Este documento presenta tres métodos para racionalizar denominadores irracionales. El primer método se aplica a expresiones de la forma a/√b y racionaliza amplificando por √b. El segundo método se aplica a expresiones de la forma a/bn y racionaliza amplificando por bn-k. El tercer método racionaliza denominadores binomiales amplificando por el conjugado del binomio. El documento incluye ejemplos y ejercicios para practicar cada método.

1. Guía de Matemática complementaria
Racionalización de Denominadores
Nombre:
INTRUDUCCIÓN
3 1 a 5
Expresiones como , , ,3 …, tienen en común que sus denominadores son irracionales o
2 2+ 3 2x 2
al menos aparecen en ellos alguna raíz.
La operatoria con tales expresiones no es sencilla y resulta muy práctico transformar los denominadores
en expresiones racionales. En otras palabras, se trata de ‘’hacer que desaparezcan’’ las raíces que hayan
en el denominador.
El procedimiento a emplear consiste en amplificar por un factor adecuado. Es decir, se multiplica el
numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual la expresión original no cambia.
A
I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:
a
2
¿Cómo racionalizar la fracción ? En los casos como éste, el factor adecuado para amplificar es la raíz
3
que aparece en el denominador, o sea 3.
2 2⋅ 3 2 3 2 3
= = =
( )
Ejemplo: Se puede observar que el denominador original 3 (irracional)
3 3⋅ 3 3² 3 se ha transformado en 3 (racional).
( se amplifica por 3 ) Además si bien la expresión inicial ha cambiado su ‘’forma’’,
sigue siendo la misma, ya que al amplificar una fracción su valor
no se altera.
2 2 3
Por lo tanto =
3 3
Denominador Denominador
Irracional Racional
En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor de amplificación.
I. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (Desarrolla en tu cuaderno)
5 3 15mx a+b
1. = 6. = 11. = 16. =
2 2 3 2 5m ab
3 5 20a ²b 1+ 2
2. = 7. = 12. = 17. =
5 2 3 10a 3
1 12 2a
3. = 8. − = 13. = 3− 2
2 6 2ax 18. =
2
1 21x 5ax
4. = 9. = 14. = 2 3− 2
3 7 5x 19. =
3 2ab 1 5
5. − = 10. = 15. =
7 6a 3mx
Srta. Yanira Castro Lizana
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2. A
II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: n
a
3
Para racionalizar, por ejemplo, la fracción 3
es necesario amplificar por 3
2² , por lo cual se consigue
2
que el radicando sea 2³
3 3 ⋅ 3 2² 33 4 33 4
Ejemplo: =3 = = 3 En general, si en el denominador aparece n a k es
3
2 2 ⋅ 3 2² 3 2 ⋅ 2² 2³
necesario amplificar por n a n − k con el objeto de
33 4
= igualar el índice de la raíz con el exponente del
2 radicando.
II. Ejercicios: Racionaliza los denominadores. (En tu cuaderno)
3 4ab 2a 2 3a a b −b a
1. 3
= 6. 3
= 10. 5
= 14. = 18. =
5 ab a³ 3
3a 4
a ³b³
4 5m 3a
2. = 7. 4 = 11. 5 = m−5
3
5 3 2 2m 2a ² 1+ 2 19. =
15. = m3 5
m 3a ² 10 25 2
3. 3
= 8. 4 = 12. 6 = x− a
a 2a 3 2
a−2 20. =
2x 3x 16. = ax 5 x ³
4. = = 3 a 4
a³
3
2a
9. 5 13. 3 = a+ b
x² a 21. =
3 2 x− y b 4 ab
= 17. =
5. 3
5 xy
m²
A
III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: =
a± b
Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por ejemplo, de
3 + 2 se amplifica por 3 − 2 . La idea es formar el producto de la suma por la diferencia que es igual
a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces.
3
=
3⋅ ( 3 − 2) = 3 3 − 3 2 = 3 3 −3 2 3 3 −3 2
= = 3 3 −3 2
Ejemplo
3+ 2 ( 3+ 2 ) ⋅ ( 3 − 2 ) ( 3 ) ² − ( 2 )² 3− 2 1
III. Ejercicios: Racionaliza los denominadores
2 2m 3 2 3
1. = 6. = 10. = 14. =
5− 2 6− 2 2 3+ 2 2 7 −3 2
7 3 2 9
2. = 7. = 11. = 2− 3
5+ 3 11 − 2 5−2 2 15. =
3− 2
4 3
3. = 5 2 12. =
7+ 2 8. = 1+ 5
7− 2 3 2 −2 3 16. =
2 5− 3
4. = 7 10 3 2
7+ 5 9. = 13. = 6−2
10 + 3 5−2 3 17. =
3a 2 3− 2
5. =
2− 3
Srta. Yanira Castro Lizana
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3. 3 −1
18. =
3 6 −2 3
3 2
19. =
5 2 −1
2 3
20. =
3 3 +1
Srta. Yanira Castro Lizana
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