Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con formas de onda y desarrollos en serie de Fourier. Los ejercicios incluyen calcular valores eficaces y medios de diferentes formas de onda, como ondas cuadradas, triangulares y senoidales rectificadas, utilizando definiciones como integrales y funciones trigonométricas. También se obtienen expresiones analíticas para estas medidas en términos de parámetros como el ángulo θ. Finalmente, se busca obtener los desarrollos en serie

1. EJERCICIOS DE FORMAS DE ONDA y DESARROLLOS EN SERIE DE FOURIER.
EJERCICIO 1.- Hallar el valor eficaz, Y, de las formas de onda representadas en la figura.
RESOLUCIÓN:
Los valores eficaces de las tres formas de onda son iguales. Para la segunda forma de onda se tiene que:
t
y ( t )= Ym x
T
= Y
3
[ t
2 ∫ ]
3
2
m
t d t= Y
T
2 m
T
Y
= 1 Y
T
2
m
T
0
3
2
3
2
T
0
Y = Y m
m
=0,577 Y
3
EJERCICIO 2.- Hallar el valor medio y el valor eficaz de una onda sinusoidal alternada no simétrica de período 2π.

2. RESOLUCIÓN:
Sea la onda sinusoidal alternada no simétrica de la figura
La función de onda vendrá dada por: y ( t )=Y0+Ym x sen ω t
El valor medio se obtendrá como:
med ∫ π
Ymed =Y0
= 1 Y ( 1 Y 0 +Y
m x sen t ) dt= 0
π
ω
π
π
Y 2 2
2
2
0
El valor eficaz se calcula como:
= 1 Y 2
( Y +Y x sen t ) dt
2 ω
2
0 m
2
0
π
π
∫

 

2 π ω ω ω
 
- sen 2 t
2
 


4
t
= 1 Y
2 Y 2 +2 Y Y x ( - t ) +Y
2
0
2 2
0 m 0
2
0
π
π
π
cos max


Y 2 = 1 
π π
2

2 Y x
+ 2 2 Y
2
m
2
0
π
Y = Y + Y x
2
2
2 m
0
EJERCICIO 3.- Hallar el valor eficaz de la onda representada en la figura.
RESOLUCIÓN:
Por tratarse de una función discontinua habrá que considerar el valor de dicha función en cada intervalo dentro del
período. Así se tiene que:
0 ≤ t ≤ 0,01 s y (t)=1.000 t

3. 0,01≤ t 0,02 s y (t)=10
0,02 ≤ t ≤ 0,03 s y (t)=0
El valor eficaz vendrá dado por:

 

∫ 1.000 t d t + ∫ 10 d t
= 1 Y 2
 
0,03
0,02
0,01
2 2
0,01
0
2




+10 t
1.000 t
3
= 1 Y
0,03
0,02
0,01
2
0,01
0
3
2 2
= 1 Y 2

+10 x 0,01 =44,4
1.000 x 0,01
3
0,03
3

2 2 

Y =6,67
EJERCICIO 4.- Calcular los valores medios y eficaces de las siguientes formas de onda, utilizando las correspondien-te
definiciones:
Onda cuadrada: Onda triangular:
Onda rectificada: Onda doblemente rectificada:

4. RESOLUCIÓN:
ONDA CUADRADA
La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como:
y ( t )=Y x 0 t
ω ω π
m
≤ ≤
y ( t )=-Y x t 2
ω π ω π
m
≤ ≤
la función tiene un período T = 2 π.
Valor medio:
med ∫ ω ω
y ( t ) d t
= 1 Y
T
T
0

 
 2 ∫Y d t - ∫ Y d t
 
= 1 Y
2
med ω ω
0
π
π
π
π
max max
Ymed =0
Valor eficaz:
= 1 Y 2
2 ∫ ω ω
y ( t ) d t
T
T
0

 
 2 ∫Y d t + ∫ Y d t
= 1 Y 2
 
2
2 2
ω ω
0
π
π
π
π
max max
Y = Y ( - 0+2 - )=Y
2
2
2
2
max
max π π π
π
Y =Ymax

5. Factor de amplitud:
=1
= Y
max max
Y
F.A.= Y
Y
max
Factor de forma:
=1
= Y
Y
F.F.= Y
Y ( doblemente rectificada )
max
med max
ONDA TRIANGULAR
La función de onda, de la onda triangular, puede venir dada por:

   


   
ω π ω ω max
0 t π

≤ ≤
2
t
y ( t )=Y
2

   


   
2 - t y ( t )=Y
π ω π ω ω

≤ ≤
2
2
t 3
max
2 π

   


   
π ω π ω ω
≤ ≤ - 4

2
t
t 2 y ( t )=Y
2
3
π
max
cuyo período es de: T = 2 π.
Valor medio:
med ∫ ω ω
y ( t ) d t
= 1 Y
T
T
0
t

