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MATEMÁTICAS 4º ESO Juan Jesús Pascual
PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA RESUELTOS
1/4
1. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.
Solución:
La altura, y, del árbol la deducimos de la
relación siguiente:
y 10
tg30 y 10 tg30 y m
10 3
= ⇒ = ⋅ ⇒ =
2. Calcula x e y:
Solución:
En la figura aparecen dos triángulos
rectángulos, los cuales verifican, cada uno
de ellos, las dos ecuaciones que forman el
siguiente sistema:
y
tg45
x
y
tg30
3 x
 =
 = +
Operando:
( )
x tg45 y
3 x tg30 y
 ⋅ = ⇒
 + =
( )
( )
x tg45 y
x tg45 3 x tg30
40 x tg30 y
 ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒
 + =
( )
1 3 3 3
x 3 x x
23 3 1
+
⇒ = + ⋅ ⇒ = =
−
m
Calculemos finalmente el valor de y:
3 3
x tg45 y x y
2
+
⋅ = ⇒ = = m
3. Calcula x e y en la siguiente figura.
Solución:
x
30º 45º
3 m
y
Matemáticas 4ª ESO Trigonometría. Problemas Geométricos
2/5
Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica.
Resolvemos el sistema:
y 1001 100
m y x
200100 33 33 x m
x y 100 3x y3 3
100 100
  == +   ⇒ ⇒ = ⇒ = 
 + + =  =   
4. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)
Solución:
Aplicamos el teorema del coseno:
2 2 2
a b c 2 b c cosA= + − ⋅ ⋅ ⋅
Entonces
2 2 2
y 10 12 2 10 12 cos 45= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
y 100 124 240 cos 45 9,9 m= + − ⋅ =
5. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno:
a b c
senA senB senC
= =
Solución:
Sustituimos los valores dados en la expresión
del teorema del seno:
a b c
senA senB senC
= = ⇒
y3 x
sen80 sen40 sen60
⇒ = = ⇒
3 sen40
y 1,96 m
sen80
3 sen60
x 2,64 m
sen80
 ⋅ = =⇒ 
 ⋅ = =
45º
10
y
12
80º40º
x
y
z= 3m
m
100 m
30º
y
100 m
60º
x+y
y
tg30
100
=
x y
tg60
100
+
=
Trigonometría. Problemas Geométricos Matemáticas 4º ESO
3/5
6. Halla la altura del cuerpo más alto
Solución:
En la figura aparecen dos triángulos rectángulos. Hay que hallar a b+ .
7. Halla la altura de la montaña
Solución:
Rehacemos el dibujo y
de él extraeremos dos
ecuaciones, cada una
de ellas perteneciente
a un triángulo
rectángulo (el CBB´
y el ACC´
30º
45º
c
b
45º
5 m
a
c
30º
a 5
sen30 a m
5 2
= ⇒ =
c 5 3
cos30 c m
5 2
= ⇒ =
Con el anterior triángulo hemos hallado el valor
de c. Observando el triángulo de la izquierda
podemos obtener b:
b 5 3
tg45 b m
c 2
= ⇒ =
Luego la altura pedida es:
( )5 3 15 3 5
a b m
2 2 2
+
+ = + =
Con este triángulo obtenemos a y c:
A
C
B
45º
30º
h
4000 m
Matemáticas 4ª ESO Trigonometría. Problemas Geométricos
4/5
Resolvamos éste sistema:
4000 h4000 h
1tg45 x 4000 hxx
4000 h h 3
1 hh x h 3
tg30
x3x
−−  ==  = −   
⇒ ⇒ ⇒ − = ⇒  
=  ==
  
4000
h m 1464 m
3 1
⇒ = ≈
+
8. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.
A
C
B
45º
30º
h
4000 m
45º
4000 h−
x
B´
C´
Triángulo CBB´:
4000 h
tg45
x
−
=
Triángulo ACC´ :
h
tg30
x
=
60º
45º75º
678 m
x
y
z
A
B
C
D
Trigonometría. Problemas Geométricos Matemáticas 4º ESO
5/5
Solución:
Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC :
y 678
y z 678 sen45 sen60
z 678sen45 sen75 sen60
sen75 sen60
 == = ⇒ ⇒
 =
y 678
22 3 y 678 m
32 2
z 678 1356
z sen75 m
sen75 3 3
2
 =    =  ⇒ ⇒ 
  =  =   
Ahora nos fijamos en el triángulo ACD :
2 2 2
x 678 sen60 678 452 m
3 3 3
= ⋅ = ⋅ =
A B
C
75º 45º
60º
y z
2
600 m
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D C
A

