El documento explica cómo aplicar el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de dos subespacios vectoriales W del espacio R3. En el primer ejemplo, W={(a,b,c) ∈ R3 / a+b+c=0} y la base ortonormal resultante es B={(-1,1,0),(-1/2,-1/2,1)}. En el segundo ejemplo, W={(a,b,c) / a=0} y la base ortonormal es B'={(0,1,0),(0,0,1)}. Se pro

1. Ejercicios resueltos (Proceso de Gram - Schmidt)<br />1) Sea W={(a,b,c) ∈ R3 / a+b+c=0} un s.e.v del espacio vectorial (R3,R,+,*).<br />Calcular una base B ortonormal para W.<br />W={(a,b,c) ∈ R3 / a+b+c=0}<br />W={(a,b,c) ∈ R3 / a= -b-c}<br />W={(-b-c,b,c) ∈ R3 / b,c ∈ R}<br />W={(-b,b,0) + (-c,0,c) / b,c ∈ R }<br />W={b(-1,1,0) +c (-1,0,1) / b,c ∈ R }<br />S={(-1,1,0),(-1,0,1)}S genera a W<br /><S>=WS es base de W<br />Se utiliza el proceso de Gram- Schmidt para obtener una base ortogonal<br />B = {w1, w2}<br />w1 = v1 = (-1,1,0)<br />w2 = v2 - v2/w1w1/w1 w1 <br />w2 = (-1,0,1) - 12 (-1,1,0)<br />w2 = (-1/2 , -1/2, 1)<br />B={(-1,1,0),(-1/2,-1/2,1)} Base ortogonal de W<br />B=-1,1,032, -1,0,132En este paso dividimos los vectores para su norma y obtendremos una base ortonormal, pero esta es de W <br />Base ortonormal de W<br />2 ) Calcular una base ortonormal para W <br />W={(a,b,c) / a0b1=0}<br />W={(a,b,c) / a=0}<br />W={(0,b,c) / b,c ∈ R}<br />W={(0,b,0) + (0,0,c) / b,c ∈ R }<br />W={b(0,1,0) +c (0,0,1) / b,c ∈ R }<br />S={(0,1,0),(0,0,1)}S genera a W<br /><S>=WS es base de W<br />B={(0,1,0),(0,0,1)} Base ortogonal de W<br />Si dividimos para su norma cada vector tendríamos:<br />B´={(0,1,0),(0,0,1)} ///Base ortonormal de W<br />Ejercicios propuestos<br />Aplicar el proceso de Gram – Schmidt a la base B = {1 + t, 1+ t2, t + t2} del espacio vectorial P2 (t) y obtener una base ortonormal T* de P2 (t). Utilizar el producto interno usual en P2(t).<br />Utilizar el proceso de Gram – Schmidt para transformar la base B del espacio euclidiano R3 en una base ortonormal. Aplicar el producto interno usual en R3.<br />B = {(1,0,1), (0,0,1), (-1,1,0)}<br /> Sea W subespacio vetorial del espacio euclidiano R3, donde <br />W = {(x,y,z) ∈ R3 : 2x –y +2z = 0 }<br />W = {(x,y,z) ∈ R3 : x -2y –z = 0}<br />Emplear el proceso de Gram – Schmidt para encontrar una base ortonormal de W. Aplicar el producto interno usual en R3.<br />