( )
y
x
yxf
2
3
, =
( ) 222
,, zyxzyxf +−= ( ) xzzyyxzyxf 222
,, ++=
5. Obtenga las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.
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2. • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxyzxxzyzzy
zzyyxxzyxf +++++=,,
• ( ) 





−





=
y
x
Arc
x
y
Arcsenyxf cos,
• ( ) ( ) 4ln2222
ln,, eeezyxf xyzzyx
−=
• ( ) 3
12
, 





= −
zy
xyz
senyxf
• ( ) ( ) ( )mn
nmnmf 11, ++=
• ( ) 





−
= 22
2
,
yx
xy
Arctagyxf
6. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө y = rsenө. Demuestre que:
r
senu
cos
r
u
x
u θ
θ
θ
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
y r
cosu
sen
r
u
y
u θ
θ
θ
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
7. Demuestre que si u = ln ( x2
+ y2
) y 





= −
x
y
tanv 1
y
v
2
x
u
∂
∂
=
∂
∂
2
y
u
x
v
∂
∂
−=
∂
∂
8. Sea z una función de 2 variables tal que
2
1
y
x
z
=





. Demuestre que:
0
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
+
∂
∂
9. Si 





= −
y
x
tanz 1
, donde x = u sen v y = u cos v.
Demuestre que
u
z
∂
∂
= 0 y
v
z
∂
∂
= 1
10. Sea 





+= xy
y
x
t Halle
x
t
∂
∂
, y
t
∂
∂
11. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que: 







−=












−
y
1
ln2
x
1
ln2
ee
y
x
)y,x(f
Demuestre que: ( )y,xf4
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
−
∂
∂
12. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:






−−
=
2
x
1
ln
2
1
yln2
e
y
x
)y,x(f
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3. Demuestre que: ( )y,xf4
y
f
y
x
f
x 2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
13. Sea ( )xy22
e,yxfz −= , Halle
x
z
∂
∂
, y
z
∂
∂
14. Sea y
xz = , )x(y ϕ= Halle
x
z
∂
∂
15. Sea y una función de dos variables tal que: y + z = x + ln(y), Halle 2
2
x
y
∂
∂
16. Sea y una función de dos variables de modo que: 





=++ −
x
y
tankzyxln 1222
, tal
que k = ctte, Halle 2
2
x
y
∂
∂
17. Demuestre que la función x
y
xexyz += , satisface la ecuación
xyz
y
z
y
x
z
x +=
∂
∂
+
∂
∂
18. Demuestre que la función zy
yx
xu
−
+
+= , satisface la ecuación:
1
z
u
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
19. Sea ( )






−
= t
r
z
ettrf
ln
, , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
r
f
tt
r
t
f 12
19. Demuestre que la función 





+=
x
y
fxxyz , satisface la ecuación
xyz
y
z
y
x
z
x +=
∂
∂
+
∂
∂
20. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө, y = rsenө. Demuestre que:
2
2
2
2
2
2
22
2
y
u
x
uu
r
1
r
u
r
1
r
u
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
θ
21. Demuestre que si )y,x(fw = , y que x = rcosө, y = rsenө.
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4. 2
2
222
w
r
1
r
w
y
w
x
w






∂
∂
+





∂
∂
=





∂
∂
+





∂
∂
θ
22. Sea z una función de dos variables tal que, ( ) 4ln2xyzzyx
eeeln
222
= Halle
x
z
∂
∂
, y
z
∂
∂
23. Sea 





+=
x
y
hxy)xy(fw Halle y
w
∂
∂
,
x
w
∂
∂
24. Sea
x
y
y
x
)y,x(f 





= Demuestre que: 0
y
f
y
x
f
x =
∂
∂
+
∂
∂
25. Sea z una función de dos variables tal que, )e2ln(
y
x 4
z
=





Demuestre que: 0
y
z
y
x
z
x =
∂
∂
+
∂
∂
26. Sea ( )xyf
y
x
w = Demuestre que: w2
y
w
y
x
w
x =
∂
∂
−
∂
∂
27. Sea 





