Teoría sobre integrales

1. INTEGRALES
MATEMATICA
Lic Jorge L. Núñez C

2. INTEGRALES
Definición de Antiderivada
F(x) es la antiderivada de la función 𝑓 𝑥
F´ (x) = f (x)
Nota: una vez que se haya encontrado la
antiderivada de una función, la respuesta siempre
puede comprobarse mediante la derivación para
obtenerse la función original

3. INTEGRALES
¿Cuál es la función que dio origen a la siguiente derivada:
f ´ (x) = 4𝑥3
?
Respuesta: F(x) = 𝑥4
Por que:
F (x) = 𝑥4
f ’ (x) = 4𝑥3
También se cumple:
F(x) = 𝑥4
± k
f ’(x) = 4𝑥3
En general, si F es una antiderivada de f, toda función obtenida al
agregar una constante a F será también una antiderivada de f,
luego tendremos que:
F(x) + k
es la solución general, donde k es una constante

4. INTEGRALES
𝑓′ 𝑥 = 4 𝐹 𝑥 = 4𝑥 + 𝑘
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2
𝐹 𝑥 = 𝑥3
+ 𝑘
𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
𝐹 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑘
𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥
+ 𝑘
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥+3
4
4
𝑥2+3𝑥+1 3
𝐹 𝑥 =
4
𝑥2 + 3𝑥 + 1 + k

5. INTEGRALES INDEFINIDAS
Se denomina así a la antiderivada general de la función. Es decir,
si: f(x) es F´(x) ; ∀ x ∈ I, entonces:
G(x) = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 = F(x) + C ; ∀ x ∈ I
De la notación se lee:
𝑓 𝑋
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑘
Signo
integral
Integrando
Variable
respecto
a
la
cual
se
integra
Antiderivada
o
derivada
de
f(x)
Constante
de
Integracion

6. INTEGRAL INDEFINIDA
También se cumple:
𝑑
𝑑𝑥
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥
Es decir, la derivada y la integral son operaciones inversas.
Ejemplo:
P =
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥
(𝑔 𝑥 )2 𝑑𝑥
P =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝑑𝑥
P =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
+ 𝑘

7. INTEGRALES INDEFINIDAS
Propiedades elementales de la integral indefinida:
a) dx = x + c
b) adx = a dx = ax + c
c) xn
dx =
xn+1
n+1
+ c (n∈ 𝑅 ∧ n≠ 1)
d)
𝑑𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
= ln 𝑓𝑥 + c

8. INTEGRALES indefinidas
e) 𝑓𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
f) 𝑓𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
g) ℮𝑓 𝑥 𝑑𝑓𝑥 = ℮𝑓(𝑥)
+ 𝑐
h) 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑓𝑥 =
𝑎𝑓(𝑥)
ln 𝑎
+ 𝑐 (𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

9. INTEGRALES INDEFINIDAS
Hallar las siguientes integrales:
1) 2𝑑𝑥
Solución
2 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑘
2) 𝑥4𝑑𝑥
Solución
𝑥4
𝑑𝑥 =
𝑥4+1
4+1
+ 𝑘
𝑥4
𝑑𝑥 =
𝑥5
5
+ 𝑘

10. INTEGRALES INDEFINIDAS
3)
5
𝑥3 𝑑𝑥
Solución
5
𝑥3 𝑑𝑥 = 5𝑥−3
𝑑𝑥 = 5 𝑥−3
𝑑𝑥
5 𝑥−3
𝑑𝑥 =
5𝑥− 3+1
− 3 + 1
=
5𝑥− 2
− 2
+ 𝑘
4) 3
𝑥 𝑑𝑥
Solución
𝑥
1
3𝑑𝑥 =
𝑥
1
3+1
1
3
+ 1
+ 𝑘 =
3𝑥
4
3
4
+ 𝑘

11. INTEGRALES INDEFINIDAS
5)
3𝑑𝑥
5
𝑥3
Solución
3𝑑𝑥
5
𝑥3
= 3 𝑥−
3
5𝑑𝑥
3𝑑𝑥
5
𝑥3
=
3𝑥
−
3
5
+1
−
3
5
+1
+ k =
15𝑥
2
5
2
+ 𝑘
6)
2𝑥
𝑥2 𝑑𝑥
2𝑥
𝑥2 𝑑𝑥 = ln 𝑥2 + 𝑘

12. INTEGRALES INDEFINIDAS
7)
6𝑥2+10𝑥
2𝑥3 + 5𝑥2+2
𝑑𝑥
Solución
6𝑥2+10𝑥
2𝑥3 + 5𝑥2+2
𝑑𝑥 = ln 2𝑥3
+5𝑥2
+2 + 𝑘
8) 𝑒𝑥
𝑑𝑥
Solución
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
+ 𝑘
9) 𝑒𝑥2+3𝑥+1. 2𝑥 + 3 𝑑𝑥
Solución
𝑒𝑥2+3𝑥+1
. 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥2+3𝑥+1
+ 𝑘

