Este documento resume los conceptos de cambio de base, base ortonormal y el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt en matemáticas. Explica que existen múltiples bases para representar un espacio vectorial y cómo cambiar entre ellas usando una matriz. Luego define una base ortonormal como aquella cuyos vectores son ortogonales y de norma uno. Finalmente, detalla los pasos del método de Gram-Schmidt para generar una base ortonormal a partir de un conjunto de vectores.

1. S.E.P.
S.E.I.T.
D.G.I.T.
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN
MATEMATICAS IV
GRUPO: C242
ESPECIALIDAD:
INGENIERIA INDUSTRIAL
EQUIPO:
LAS ESTRELLAS
4.6 CAMBIO DE BASE, BASE ORTONORMAL, PROCESO DE
ORTONORMALIZACION DE GRAM SCHMIDT
PRESENTAN:
ABURTO GARCIA OFELIA
MAZARIEGOS LOPEZ CANDY ADRIANA
CATEDRATICO:
ING. BELINDA PASTRANA
M
INAT L
IT ÁN, VE 27 DE NOVIE B
R.
M RE DE 2006
L

2. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
4.6
* Cambio de base
* Base ortonormal
* Proceso de ortonormalización Gram-Schmidt

3. UNIDAD 4
Cambio de base
MATEMATICAS IV
Existe un número infinito
de bases para tener un
espacio
vectorial
de
dimensión n cualquiera y n
vectores
linealmente
independientes.
Se cambia de base mediante el cálculo de una matriz.

4. Ejemplo 4.6.1
UNIDAD 4
Sean U1 = 1 
0 ÷
 
Entonces B1 =
U2 =  0 
 ÷
1 
{ U1 , U 2 }
Sean V1 =  1 
 ÷
3
MATEMATICAS IV
es la base canónica en R2
V2 =  −1
 ÷
2 
Como V1 y V2 son linealmente independientes, V1 no es múltiplo de V2.
B2 = { V1 , V2 }
es una segunda base en R2
Sea X =  x1  un vector en R2
 ÷
 x2 

5. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Esta notación significa que:
X=
 x1 
 ÷
 x2 
=
1 
 0
x1  ÷+ x2  ÷ = x1u1 + x2u2
0
1 
Es decir X esta en términos de B, entonces:
 x1 
( X ) B1 =  ÷
 x2 

6. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Base ortonormal
V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares:
< Vi Vj > = 0 (producto punto).
Si además cada elemento de la base tiene de norma = 1,
la base se llama ortonormal.
Base ORTOGONAL
Base ORTONORMAL
x
x
⊥y
⊥ y ; |x| = 1; |y| = 1

7. Ejemplo 4.6.2
UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Los vectores unitarios canónicos E1 …En en Rn forman una base
ortonormal de Rn y además cada uno de ellos tiene norma = 1,
por lo tanto:
Ei . Ej = 0 ( 1, 0 )( 0, 1 )
Producto escalar = producto interno de las coordenadas de los vectores.

8. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Proceso de ortonormalización gram schmidt
Pasos para aplicar el proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt:
Paso 1. A1 = B1
Paso 2. Se toma A2 y se resta su proyección a lo largo de A1
para tener B2.
Paso 3. Se toma A3 y se resta sus proyecciones a lo largo de B1
y B2 para obtener B3.
Paso 4. Se toma A4 y se restan sus proyecciones a lo largo de B1,
B2 y B3 para obtener B4
Paso 5. Se continúa hasta que se genere una base ortogonal de W.

9. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Método de Gram–Schmidt
Los dos primeros pasos del método de Gram–Schmidt
Definimos el operador proyección con
proyecta el vector V ortogonalmente en el vector U.

10. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
El método de Gram–Schmidt entonces funciona como sigue:

11. UNIDAD 4
Ejemplo 4.6.3
MATEMATICAS IV
Considera el siguiente conjunto de vectores en Rn
(con el convencional producto interno)
Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto
de vectores ortogonales:

12. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Verificamos que los vectores U1 y U2 son de hecho ortogonales:
Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su
tamaño como hemos mostrado anteriormente:

13. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV