Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con puntos, rectas y ecuaciones en el plano cartesiano. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos, las coordenadas del punto medio de un segmento, la pendiente de una recta y las ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares. Luego, proporciona ejemplos para practicar estos conceptos.

1. 1
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 21
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN DE LA RECTA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1)
y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
dAB = 2 2
(x2  x1) + (y2  y1)
y
y2
y1
A
B
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB
son
xm = 1 2 x + x
EJEMPLOS
2
y
y2
y1
A
1. La distancia entre los puntos A = (2,3) y B = (5,6) es
A) 6
B) 2 3
C) 3 2
D) 6
E) 18
, ym = 1 2 y + y
2
0 x1 x2
x
x2  x1
y2  y1
B
M
0 x1 x2
x
ym
xm
C u r s o : Matemática
Material N° 21

2. 2. El punto medio del trazo cuyos extremos son los puntos A = (-3,6) y B = (2,5) es
2
A) (-1, 11)
B) (-5, 1)
C)
1 11
,
2 2
 
 
 
D)
1 11
- ,
2 2
 
 
 
E)
1 11
, -
2 2
 
 
 
3. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos
A(-1, -5) y B (-7, 3)?
A) 5
B) 2
C) 10
D) 4 2
E) 10
4. En la circunferencia del ejercicio 3, ¿cuáles son las coordenadas del centro?
A) (-8, -2)
B) (-4, -1)
C) (-3, -4)
D)
7 3
- , -
2 2
 
 
 
E)
9 1
- ,-
2 2
 
 
 
5. Si los puntos A(3, 4), B(-2, 6) y C(3, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo, entonces el
área del triángulo es
A) 2
B) 3
C) 5
D) 8
E) 10
6. La intersección de las diagonales del cuadrado formado por los vértices que están en los puntos
(4, 5), (-3, 5), (-3, -2) y (4, -2) es el punto de coordenadas
A) (1, 2)
B)
1 3
,
2 2
 
 
 
C)
1 1
,
2 2
 
 
 
D)
3 1
,
2 2
 
 
 
E)
3
 
 1,

 2


3. PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x,
en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
m = tg  =
y y
x x
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA
Sea  el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:
 ( = 0º) si y sólo si (m = 0)  (0º    90º) si y sólo si (m  0)

L
L
 ( = 90º) si y sólo si (m no está definida)  (90º    180º) si y sólo si m  0)
3
EJEMPLOS

L
1. La pendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1) y B(-6, 7) es
A) -
6
5
B) -
6
7
C) -
7
8
D) -
8
5
E) -
8
7
BP
PA
=


2 1
2 1
y
0 x
L tiene pendiente positiva
y
0 x
L es paralela al eje y
y

0 x
L
L tiene pendiente negativa
y
0 x
L es paralela al eje x
y2
y1
A
B
P
x1 x2
L
x
y
y2 – y1
x2 – x1



4. 2. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva?
A) B) C) D) E)
3. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 7?
A) B) C) D) E)
y
y
1
7
7 x
4. Si los puntos A(2, 3), B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces a =
4
A) 5
B) 3
C) 1
D) -3
E) -7
5. Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuánto debe ser el valor de
k para que el producto de las pendientes de AB y CD sea -1?
A) -9
B) -3
C) 3
D) 9
E) 15
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
1
-7 1
x
7
x
y
-1
7 x
y
-1

5. 

y y
x x
5
ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA
donde m = pendiente
n = coeficiente de posición
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE PENDIENTE DADA.
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.
ECUACIÓN DE SEGMENTOS
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.
(a, 0) es el punto del eje X
(0, b) es el punto del eje Y
EJEMPLOS
1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente - 2
3
es
A) 2x + 3y + 17 = 0
B) 2x + 3y – 17 = 0
C) 2x + 3y – 6 = 0
D) 2x – 3y – 1 = 0
E) 2x + 3y + 1 = 0
2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos 1
 
 1,

 2

y -3
  - 2,


 2

es
A) y = 3
2
x – 1
B) y = - 3
2
x + 2
C) y = - 2
3
x + 7
6
D) y = 2
3
x – 1
6
E) y = 2
3
x + 1
3
y = mx + n
(y – y1) = m(x – x1)
(y – y1) = 2 1
2 1
(x – x1)
x y
+
a b
= 1

6. 3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) y tiene pendiente 0?
6
A) 3x – y = 0
B) x – y = 0
C) y = 3
D) x = 3
E) x = 3y
4. ¿Cuál es la ecuación de la recta que representa el gráfico de la figura 1?
A) 6x - 5y = 15
B) 6x - 5y = 30
C) 5x - 6y = 15
D) 5x - 6y = -30
E) 5x - 6y = -15
5. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente -1?
A) x + y = 0
B) x – y = 0
C) x + y = 1
D) x – y = 1
E) x = -1
6. ¿Qué valor debe tener k para que la recta (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el
punto (2, 1)?
A) 2
B)
1
2
C) 0
D) -
1
2
E) -2
x
y
5
-6
fig. 1

7. L1  L2 si y sólo si m1  m2 = -1 L1
7
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:
L1  L2 si y sólo si m1 = m2
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:
EJEMPLOS
y
fig. 2
1. La recta que pasa por los puntos (0, 0) y (-2, 3) es paralela a la recta que pasa por los
puntos
A) (0, 5) y (4, 3)
B) (0, 6) y (3, 5)
C) (4, 0) y (0, 6)
D) (0, 6) y (0, 4)
E) (0, 6) y (0, 2)
2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta paralela a la recta de ecuación
3x – 2y = 6?
A) 3x + 2y = 0
B) 4x + 3y = 4
C) 3x – 2y = 0
D) 5x – 4y = 3
E) x + y = 3
L2
0 x
L1
L2
0
 
x
y
fig. 1

8. 3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta perpendicular a la recta de ecuación
Págs. 1 2 3 4 5 6
1 y 2 C D A B C B
3 y 4 E C E C D
5 y 6 E D C D A B
7 y 8 C C B C D E
8
x – 3y = 4?
A) 3x – y = 2
B) 3x + y = -1
C) 3x + 2y = 1
D) x + y = 3
E) x – y = -3
4. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x – 5y = 6 sean perpendiculares?
A) -
10
3
B) -
6
5
C) 6
5
D) 5
4
E) 10
3
5. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta
2y – x + 8 = 0?
A) x – 2y – 2 = 0
B) 2x + y – 7 = 0
C) x – 2y + 6 = 0
D) x – 2y – 6 = 0
E) x – 2y + 9 = 0
6. Si una recta tiene ecuación 3x + 2y = -1, ¿cuál es la ecuación de una recta perpendicular a ella y
que pasa por el punto (3, -2)?
A) 2x + 3y = 0
B) x + 2y = -1
C) 2x + y = 4
D) 3x – 2y = 13
E) 2x – 3y = 12
RESPUESTAS
DMTRMA21
Ejemplos
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