=
x
y
fxyw Demuestre que: w2
y
w
y
x
w
x =
∂
∂
+
∂
∂
28. Sean u y v funciones de “x” e “y” tal que:



=
+=
yuv
yxu
Halle y
u
∂
∂
,
x
u
∂
∂
, y
v
∂
∂
,
x
v
∂
∂
, 2
2
x
u
∂
∂
, 2
2
y
u
∂
∂
,
xy
u2
∂∂
∂
29. Sea ( ) ( )yyx
xegey,xf +
= . Donde g(x,y). Demuestre que: )yx(z
y
f
y
x
f
x −=
∂
∂
−
∂
∂
30. Sea z una función de dos variables tal que: x + y + z = xyz
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5. Demuestre que:
( ) x
z
xy1
y2
x
z
2
2
∂
∂
−
=
∂
∂
( ) y
z
xy1
x2
y
z
2
2
∂
∂
−
=
∂
∂
31. Demuestre que la función 





+=
x
y
fxxyz , satisface la ecuación
xyz
y
z
y
x
z
x +=
∂
∂
+
∂
∂
33. Verifique si ( ) )()cos(, kxsenkatAtxf = , cumple con:
2
2
2
2
2
x
f
a
t
f
∂
∂
=
∂
∂
; siendo A,a,k constantes
34. Sea 





++++ ztngex
zyx
f y
ln,
111
, halle y
f
∂
∂
,
x
f
∂
∂
35. Sea ( ) t
r
z
ettrf 4
2
,
−
= , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
r
f
r
rrt
f 2
2
1
32. Halle los extremos relativos e identifíquelos, para cada una de las funciones,
• ( ) 2244
242, yxyxyxyxf −+−+=
• y
y
x
x
yxf ++=
8
),(
• ( )
22
, yx
exyyxf −−
=
• )6(),( 23
yxyxyxf −−=
• yxyxyxyxf −−++= 2),( 22
• )2(),( 22
yxeyxf yx
−= −
• 22
2)1(),( yxyxf +−=
• 22
3),( xyyxxyyxf −−=
• ( )
1
4
, 22
++
−
=
yx
x
yxf
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6. 33. Utilice los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos condicionados de
las siguientes funciones con sus respectivas restricciones
• f(x,y) = 4x2
+ 2y2
+ 5, con la restricción x2
+ y2
= 24
• f(x,y) = x2
y con la restricción x2
+ 8y2
- 24
• f(x,y) = 4xy, con la restricción x2
+ y2
= 4
• f(x,y) = x + 2y, con la restricción x2
+ y2
= 5
• f(x,y,z) = x - 2y + 2z, con la restricción x2
+ y2
+ z2
= 9
• f(x,y,z) = xyz, con la restricción x + y + z = 5 y xy + yz + zx =8
• f(x,y) = cos 2
x + cos 2
y, con la restricción y - x =
4
π
• xy
eyxf =),( , con la restricción x2
+ y2
= 8
• ,),( 22
yxyxf += con la restricción 2x + 4y = 15
.
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7. 33. Utilice los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos condicionados de
las siguientes funciones con sus respectivas restricciones
• f(x,y) = 4x2
+ 2y2
+ 5, con la restricción x2
+ y2
= 24
• f(x,y) = x2
y con la restricción x2
+ 8y2
- 24
• f(x,y) = 4xy, con la restricción x2
+ y2
= 4
• f(x,y) = x + 2y, con la restricción x2
+ y2
= 5
• f(x,y,z) = x - 2y + 2z, con la restricción x2
+ y2
+ z2
= 9
• f(x,y,z) = xyz, con la restricción x + y + z = 5 y xy + yz + zx =8
• f(x,y) = cos 2
x + cos 2
y, con la restricción y - x =
4
π
• xy
eyxf =),( , con la restricción x2
+ y2
= 8
• ,),( 22
yxyxf += con la restricción 2x + 4y = 15
.
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