El documento presenta 10 ejercicios de geometría que involucran triángulos rectángulos, paralelogramos, rombos y figuras con ángulos de elevación para calcular lados y ángulos desconocidos. Cada ejercicio está seguido por su solución detallada usando teoremas geométricos como Pitágoras y funciones trigonométricas.

1. Resolución de triángulos rectángulos
Ejercicio nº 1.-
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54. Halla la
medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.
Ejercicio nº 2.-
Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto mide la
altura del paralelogramo? ¿Y su área?
Ejercicio nº 3.-
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del
otro cateto y la medida de sus ángulos.
Ejercicio nº 4.-
Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.
Ejercicio nº 5.-
Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo.
Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el
cable? ¿Cuál es la longitud del cable?
Ejercicio nº 6.-
Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo
un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80. Halla la altura de la
torre.
Ejercicio nº 7.-
Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:
a Calcula la altura del árbol.
b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

2. Ejercicio nº 8.-
Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:
Halla el valor de c y la longitud del cable.
Ejercicio nº 9.-
Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:
Ejercicio nº 10.-
Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6 metros en línea
recta y este ángulo es de 50.¿Cuál es la altura del edificio?

3. Soluciones
Resolución de triángulos rectángulos
Ejercicio nº 1.-
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54. Halla la
medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.
Solución:
Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:
ˆ ˆ
A  90  B  90  54  36
ˆ
C  90
Hallamos los lados:
ˆ b 4,8 4,8
sen B   sen 54   c  5,93 cm
c c sen 54
ˆ b 4,8 4,8
tg B   tg 54   a  3, 49 cm
a a tg 54
Por tanto:
ˆ
a  3, 49 cm; A  36
ˆ
b  4, 8 cm; B  54
ˆ
c  5, 93 cm; C  90
Ejercicio nº 2.-
Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto mide la
altura del paralelogramo? ¿Y su área?
Solución:
Para hallar la altura hacemos:
h 12 3
sen 60   h  12sen 60   6 3 cm
12 2
El área será A  20  6 3  120 3 cm2 .

4. Ejercicio nº 3.-
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del
otro cateto y la medida de sus ángulos.
Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:
a2  b2  c 2
122  b 2  152  144  b 2  225
b 2  225  144  81  b  9 cm
Hallamos los ángulos:
ˆ b ˆ 9 ˆ
sen B   sen B   0, 6  B  36 52'12"
c 15
ˆ ˆ
A  90  B  53 7' 48"
ˆ
C  90
Por tanto:
ˆ
a  12 cm; A  53 7' 48"
ˆ
b  9 cm; B  36 52'12"
ˆ
c  15 cm; C  90
Ejercicio nº 4.-
Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.
Solución:
Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:
72  52  l 2  l 2  74  l  8,6 cm
Hallamos los ángulos:
ˆ 5  A  35 32' 16"
tgA  ˆ  ˆ ˆ
B  90  A  54 27' 44"
7
Los ángulos del rombo miden:

5. ˆ
2A  71 4' 31"
ˆ
2B  108 55' 29"
Ejercicio nº 5.-
Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo.
Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el
cable? ¿Cuál es la longitud del cable?
Solución:
Como es un triángulo rectángulo, los otros ángulos serán:
ˆ ˆ
A  90  B  90  40  50
ˆ  90
C
Hallamos los otros lados:
b 3, 5 3, 5
tg 40   tg 40   a  4,17 m
a a tg 40
b 3, 5 3, 5
sen 40   sen 40   c  5, 45 m
c c sen 40
Por tanto, el cable de 5,45 m lo sujetaremos a 4,17 m del poste.
Ejercicio nº 6.-
Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo
un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80. Halla la altura de la
torre.

6. Solución:
h  h  x tg 80 
tg 80  
x  
 
h 
tg 60  h  x  5 tg 60 
x  5
 
x tg 80  x  5 tg 60
x tg 80  x tg 60  5 tg 60
x tg 80  x tg 60  5 tg 60
 
x tg 80  tg 60  5 tg 60
5 tg 60
x  2, 20 m
tg 80  tg 60
5 tg 60 tg 80
h  12, 47 m
tg 80  tg 60
La torre tiene una altura de 12,47 metros.
Ejercicio nº 7.-
Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:
a Calcula la altura del árbol.
b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?
Solución:

7. h
h  1  xh
tg 45   x
x 
h 
tg 35 

 h
7, 5  x 
 tg 35 
7, 5  x
h
tg 35 
7,5  h
 7,5  htg 35  h  7,5 tg 35  h tg 35  h
7,5 tg 35  h  h tg 35 
 7,5 tg 35  h 1 tg 35 

7,5 tg 35
h  3,09 m  x
1  tg 35
a El árbol mide 3,09 metros.
b Pablo está a 3,09 metros del árbol.
Ejercicio nº 8.-
Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:
Halla el valor de c y la longitud del cable.
Solución:
5 5
sen 60   a  5,77 m
a sen 60
5 5
tg 60   x  2,89 m
x tg 60
Por otra parte, si consideramos el otro triángulo:
5 5
sen 40   b  7,78 m
b sen 40
5 5
tg 40   y  5,96 m
y tg 40
Por tanto:
La longitud del cable es a  b  5,77  7,78  13,55 metros.
El valor de c es x  y  2,89  5,96  8,85 metros.

8. Ejercicio nº 9.-
Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:
Solución:
h
sen 50   h  3 sen 50  2,30 cm
3
 a
cos 50   a  3 cos 50  1,93 cm
3
Si consideramos el otro triángulo, tenemos que:
h 2,30 2,30
sen 40    x  3,58 cm
x x sen 40
 b b
cos 40    b  3,58  cos 40  2,74
x 3,58
Por tanto:
x  3,58 cm
y  a  b  1,93  2,74  4,67 cm
h  2,30 cm
Ejercicio nº 10.-
Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6 metros en línea
recta y este ángulo es de 50.¿Cuál es la altura del edificio?
Solución:

9. h  h  x tg 60
tg 60  
x 

h 
h  x  6 tg 50

tg 50 
x  6

xtg 60  x  6 tg50  xtg 60  xtg50  6tg50
x tg 60  x tg 50  6 tg 50   
x tg 60  tg 50  6 tg 50
6tg 50
x  13, 23 m
tg 60  tg 50
6 tg 50 tg 60
h  x tg 60   22,92 m
tg 60  tg 50
Por tanto, el edificio mide 22,92 m de alto.