Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre integración por partes. Cada ejercicio contiene los pasos para calcular la integral propuesta aplicando la fórmula de integración por partes. El autor explica cada paso de manera detallada.

1. INTEGRACION POR PARTESMATEMATICA IIANIVAL TORRE1

2. INTEGRACION POR PARTESANIVAL TORRE Sean u y v funciones derivables de x, en estas condiciones:d(uv) = udv + vduudv= d(uv) - vduAplicando integrales: udv = uv -  vdu2

3. 1. I= lnxdxANIVAL TORRE u= lnx dv=dx du= 1/x dx v= dx =x I= x lnx -  x (1/x) dx I= x lnx -  1 dx I= x lnx - x +c3

4. 2.  x2lnxdxANIVAL TORRE u=lnx dv= x2dx du=dx/x, v=x3/ 3I= (x3/3)lnx-(x3/3)(dx/x) I=(x3/ 3)lnx - x3/ 9 + c4

5. 3.- xexdxANIVAL TORRE u=x du=dx dv= exdx v=  exdx= exI=x ex -  exdx I= x ex -ex + c5

6. 4.  (X2+3)3x2dx u=X2+3 dv=3x2dx Du= 2x dx v=  3x2dx = x3 I= (X2+3)3x2dx = (X2+3 )x3 -  x3 2x dx I= (x5 +3 x3 ) -  2x4 dx I= (x5 +3 x3 ) - 2/5 x5 +cANIVAL TORRE6

7. EJERCICIO 1Solución Reemplazando Reemplazando ANIVAL TORRE7

8. EJERCICIO 2Solución Reemplazando ANIVAL TORRE8

9. EJERCICIO 3SoluciónANIVAL TORRE9

10. EJERCICIO 4ANIVAL TORRE10

11. Reemplazando en “I1”Resolviendo I1Resolviendo I2Reemplazando en I:ANIVAL TORRE11

12. EJERCICIO 5SoluciónSea: Sea: ANIVAL TORRE12

13. Reemplazando en “I”: ANIVAL TORRE13

14. EJERCICIO 6SoluciónIntegrando por partes: ANIVAL TORRE14

15. EJERCICIO 7Solución Integrando por partes Integrando por partes: Integrando por partes: ANIVAL TORRE15

16. Reemplazando en I1: Reemplazando en “I” ANIVAL TORRE16

17. EJERCICIO 8SoluciónANIVAL TORRE17

18. Reemplazando en I1: Reemplazando en I: ANIVAL TORRE18

19. EJERCICIO 9Hallando I1: SoluciónSea: Reemplazando Integrando en I: Integrando por partes:ANIVAL TORRE19

20. Hallando en I2: Reemplazando en I2 Reemplazando en I: Hallando I3: ANIVAL TORRE20

21. EJERCICIO 10Hallando I1: SoluciónSea: Reemplazando: Reemplazando: Integrando por partes:Integrando por partes I: ANIVAL TORRE21

22. Hallando I2 Reemplazando en I: ANIVAL TORRE22

23. EJERCICIO 11SoluciónSea ANIVAL TORRE23

24. EJERCICIO 12SoluciónSea: ANIVAL TORRE24

25. EJERCICIO 13Resolviendo I1SoluciónSea:Sea:Reemplazando en “I”ANIVAL TORRE25

26. EJERCICIO 14Solución Integrando por partes Reemplazando Hallando I1: ANIVAL TORRE26

27. EJERCICIO 15Reemplazando:Solución: HaciendoUtilizando:ANIVAL TORRE27

28. EJERCICIO 16SoluciónIntegrando por partes ANIVAL TORRE28

29. EJERCICIO 17De la figura Solución Reemplazando en I: ANIVAL TORRE29

30. EJERCICIO 18Haciendo: Reemplazando en I Solución Haciendo:Hallando I2 I2 I1 Hallando I1: ANIVAL TORRE30

31. EJERCICIO 19Solución Reemplazando: Haciendo ANIVAL TORRE31

32. EJERCICIO 20Reemplazando en I: SoluciónUtilizando la transformaciónANIVAL TORRE32

33. EJERCICIO 21Solución Haciendo: Haciendo ANIVAL TORRE33

34. EJERCICIO 22Solución Haciendo Reemplazando ANIVAL TORRE34

35. EJERCICIO 23Solución Integrando por partes Dividiendo entre ANIVAL TORRE35

36. EJERCICIO 24Solución Utilizando la propiedad Utilizando la propiedad ANIVAL TORRE36

37. EJERCICIO 25Solución Integrando por partes: ANIVAL TORRE37

38. EJERCICIO 26Integrando por partes: Solución Haciendo: ANIVAL TORRE38

39. EJERCICIO 27Hallando I1: Solución Utilizando:Reemplazando: Reemplazando en I: ANIVAL TORRE39

40. EJERCICIO 28Solución Haciendo ANIVAL TORRE40

41. EJERCICIO 29Integrando por partes Solución Haciendo: ANIVAL TORRE41

42. EJERCICIO 30Solución: Dividiendo entre Reemplazando: Haciendo ANIVAL TORRE42

43. EJERCICIO 31Solución Haciendo:Integrando por partes: ANIVAL TORRE43

44. EJERCICIO 32Racionalizando Solución Haciendo:Integrando por partes: Haciendo Reemplazando en I: Reemplazando ANIVAL TORRE44

45. EJERCICIO 33Solución Haciendo: ANIVAL TORRE45

46. EJERCICIO 34Solución Dividiendo entre Haciendo ANIVAL TORRE46

47. EJERCICIO 35Reemplazando Solución Haciendo:Haciendo Hallando I1: ANIVAL TORRE47

48. Integrando por partes Reemplazando en I1: ANIVAL TORRE48

49. EJERCICIO 36Solución Haciendo: Reemplazando ANIVAL TORRE49

50. EJERCICIO 37Solución ANIVAL TORRE50

51. EJERCICIO 38Hallando I1: SoluciónIntegrando por partes: Reemplazando en I:ANIVAL TORRE51

52. EJERCICIO 39Solución Haciendo: Haciendo ANIVAL TORRE52

53. EJERCICIO 40Reemplazando en I Solución ANIVAL TORRE53

54. EJERCICIO 41Reemplazando Solución Haciendo: ANIVAL TORRE54

55. EJERCICIO 42Integrando por fracciones parciales: Reemplazando en I Solución Haciendo: Se tiene: Resolviendo las ecuaciones ANIVAL TORRE55

56. EJERCICIO 43Integrando por fracciones parciales Solución Haciendo: Reemplazando Reemplazando Igualando se tiene Resolviendo las ecuaciones: ANIVAL TORRE56

57. EJERCICIO 44Sea: Solución Haciendo: Reemplazando Integrando por partes Hallando I ANIVAL TORRE57

58. EJERCICIO 45Solución Reemplazando Haciendo: ANIVAL TORRE58

59. EJERCICIO 46Hallando I1: Solución Haciendo: Sea: Reemplazando: Reemplazando en I ANIVAL TORRE59

60. ANIVAL TORRE1.  x /exdx, u=x dv=1 /exdx 2.  2x3ex² dx, u=2x2 dv=ex²x dx 3.  (lnx / √x )dx, u= lnx, dv=1 / √x dx 4.  (lnx / x3 )dx 5.  ln2x dx 6.  x 2-xdx60EJERCICIOS PROPUESTOS

61. EJERCICIOS PROPUESTOS7.  x dx 8.  x3 e2x dx9.  x2 dx10.  x2 e-3x dx11.  (x5+6)2xdx12.  (x2+3) (x3+ 6)13.  (x3-2x) (x2+ 3)ANIVAL TORRE61

62. INTEGRAR COMPLETANDO CUADRADOSANIVAL TORREEn adelante estudiaremos integrales un tanto mas complejas. Muchas de estas integrales se llevan a los casos vistos previa alguna transformación algebraica adecuada. Un caso, es completar cuadrados f(x)= ax2 +bx + cPasos:Dividir f(x) entre el valor de a Sumarle y restarle la mitad del coeficiente de x y elevarlo al cuadrado62

63. F(x)=(x+ r) 2 + bANIVAL TORREI=  [(x+ r) 2 + b] dxI=  (x+ r) 2 dx +  b dx I= (x+ r)2+1 +c1 + bx + c2 3I= (x+ r)3 + bx +c 3Donde: c=c1 + c263

64. APLICACIONESANIVAL TORREDe x2+6x+10 = (x2+6x+9) + 10-9 = (x+3) 2 + 1note que sumamos y restamos 9 = ( 6/2 ) 2 , el cual es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.I= [(x+3) 2 + 1] dx I= (x+3) 2 dx +  1 dx I= (x+3) 3 /3 +c1 + 1x + c2I= (x+3) 3 /3 +1x +c Donde c= c1 + c264

65. EJERCICIOS APLICATIVOS N°11.2ANIVAL TORRE2)  (x2 +6x + 8) dx3)  (x2 +12x +32) dx4)  (x2 +4x -12) dx5)  (x2 - 6x -40) dx6)  (2x2 + 3x +1) dx7)  (3x2 +9x + 6) dx8)  (2x2 +10x + 24) dx9)  (2x2 +8x -24) dx10)  (2x2 -2x -24) dx65