- 4 d t
2

∫  max ∫ max d t + ∫ Y
max

2 - t d t + Y
ω ω ω



 
med π ω
2
2
t
= 1 Y
2 Y
2
2
3
2
3
2
2
0
ω ω π
π
π
π
π
π
π
   

   

   

   

   

   


Ymed=0
= 1 Y 2
2 ∫ ω ω
Valor eficaz: y ( t ) d t
T
T
0
t

- 4 d t
2

∫   max ∫ max d t + ∫ Y
max

2 - t d t + Y
ω ω ω



2 ω π
2
2
t
= 1 Y
2 Y
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
0
ω ω π
π
π
π
π
π
π
   

   

   

    
   

   


max Y = Y
3

6. Factor de amplitud:
= 3
= Y
max max
Y / 3
F.A.= Y
Y
max
Factor de forma:
=1 15
= Y max
/ 3
Y / 2
F.F.= Y
Y med
( doblemente rectificada )
′
max
ONDA RECTIFICADA
La onda rectificada de una onda senoidal se expresa por:
y ( t )=Y sen ( t ) 0 t
ω max ω ≤ ω ≤
π
y ( ω t )=0 π ≤ ω t ≤
2
π
con un período T = 2 π.
Valor medio:
med ∫ ω ω
y ( t ) d t
= 1 Y
T
T
0
= 1 Y
Y sen ( t ) d t 2
med ω ω
0
π
π
∫ max
Y = Y med
max
π
Valor eficaz:
= 1 Y 2
2 ∫ ω ω
y ( t ) d t
T
T
0
= 1 Y 2 2
2 ω ω
Y sen ( t ) d t 2
0
π
π
∫ max
0
2
t
- sen 2 t
2
4
Y = Y
2
ω ω π

max 
π 

Y = Y max
2
Factor de amplitud:
= 2
= Y
max max
Y / 2
F.A.= Y
Y
max

7. Factor de forma:
=1 57
= Y max
/ 2
Y /
F.F.= Y
Y
med
′
max π
ONDA DOBLEMENTE RECTIFICADA
La función de onda será:
y (ω t )=Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π
con un período T = π.
Valor medio:
med ∫ ω ω
y ( t ) d t
= 1 Y
T
T
0
Y sen ( t ) d t
= 1 Y
med ω ω
0
π
π
∫ max
π Y
= 2 Ymed
max
Valor eficaz:
= 1 Y 2
2 ∫ ω ω
y ( t ) d t
T
T
0
π
∫ max
= 1 Y 2 2
Y sen ( t ) d t
2 ω ω
π
0
0
2
- sen 2 t
2
4
Y = Y t
ω ω π

max 
π 

Y = Y max
2
Factor de amplitud:
= 2
= Y
max max
Y / 2
F.A.= Y
Y
max
Factor de forma:
=1 11
= Y max
/ 2
2 Y /
F.F.= Y
Y
med
′
max π

8. EJERCICIO 5.- Calcular las expresiones del valor medio y el valor eficaz de la onda rectificada de la figura en función
de θ.
RESOLUCIÓN:
Dentro del intervalo correspondiente al período de la forma de onda, se presentan tres intervalos, en dos de los cuales
la función es nula y, por tanto, solo en el intervalo θ - π la función es distinta de cero y con un valor de:
v (t)=vo sen ( ω t )
El valor medio vendrá dado por la expresión:
= 1 V m 0 ω ω
∫
v [- ( t ) ] 2
v sen ( t ) d t 2
π
π
θ
= 1 V m o
π
θ
ω
π
cos
( 1+ )
V = vo
m θ
2
π
cos
El valor eficaz se obtiene como:
= 1 V 2 2
∫
v sen ( t ) d t 2
2 ω ω
0
π
π
θ
t
- sen 2 t
2
4
V = v
2
2
2 o
π
θ
ω ω


π 


π θ θ
2 o 

+ sen 2
2
4
-
V = v
2
2 π
2

9. 1 - + sen 2
π
θ
θ
π
2
V = vo
2
EJERCICIO 6.- Hallar el valor eficaz de una onda completa senoidal rectificada cortada en la mitad de su valor
máximo, tal como se indica en la figura.
RESOLUCIÓN:
Al cortar la onda por la mitad de su valor máximo se obtienen los dos ángulos de corte que definen los intervalos de
discontinuidad de la función. Así se tiene que:
y (t)=Ym senω t 0,5 Ym= senω t ω t=30°
por tanto:
= 5
6
1= 2
6
π
θ
π
θ
El valor eficaz de la función se expresará como:

  


5
∫ Y sen t d t + ∫ 0,5 Y d t + ∫ Y sen t d t
= 1 Y 2 2
  
2 ω ω ω ω ω
π

m
5
6
2
m
2
6
6
2 2
m
6
0
π
π
π
π
π

  


  

- sen 2 t
2
4
5
t + t +o,5
- sen 2 t
2
4
= y t Y
5
6
6
6
2
6
0
2
2 m
π
π
π
π
π
ω ω ω ω ω
π
Y =0,44 Y m

10. EJERCICIO 7.- Obtener los desarrollos trigonométricos en términos en series de Fourier de las formas de onda
indicadas en el EJERCICIO 4.
RESOLUCIÓN:
ONDA CUADRADA
La función de onda, de la onda cuadrada, se puede expresar como:
y ( t )=Y x 0 t
ω ω π
m
≤ ≤
y ( t )=-Y x t 2
ω π ω π
m
≤ ≤
la función tiene un período T = 2 π.
0 ω ω cos Σ∞
El desarrollo pedido será de la forma: y ( t )= a + an ( n t )+bn sen ( n t )
n = 1
ω = 2 π
siendo: ( T , periodo de la funcion )
T
CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:
0 ∫ y ( t ) d t
a0=0 Onda simetrica alternada
= 1 a
T
T
o
Por otro lado se sabe que, por ser una función impar los términos an = 0 y por tener simetría de semionda bn = 0 con n
impar. Por tanto, el desarrollo sólo tendrá términos impares en seno.
n ∫ cos ω ω
y ( t ) ( n t ) d t
= 2 a
T
T
0

 
 ∫Y ( n t ) d t - ∫ Y ( n t ) d t
 
= 2 a
2
n ω ω ω ω
π
0
π
π
π
max cos max cos
[ | - sen n t
] | =0
n _ max
n
= Y sen t a
n
2
0
π
π
ω π ω
π
an=0
n ∫ ω ω
y ( t ) sen ( n t ) d t
= 2 b
T
T
0

 
 ∫Y sen ( n t ) d t - ∫ Y sen ( n t ) d t
 
= 2 b
2
n ω ω ω ω
π
0
π
π
π
max max

11. [ 2 | + n t
]
= Y - t b
max cos cos
n |
0
n
n
π
π
ω π ω
π
b = Y n - n + 0+ 2 n - n = Y
π
[ ] [ 2 - 2 n ]
max cos cos cos cos max cos
n
n
π
π π π
π
Ahora bien, teniendo en cuenta que:
n 1 2 3 ... n
cos n π - 1 1 - 1 ... ( - 1 )n

[ 

se tiene que: 1 - ( - 1 ) ] = 2 Y 1 - ( - 1 )

n
b = 2 Y
n
n
n
max max
n π π
y por tanto:
n 1 2 3 ... n
[ 1 - ( - 1 )n ] / n 2 / 1 0 2 / 3 ... 2 / nimpar
Así pues,
= 4 Y 1 b
n
impar
max
n π
y ( ω t )= Σ∞
4 Y max
1
El desarrollo buscado será: sen n t
n
n = 1
ω
π
Para los primeros armónicos se tiene:


y ( t )= 4 Y sen ω t + 1 ω ω ω
sen 5 t + 1
5
 sen 7 t ...

7
sen 3 t + 1
3
ω max
π
para los cuales se verifica que:
c0=0
c = 4 Y 1
max
2 π
c = 4 Y 3
max
3 2 π
c = 4 Y 5
max
5 2 π
c = 4 Y 7
max
7 2 π
como:
+...+ c
2
n
Y = c + c
2n
2
2 1
0
por tanto: Y = 0′97 Ymax
ONDA TRIANGULAR
La función de onda correspondiente a la onda triangular es:

12. 
   


   
ω π ω ω max
0 t π

≤ ≤
2
t
y ( t )=Y
2

   


   
2 - t y ( t )=Y
π ω π ω ω

≤ ≤
2
2
t 3
max
2 π

   


   
π ω π ω ω
≤ ≤ - 4

2
t
t 2 y ( t )=Y
2
3
π
max
cuyo período es de: T = 2 π.
Como en el caso anterior, se trata de una función alternada simétrica por lo que su valor medio es nulo, es decir, a0 =
0, es una función impar, por lo cual los términos an = 0, y por tener simetría de semionda
bn = 0 con n impar. Por tanto, el desarrollo sólo tendrá términos impares en seno.
CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:
a0=0
an=0
n ∫ ω ω
y ( t ) sen ( n t ) d t
= 2 b
T
T
0
 π
∫ ( t ) sen ( n t ) d t +
n ω ω ω
π π

