El documento describe las propiedades y aplicaciones de las series de Fourier. Explica que las series de Fourier permiten descomponer funciones periódicas en suma de funciones senos y cosenos. Las propiedades incluyen linealidad, desplazamiento en el tiempo, escalamiento, inversión, multiplicación, dualidad, convolución y el teorema de Parseval. Las series de Fourier se aplican en procesamiento de señales, medicina, ingeniería eléctrica, comunicaciones y procesamiento de imágenes.

1. CONCEPTO
Joseph Fourier hizo y demostró que la “Teoría analítica del calor” de toda función
periódica de periodo T son calculadas con una suma de funciones trigonométrica
de senos y cosenos del mismo periodo T.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Linealidad
La transformada de Fourier y también su inversa tienen la propiedad distributiva-
suma. Se define como:
Ecuación 1
𝑎1 𝑥1(𝑡) + 𝑎2 𝑥2(𝑡) ↔ 𝑎1 𝑋1(𝑓) + 𝑎2 𝑋2(𝑓)
Desplazamiento en el tiempo
Cuando la señal se adelanta o retrocede en el tiempo el efecto de la densidad
espectral se define:
Ecuación 2
𝑥(𝑡 − 𝑐) ↔ 𝑋(𝑤)𝑒−𝑗𝑤𝑐
En esta ecuación la señal retrocede en el tiempo y su densidad espectral no tiene
alteraciones.
Escalamiento
<<La expansión en el tiempo afecta su densidad espectral>> [1]
Ecuación 3
𝑥(𝑎𝑡) ↔
1
𝑎
𝑋 (
𝑓
𝑎
)
Inversión o Reflexión
Cuando tenemos una señal x(t) la función va ser invertida x(-t). La transformada
de Fourier seria:
Ecuación 4
𝑥(−𝑡) ↔ 𝑥(−𝑓) = 𝑋(𝑓)
Multiplicación
En esta propiedad se tiene el producto de dos funciones periódicas y al
multiplicarlos nuestro periodo seguirá siendo T.
Ecuación 5
𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) ↔ 𝑋1(𝑓)𝑋1(𝑓)
Dualidad
<<Existe dualidad en el dominio de tiempo y la frecuencia. >> [1]

2. Ecuación 6
𝑋(𝑡) ↔ 𝑥(−𝑓)
Convolución
<<La Convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación en el
dominio de la frecuencia>> [2]
Ecuación 7
𝑥1 𝑥2 ↔ 𝑋1(𝑓)𝑋2(𝑓)
Teorema Parseval
<<Nos dice que la potencia de un señal periódica es igual a la suma de las
potencias de sus componentes armónicos. >> [3]
Ecuación 8
∫ 𝑥(𝑡)𝑣(𝑡)𝑑𝑡 =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑓)𝑉(𝑓)𝑑𝑓
∞
−∞
∞
−∞
Propiedades de las Series de Fourier
Dominio en el Tiempo Dominio en la
Frecuencia
Linealidad 𝑎1 𝑥1(𝑡) + 𝑎2 𝑥2(𝑡) 𝑎1 𝑋1(𝑓) + 𝑎2 𝑋2(𝑓)
Desplazamiento en el
tiempo
𝑥(𝑡 − 𝑐) ↔ 𝑋(𝑤)𝑒−𝑗𝑤𝑐
Escalamiento 𝑥(𝑎𝑡) 1
𝑎
𝑋 (
𝑓
𝑎
)
Inversión o Reflexión 𝑥(−𝑡) ↔ 𝑥(−𝑓) = 𝑋(𝑓)
Multiplicación 𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) 𝑋1(𝑓)𝑋1(𝑓)
Dualidad 𝑋(𝑡) 𝑥(−𝑓)
Convolución 𝑥1 𝑥2 ↔ 𝑋1(𝑓)𝑋2(𝑓)
Teorema Parseval
∫ 𝑥(𝑡)𝑣(𝑡)𝑑𝑡 =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑓)𝑉(𝑓)𝑑𝑓
∞
−∞
∞
−∞
1Leidy Chacón
APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER
Gracias al estudio de las series de Fourier, en la actualidad se puede aplicar en
muchas áreas como en la Ingeniería para procesamiento digital de señales esto
ayudado para muchos avances tecnológicos, de igual manera en el área de la
medicina, cuando se realiza una ecografía esto analiza las vibraciones del
corazón. También en el área de la Ingeniería Electrónica podemos usar en el
análisis de circuitos eléctricos para manejar pulsos. Es usada en las
Comunicaciones para analizar la frecuencia de las señales. <<En los campos

3. electromagnéticos para calcular la distribución de los campos electromagnéticos
en un espacio>> [4] . En los procesamientos de imágenes para extraer
características de interés de la imagen.
COEFICIENTES DE FOURIER EN MATLAB.
<<Nos dice que si f(x) es una función periódica, de periodo 2𝜋 se define los
coeficientes de la siguiente manera:>> [5]
𝑎0 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥)
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥
𝑎 𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos(𝑛𝑥)
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥 n=1, 2,3,…
𝑏 𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) sen(𝑛𝑥)
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥 n=1, 2,3,…
EJEMPLO
Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:
𝑓(𝑡) = {
−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 −
𝑇
2
< 𝑡 < 0
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 <
𝑇
2
}
Coeficiente 𝑎 𝑛
𝑎 𝑛 =
2
𝑇
∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔0 𝑡)
𝑇
2
−
𝑇
2
𝑑𝑡
𝑎 𝑛 =
2
𝑇
[∫ − cos(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡 + ∫ cos(𝑛𝜔0 𝑡)
𝑇
2
0
0
−
𝑇
2
𝑑𝑡]
𝑎 𝑛 =
2
𝑇
[−
1
𝑛𝜔0
sen(𝑛𝜔0 𝑡)
−
𝑇
2
0
+
1
𝑛𝜔0
sen(𝑛𝜔0 𝑡)0
𝑇
2
]
𝒂 𝒏 = 𝟎
Para 𝑛 ≠ 0

4. Coeficiente 𝑎0
𝑎0 =
2
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)
𝑇
2
−
𝑇
2
𝑑𝑡
𝑎0 =
2
𝑇
[∫ −𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡
𝑇
2
0
0
−
𝑇
2
]
𝑎0 =
2
𝑇
[−𝑡
−
𝑇
2
0
+ 𝑡0
𝑇
2
]
𝑎0 = 0
Coeficiente 𝑏0
𝑏0 =
2
𝑇
∫ 𝑓(𝑡) sen(𝑛𝜔0 𝑡)
𝑇
2
−
𝑇
2
𝑑𝑡
Coeficiente 𝑏 𝑛
𝑏 𝑛 =
2
𝑇
[∫ − sen(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡 + ∫ sen(𝑛𝜔0 𝑡)
𝑇
2
0
0
−
𝑇
2
𝑑𝑡]
𝑏 𝑛 =
2
𝑇
[
1
𝑛𝜔0
cos(𝑛𝜔0 𝑡)
−
𝑇
2
0
−
1
𝑛𝜔0
cos(𝑛𝜔0 𝑡)0
𝑇
2
]
𝑏 𝑛 =
1
𝑛𝜋
[(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)) − (𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 1)]
𝑏 𝑛 =
1
𝑛𝜋
[(1 − (−1) 𝑛)]
Para 𝑛 ≠ 0
Resultado final de la serie de Fourier
𝑓(𝑡) =
4
𝜋
[sen(𝜔0 𝑡) +
1
3
sen(3𝜔0 𝑡) +
1
5
sen(5𝜔0 𝑡) + ⋯ ]
Encontrar los coeficientes de la función anterior en Matlab.
syms t n
T = 4;
w0= 2*pi/T %Wo=frecuencia
n = 1:5
a0 = (2/T)*int(1,t,0,2)
an = (2/T)*int(-cos(n*w0*t),t,0,2)
bn = (2/T)*int(-sin(n*w0*t),t,0,2)

5. Realizar dos ejemplos más (cualesquiera) y describirlos
EJEMPLO1
Desarrollar una señal cuadrado de n armónico en serie de Fourier de periodo 0.2s
y amplitud 1.
clear;
% frecuencia de la señal cuadrada (=1/T)
f=5;
T=1/f;
% Indice de los coeficientes
n=1:10;
% Generamos la serie de Fourier
t=-1:0.01:1;
% vector de tiempos
for i=1:50
for k=1:size(t,2) s(i,k)=(2*(1-cos(pi*i))/(pi*i))*sin(2*pi*i*f*t(k));
end
end
for k=1:size(t,2) st(k)=sum(s(:,k));
end
st(1)=st(1)+1;
plot(t,st,'r');
hold on;
% Señal cuadrada original
f_cuadrada=square(2*pi*f*t,50);
plot(t,f_cuadrada);
xlabel('tiempo');
ylabel('Amplitud');

6. EJEMPLO2
Con nuestras variables definidas N debemos colocar la cantidad de señales
armónicas que se va a desear.
Realizamos un vector con un rango de [−𝜋, 𝜋] con saltos de 0.001. El coeficiente
A0=1 y b(n) = 4/(n* 𝜋). Tenemos como resultado la gráfica y la serie de Fourier.
clc
clear all
disp('Serie de Fourier')
N= input('Número de armonico (N):');
x=-pi:0.001:pi;
sum=0;
for n=1:2:N
b(n) = 4/(n*pi);
sum = sum + b(n) * sin(n*x);
end
f=(x<0).*(-1)+(x>=0).*1;
plot(x,f); hold on
plot(x,sum)
grid
xlabel('Tiempo')
ylabel('Voltaje')
Con N=1 y N=2
Tenemos los mismo resultados por los coeficientes Ao y A(n) son nulos.
Con N=20
Mientras mayor sea el número de armónicos N, tendremos una mejor
aproximación.

7. CONCLUSIONES
Las series de Fourier nos ayudan a conocer y resolver los procesamientos de
señales.
Gracias a las series de Fourier nos ayudado en las muchas áreas diferentes.
Bibliografía
[1] L. C. Brenes, «Escuela de Ingeniería Electrónica,» 2012. [En línea]. Available:
http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Licenciatura/Modelos_Sistemas/Presentaciones/10_TransformadaFourier_v08s02.pdf.
[2] E. w. Kamen, Fudamentos de señales y sistemas, 3ra ed., L. M. Cruz, Ed., Mexico: PRESON, 2008, p. 149.
[3] R. J. Espinoza, «Universidad de San Francisco de Quito,» 06 09 2011. [En línea]. Available:
http://profesores.usfq.edu.ec/renej/Contenidos%20Analisis%20de%20Senales/Apuntes%20A.%20%20de%20Se%F1ales/Se%F1ales_4.pdf.
[4] M. Lardizabal, «Tecnun Universidad Navarra,» [En línea]. Available: http://www4.tecnun.es/asignaturas/tratamiento%20digital/tema3.pdf.
[5] L. B. Arnau, «Universidad de Oviedo,» 2014. [En línea]. Available: http://www.unioviedo.es/bayon/mm/serfour.