El documento resume diferentes tipos de matrices: - Matriz conmutable: aquella donde A*B = B*A - Matriz idempotente: cumple que A^2 = A - Matriz nilpotente: existe un número n tal que A^n = 0 - Matriz involutiva: cumple que A^2 = I - Matriz elemental: resultado de aplicar operaciones de filas a la matriz identidad I - Matrices equivalentes: existen si una puede transformarse en la otra mediante operaciones de filas

1. EJERCICIOS resueltos <br />(Matriz: conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental, equivalente)<br />MATRIZ CONMUTABLE<br />Las matrices A y B son conmutables si A.B=B.A Hallar todas las matrices A conmutables con B si:<br />A= abcd y,B= 1101<br />Desarrollo:<br />A.B= aa+bcc+dΛB.A= a+cb+dcd<br />Como A.B=B.A si son conmutables, entonces:<br />aa+bcc+d = a+cb+dcd<br />(A.Bij= B.Aij)<br />a = a+cc = c Va+b = b+dc+d = d<br />c = 0 a = d c = 0<br />A es conmutable con B si a, b, d Є R Λ a = d Λ c = 0<br />MATRIZ IDEMPOTENTE<br />Una matriz se dice idempotente si y solo si A = A2<br />Pruebe que la siguiente matriz: <br />B = 2-3-5-1451-3-4 es idempotente.<br />Desarrollo:<br />B2 = 2-3-5-1451-3-4 * 2-3-5-1451-3-4 = 2-3-5-1451-3-4 = B<br />MATRIZ NILPOTENTE<br />Dada la siguiente matriz A, demostrar que es nilpotente de orden 2<br />A = 0-80000050<br />Desarrollo:<br />A2 = 0-80000050 * 0-80000050 = 000000000 <br />A2 = 000000000Se dice que es nilpotente de orden 2<br />MATRIZ INVOLUTIVA<br />Dada la siguiente matriz A, demostrar que es una matriz involutiva<br />A = 1-10-1;Por demostrar: A2 = I<br />Desarrollo:<br />A2 = 1-10-1 * 1-10-1 = 1001<br />A2 = I<br />MATRIZ ELEMENTAL<br />La matriz elemental es el resultado de aplicar una operación fundamental de fila a la matriz identidad<br />Hallar una matriz elemental de la siguiente matriz:<br />A = 025-4-10321<br />Desarrollo:<br />F2 + F3A = 025-4-10321 ≈ 025-111321<br />F2 + F3 IA = 100010001≈100011001Esta es una matriz elemental<br />MATRIZ EQUIVALENTE<br />Sean A = 1010-11-1-21yR = 10101-1000<br />a.- ¿A es inversible?<br />b.- Demostrar que A ≈ R. Es decir, determinar una matriz P inversible tal que R = P.A <br />Desarrollo:<br />PRF3 -2 F2F3 + F1(A I I) = 1011000-11010-1-21001 ≈ 1011000-110100-22101 ≈ 10110001-10-100001-21 <br />(-1)F2<br />Conclusiones:<br />a.- A no es inversible, puesto que A es equivalente a una matriz R escalonada reducida por filas que no es la matriz identidad<br />b.- A ≈ R y P = 1000-101-21 donde P.A = 1000-101-21*1010-11-1-21 = 10101-1000 = R<br />