Esta actividad sirve como apoyo para el desarrollo de las actividades de estudiantes que lleven la asignatura de calculo diferencial

1. Cálculo diferencial
Unidad 1. Números reales y funciones
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Actividad 3. Funciones
Resuelve los siguientes ejercicios de funciones
1. Hallar el dominio de la función 2
( ) 2 5 12f x x x   .
Para encontrar el dominio de la función Df consideramos la ecuación dentro del
radical con
f(x) = √g(x) D f = { 𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑔(x)≥ 0
Entonces g(x) = 2x2
– 5x -12 ≥ 0 (2X + 3) (X-4) ≥ 0
SE DIVIDE EN 2 CASOS
Caso 1
2X + 3 ≤ 0 y x – 4 ≤ 0 2x ≤ -3 y x ≤ 4
El Conjunto solución del caso 1 es
CS1 = X ≤
−3
2
∩X ≤ 4 = (−∞,
−3
2
∩(-−∞,4 =( −∞,
−3
2
Caso 2
2X + 3 ≥ 0 y x – 4 ≥ 0 2X ≥ -3 y X ≥ 4
El conjunto solución del caso 2 es
CS2 = X ≥
−3
2
∩X ≥ 4 =
−3
2
, ∞) ∩ 4, ∞)
Entonces el dominio de la función es
D f = CS = CS1∪CS2=( −∞,
−3
2
∪ 4, ∞)
2. Dada la función
2
2 10
( )
7 5
x
f x
x



hallar todos los valores x tales que ( ) 0f x  .
Sea
2
2 10
( )
7 5
x
f x
x



= 0 resolviendo la ecuación
2
2 10
( )
7 5
x
f x
x



Realizando producto cruzado entre las igualdadescorrespondientes queda
2X2
- 10 = 0 2X2
= 10 2X2
= 10X2
= 5 X= ±√5
2 2
Entonces los valores son
X1= √5X2= √−5

2. Cálculo diferencial
Unidad 1. Números reales y funciones
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3. Hallar el dominio de la función 2
15 1
( )
9
4
6
x
f x
x x 

 .
Equivalentemente f(x) =
𝑋+4
6𝑥2 − 19𝑋+15
El denominador 6𝑥2
− 19𝑋+ 15debe de ser distinto de cero para encontrar la
función Se busca el complemento es decir, cuando el denominador escero
Es decir, 6𝑥2
− 19𝑋 + 15 = 0
Factorizando la ecuación queda
(2X-3) (3X-5) = 0
2X – 3 = 0 2X = 3 X=
3
2
3X – 5 = 0 3X = 5 X=
5
3
Son los valores donde el denominador es ceroEl Dominio de la función son todos los
números reales menos el
3
2
y el
5
3
Es decir
D f = { 𝑥 ∈ 𝑅/𝑋 ≠
3
2
& 𝑋 ≠
5
3
4. Dadas las funciones ( ) 2 1f x x  y ( ) 4g x x  hallar la función por secciones para
la función  ( )f g x .
Definamos el valor absoluto de f(x)
|2𝑋 + 1|= 2X + 1 si X≥ −
1
2
-1 - 2X si X≤ -
1
2
Definamos el valor absoluto de g(x)
| 𝑋 − 4|= X – 4 si X ≥ 4
- X + 4 si X< 4

3. Cálculo diferencial
Unidad 1. Números reales y funciones
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Entonces realizando (f + g) (x) de acuerdo con la definición de valor absoluto por lo tanto
queda
(f + g) (x) = si X≤
1
2
y X < 4 1 – 2x – x + 4 = -3x -3
= si X≥
1
2
↔
1
2
≤ 𝑋 y X< 4 2X + 1 – X +4 = X + 5
Si X≥
1
2
y x ≥ 4 ↔ 4 ≤ 𝑥 2x + 1 + x + 1 + x – 4 = 3x – 3
Ahora seccionándolos por los intervalos mencionados quedafinalmente
-3x + 3 si x <
1
2
(f + g) (X) = x + 5 si
1
2
≤ 𝑥 < 4
3x – 3 si 4 ≤ x
5. Graficar la función 2
( )
1
x
f x
x


