1. ´
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA
DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA
GU´ DE VARIABLE COMPLEJA
IA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Profesor: M.J. Suazo
Intrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios en forma clara y ordenada, dejando en evidencia
las resoluciones. Tenga presente que respuestas sin procedimiento no tendr´n ninguna validez.
a
FUNCIONES ELEMENTALES
1. Exprese los siguientes n´meros de la forma x + iy.
u
a) e2+3πi
2 + 5πi
b) e 4 √
c) log(−1 + 3i)
d) log(−3i)
e) (1 + i)i+2 √
f) Encuentre el valor principal de [e(−1 + 3i)]3πi
g) sen(3 − i) + cos(1 − 2i)
h) senh(2 − i)
i) tan−1 (2i)
j) cosh−1 (−1 + 2i)
k) sen−1 (−i)
l) (1 + i tan 2)i
2) Resuelva las siguientes ecuaciones, encuentre todos los valores z tales que cumplan las igual-
dades:
a) ez = 1 − i
b) e2z = −4
π
c) log(z − 1) = 1 + i
2
d) sec z = 2
e) sen z = −3i
f) cos−1 z = 1 + i
g) cos z = sen z
2 2
3) Probar que |ez | ≤ e(|z| ) , z ∈ C.
4) Escribir Re(e1/z en t´rminos de x y y. Defina en que conjunto esta funci´n es arm´nica.
e o o
5) Sean α1 , α1 , z ∈ C. Probar que si todas las potencias involucradas son valoeres principales,
entonces:
a) 1/z α1 = z −α1
b) z α1 z α2 = z α1 +α2
c) z α1 /z α2 = z α1 −α2
1

2. 6) Demuestre la identidad sen(z1 + z2 ) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2 .
7) Demuestre la identidad cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sen z1 sen z2 .
8) Sea f (z) = z sen z donde se ha usado el valor principal. Encuentre f (i).
9) Demuestre que senh z = senh x cos y + i cosh x sen y.
10) Demuestre que cosh z = cosh x cos y + i senh x sen y.
2