/ 2
/2
b = 1 Y
0
max
( t ) sen ( n t ) d t +
/ 2
3 /2
+ 2 Y sen ( n t ) d t - Y
/2
3 /2
/2
ω ω ω
π
ω ω
π
π
π
π
max
∫ max ∫
 ∫ ( t ) sen ( n t ) d t - ∫ 4 Y sen ( t ) d t

/ 2
+ Y
2
3 /2
2
3 /2
ω ω ω ω ω
π
π
π
π
π
max
max


- sen n 3
2
b = 4 Y n 2 2
max
Operando se tiene que: 

n
sen n
n
π π
π
por tanto:
π ( n - 1 )
sen n 2
=( - 1 ) n=impar
2
sen n π
=0 n= par ( Simetria de semionda )
2
así, se obtiene:
2
sen n
b = 8 Y n 2 2
n
π
π
b = 8 Y 2
max max
( - 1 ) para n=1,3,5,...
n
( n - 1 )
n 2 2 π

13. y ( t )= 8 Y ( - 1 ) 2
n - 1
ω max Σ
El desarrollo buscado es: sen n t
2 ω
π
n
2
n = 1, 3, 5, ...

y ( t )= 8 Y sen t - 1 2 ω ω ω
sen 3 t + 1
9
 sen 5 t +...
ω max
Para los primeros armónicos se tiene: 

25
π
ONDA RECTIFICADA
La función de onda se expresa por:
y ( t )=Y sen ( t ) 0 t
ω max ω ≤ ω ≤
π
y ( ω t )=0 π ≤ ω t ≤
2
π
con un período T = 2 π.
CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:
0 ∫ ω ω
y ( t ) d t
= 1 a
T
T
0
( 2 )
Y sen t d t= Y 2
0 π
2
= 1 a
0
ω ω
π
π
max
∫ max
a = Y 0
max
π
n ∫ ω cos ω ω
y ( t ) n t d t
= 2 a
T
T
0
= 2 a
Y sen t n t d t 2
n ω ω ω
0
π
π
∫ max cos
( 1+ n )
a = -Yn 2 cos π max
n - 1
π
∫ max cos
Y sen t t d t=0
= 1 Para n=1 => a
1 ω ω ω
π
0
≥ ∫ max cos
Y sen t n t d t
= 1 Para n 2 => a
π
n ω ω ω
π
0
pero para n impar se verifica que cos n π = - 1, por tanto, an = 0
para n= 2,4,6,...
a = - 2 Y n 2
max
n - 1
n ∫ ω ω ω
y ( t ) sen n t d t
= 2 b
T
T
0
2
= 1 Para n=1 => b 2
Y sen t d t= Y
0
1
max
max ω ω
π
π∫

14. ≥ ∫ max
Y sen t sen n t d t=0
= 1 Para n 2 => b
π
n ω ω ω
π
0
sen t - 2 Y 1
y ( t )= Y + Y 2
ω max max max cos Σ
El desarrollo buscado es: n t
n - 1
2
n = 2, 4, 6, ...
ω
π
ω
π
Para los primeros armónicos se tiene:


2 t + 1
sen t - 2 Y 1
 4 t +...
y ( ω t )= Y max + Y max max cos ω cos
ω

15
3
2
π
ω
π
ONDA DOBLEMENTE RECTIFICADA
La función de onda será: y (ω t )=Y max sen ( ω t ) 0 ≤ ω t ≤ π
con un período T = π.
CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES:
0 ∫ y ( ω t ) d ω t
Y sen t d t= Y
( 2 ) = 1 a
T
T
0
= 1 a
0 π
0
ω ω
π
π
max
∫ max
n ∫ ω cos ω ω
y ( t ) n t d t
= 2 a
T
T
0
π
∫ max cos
Y sen t n t d t
= 2 a
n ω ω ω
π
0
π
= - 2 a Y max cos
n +1 n 2
n - 1
π
a = 2 Y 0
max
π
De la tabla de valores:
n 1 2 3 ... n
cos n π - 1 1 - ... ( - 1 )n
se obtiene:
Para n impar => an=0 Para n par => =- 4 1 a Y max
n π
n 2 - 1
n ∫ ω ω ω
y ( t ) sen n t d t
= 2 b
T
T
0

15. π
∫ max
Y sen t sen n t d t=0
= 2 b
n ω ω ω
π
0
bn=0
y ( t )= 2 Y - 4 Y 1 2
ω cos max max Σ∞
El desarrollo buscado es: n t
n - 1
n = 2, 4, 6, ...
ω
π π
Para los primeros armónicos se tiene:
y ( t )= 2 Y - 4 Y 1 ω
 2 t +
3
ω max max cos

π π
1 cos ω cos ω
6 t +... 

4 t + 1
35
15
Ultima revisión: 09/12/01 -  F Bugallo Siegel.