.
Calculamos primero la asíntota vertical por lo que igualamos el denominador a cero y
luego despejamos a x
X2
– 1 = 0 22
= 1 X = ±√1 X = ± 1
Por lo consiguiente tenemos las ecuaciones de las asíntotas verticales
X = 1 y X = -1
Lo que significa que la gráfica de la función se acercara a las rectas verticales
mencionadas sin tocarlas
Ahora encontraremos la asíntota horizontal por lo que dividimos la función entre la x de
mayor potencia que es x2

4. Cálculo diferencial
Unidad 1. Números reales y funciones
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𝑓( 𝑥) = 𝑦 =
𝑥
𝑥2 =
(1)
x
Sustituimosx por∞
(1)
∞
Y= =
0
1
= 0
1-
(1)
∞
Parafinalizartabulamosvaloreshacialaderechaaizquierdadelasasíntotasverticales
X Y
-4 -0.266
-3 -0.375
-2 -0.666
0 0
2 0.666
3 0.375
4 0.666
DESARROLLO GRÁFICO
6. Graficar la función 2
( ) 9f x x  .

5. Cálculo diferencial
Unidad 1. Números reales y funciones
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7. Encuentre el dominio de la función 2 2
9) 5( 6f x x x x   .
Definimosel dominiode f(x) =g(x) – h(x) que esentonces
D f = Dg – h = Dg ∩ Dh
Despuesencontramosel Dominiode g(x) consideramoslaecuacióndentrodel radical con
g(x) = √ 𝑔(𝑥) Dg = x∈ 𝑅⎥g1 (x)≥0
Entonces
g(x) = √𝑥2 − 9 Dg x∈ 𝑅⎥𝑥2 − 9 ≥ 0
Resolviendo:
𝑥2 - 9 ≥ 0 𝑥2 ≥ 9 [ 𝑥] ≥ 3 x ≥ 3 o x ≤ −3
Por lotanto el dominioeng(x) es
Dg = (-∞,−3ℶ ∪ 3, ∞)
Para encontrarael dominiode la funciónDh se consideralaecuacióndentrodel radical con
h(x) = √h1𝑥 D f = x∈ 𝑅⎥ h1(x) ≥ 0
Entoncesh1 (x) =𝑥2 – 6x + 5 ≥ 0 (x-5) (x-1) =(-∞,1
Caso 1
X – 5 ≤ 0 y x-1≤ 0 x≤-5 y x≤ 1
El conjunto soluciónes
CS1 = x≤ -5∩ x≤ 1= (-∞,−5 ∩ (-∞,1 = (-∞,1
Caso 2
X – 5 ≥ 0 y x-1≥ 0 x ≥ 5 y x ≥ 1
El conjuntosolcióndel caso2 es
CS2 = x ≥ 5 ∩ x ≥ 1 = 5, ∞) ∩ 1 , , ∞) = 5, ∞)
Entoncesel dominiode lafunciónes
Dh = CS = CS = CS1∪ CS2 = (-∞,1 ∪5, ∞)

6. Cálculo diferencial
Unidad 1. Números reales y funciones
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Por ultimoel dominioqueda
D f = D g-h = Dg ∩ Dh = (-∞,−3 ∪ 3, ∞) ∩(-∞,1 ∪ 5, ∞)
D f = (-∞,−3 ∪ 5, ∞)
8. Dada la función
1
( )
1
f x
x


, hallar los valores x tales que ( )f f x x .
Para encontrarlosvaloresde x definamosde acuerdoaladefinición
1 _ _ = x 1 _= X
f(f(x) =x 1 _ + 1 1 _ + 1
X+1 X+1
Resolviendolaecuaciónque
1= X1+ 1 _ X 1+ 1 _ = 1 X ( X +1 ) +X _ = X
X +1 X +1 X +1
Realizandooperacionescorrespondientes
X2
+ 2X = 1 X (X+2)= 1 X(X +2) = X + 1 X (X+ 2) = X +1 X2
+ X - 1 = 0
X + 1 X + 1
Resolviendolaecuaciónporformulageneral de segundogradoqueda
𝑥 =
−1±√12−4(1)(−1)
2(1)
= 𝑥 =
−1±√1+4)
2
= 𝑥 =
−1±√5
2
Debidoa que unaecuaciónde segundogradotiene dossoluciones,resolvemos
𝑥1 =
−1 + √5
2
𝑥2 =
−1 − √5
2