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Ejercicios de trigonometria_iv

  • 1. MATEMÁTICAS 4º ESO Juan Jesús Pascual PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA RESUELTOS 1/4 1. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º. Solución: La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente: y 10 tg30 y 10 tg30 y m 10 3 = ⇒ = ⋅ ⇒ = 2. Calcula x e y: Solución: En la figura aparecen dos triángulos rectángulos, los cuales verifican, cada uno de ellos, las dos ecuaciones que forman el siguiente sistema: y tg45 x y tg30 3 x  =  = + Operando: ( ) x tg45 y 3 x tg30 y  ⋅ = ⇒  + = ( ) ( ) x tg45 y x tg45 3 x tg30 40 x tg30 y  ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒  + = ( ) 1 3 3 3 x 3 x x 23 3 1 + ⇒ = + ⋅ ⇒ = = − m Calculemos finalmente el valor de y: 3 3 x tg45 y x y 2 + ⋅ = ⇒ = = m 3. Calcula x e y en la siguiente figura. Solución: x 30º 45º 3 m y
  • 2. Matemáticas 4ª ESO Trigonometría. Problemas Geométricos 2/5 Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica. Resolvemos el sistema: y 1001 100 m y x 200100 33 33 x m x y 100 3x y3 3 100 100   == +   ⇒ ⇒ = ⇒ =   + + =  =    4. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m) Solución: Aplicamos el teorema del coseno: 2 2 2 a b c 2 b c cosA= + − ⋅ ⋅ ⋅ Entonces 2 2 2 y 10 12 2 10 12 cos 45= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ y 100 124 240 cos 45 9,9 m= + − ⋅ = 5. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno: a b c senA senB senC = = Solución: Sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno: a b c senA senB senC = = ⇒ y3 x sen80 sen40 sen60 ⇒ = = ⇒ 3 sen40 y 1,96 m sen80 3 sen60 x 2,64 m sen80  ⋅ = =⇒   ⋅ = = 45º 10 y 12 80º40º x y z= 3m m 100 m 30º y 100 m 60º x+y y tg30 100 = x y tg60 100 + =
  • 3. Trigonometría. Problemas Geométricos Matemáticas 4º ESO 3/5 6. Halla la altura del cuerpo más alto Solución: En la figura aparecen dos triángulos rectángulos. Hay que hallar a b+ . 7. Halla la altura de la montaña Solución: Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB´ y el ACC´ 30º 45º c b 45º 5 m a c 30º a 5 sen30 a m 5 2 = ⇒ = c 5 3 cos30 c m 5 2 = ⇒ = Con el anterior triángulo hemos hallado el valor de c. Observando el triángulo de la izquierda podemos obtener b: b 5 3 tg45 b m c 2 = ⇒ = Luego la altura pedida es: ( )5 3 15 3 5 a b m 2 2 2 + + = + = Con este triángulo obtenemos a y c: A C B 45º 30º h 4000 m
  • 4. Matemáticas 4ª ESO Trigonometría. Problemas Geométricos 4/5 Resolvamos éste sistema: 4000 h4000 h 1tg45 x 4000 hxx 4000 h h 3 1 hh x h 3 tg30 x3x −−  ==  = −    ⇒ ⇒ ⇒ − = ⇒   =  ==    4000 h m 1464 m 3 1 ⇒ = ≈ + 8. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z. A C B 45º 30º h 4000 m 45º 4000 h− x B´ C´ Triángulo CBB´: 4000 h tg45 x − = Triángulo ACC´ : h tg30 x = 60º 45º75º 678 m x y z A B C D
  • 5. Trigonometría. Problemas Geométricos Matemáticas 4º ESO 5/5 Solución: Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC : y 678 y z 678 sen45 sen60 z 678sen45 sen75 sen60 sen75 sen60  == = ⇒ ⇒  = y 678 22 3 y 678 m 32 2 z 678 1356 z sen75 m sen75 3 3 2  =    =  ⇒ ⇒    =  =    Ahora nos fijamos en el triángulo ACD : 2 2 2 x 678 sen60 678 452 m 3 3 3 = ⋅ = ⋅ = A B C 75º 45º 60º y z 2 600 m 3 60º x D C A