13. INTEGRALES INDEFINIDAS
10) 5𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥
Solución
5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑑𝑥
5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5 𝑥3 + 7 𝑥2 − 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥
5𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
5𝑥3+1
3+1
+
7𝑥2+1
2+1
−
3𝑥1+1
1+1
+ 2𝑥 + 𝑘
5𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
5𝑥4
4
+
7𝑥3
3
−
3𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝑘

14. INTEGRALES INDEFINIDAS
11)
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
𝑑𝑥
Solución :
Si °𝑁 > °𝐷
entonces se divide:
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
= x +1 +
2𝑥+2
𝑥2+2𝑥+3
Ahora integramos:
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
dx = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 +
2𝑥+2
𝑥2+2𝑥+3
𝑑𝑥
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
dx =
𝑥2
2
+ x + ln 𝑥2 + 2𝑥 + 3 + 𝑐

15. INTEGRAL INDEFINIDA
METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE
𝑓𝑋 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔 𝑥
′
𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
EJEMPLO
1. Hallar: 2𝑥 𝑥2
+ 5 25
𝑑𝑥
Hacemos: u = 𝑥2 + 5 du= 2xdx
𝑥2
+ 5 25
2𝑥𝑑𝑥 = 𝑢25
𝑑𝑢
=
𝑢 25+1
25+1
+ 𝐾
=
𝑥2+5
26
26
+ K

16. INTEGRAL INDEFINIDA
2. Hallar: 𝑥
3
𝑥 − 2 𝑑𝑥
Solución
𝑥
3
𝑥 − 2 𝑑𝑥
Hacemos: u = x – 2 du= dx
u + 2 = x
= 𝑢 + 2 𝑢
1
3 𝑑𝑢= 𝑢 4/3 𝑑𝑢 + 2𝑢 1/3 𝑑𝑢
=
3
7
𝑥 − 2 7/3
+
3
2
𝑥 − 2 4/3
+ 𝐾

17. INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRALES POR PARTES
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Ejemplo
1. Hallar ∶ 𝑥 ℮2𝑥
𝑑𝑥
Hacemos: u = x dv = ℮2𝑥
𝑑𝑥
du = dx v=
1
2
℮2𝑥
𝑥℮2𝑥𝑑𝑥 =
1
2
x.℮2𝑥 −
1
2
℮2𝑥𝑑𝑥
=
1
2
x ℮2𝑥
-
1
4
℮2𝑥
+ K
u
dv

18. INTEGRAL INDEFINIDA
2. Hallar: 𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥
Solución
u = x dv = 1 + 𝑥 dx
du = dx v =
2
3
1 + 𝑥 3/2
𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥 = x.
2
3
1 + 𝑥 3/2
-
2
3
1 + 𝑥 3/2
𝑑𝑥
=
2
3
𝑥 1 + 𝑥 3/2
−
4
15
1 + 𝑥 5/2
+ c

19. INTEGRAL INDEFINIDA
3.Hallar : lnx 𝑑𝑥
Solución
ln 𝑥 𝑑𝑥
u = ln x du =
1
𝑥
dv = dx v = x
ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑥.
1
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑘
ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑑𝑥 + 𝑘
ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑘

20. INTEGRAL DEFINIDA
Sea f(x) una función continua definida en el intervalo [a; b].
Supongamos que la función F es continua en [a; b] y con
derivada F´(x) = f(x) para todo x ∈ [a: b].
La integral definida de f en [a; b] es:
𝑎
𝑏
𝑓𝑋 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 f(x)
(Teorema Fundamental del Cálculo)
a b

21. INTEGRALES DEFINIDAS
PROPIEDADES IMPORTANTES:
1. 𝑎
𝑏
𝑓𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
2. 𝑎
𝑎
𝑓𝑥 = 0
3. 𝑎
𝑏
𝑓𝑥 = 𝑎
𝑐
𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
𝑏
𝑓𝑥 𝑑𝑥

22. INTEGRALES DEFINIDAS
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la integral:
1. 1
2
𝑥3
𝑑𝑥
Solución
1
2
𝑥3
𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3+1 1
2
=
𝑥4
4 1
2
=
24
4
−
14
4
1 2
= 4 -
1
4
=
15
4

23. INTEGRAL DEFINIDA
3. 1
2
𝑋3 − 3𝑋2 − 𝑋 + 3 dx
Solución
1
2
𝑋3 − 3𝑋2 − 𝑋 + 3 dx =
= 1
2
𝑥3𝑑𝑥 − 3 1
2
𝑥2𝑑𝑥 − 1
2
𝑥 𝑑𝑥 + 3 1
2
𝑑𝑥
=
𝑥4
4
2
1
− 3
𝑥3
3
2
1
−
𝑥2
2
2
1
+ 3 𝑥
2
1
=
24
4
−
14
4
- 3
23
3
−
13
3
−
22
2
−
12
2
+ 3 2 − 1
=
41
4

24. INTEGRALES DEFINIDAS
4. 0
1 X3
4−X2 dx
Solución
𝑁0 > 𝐷0 X3
4−X2 = x +
4𝑥
𝑥2−4
Entonces:
0
1 X3
4−X2 dx = - 0
1
𝑥𝑑𝑥 − 2 0
1 2𝑥
𝑥2−4
𝑑𝑥
= - [
𝑥2
2
- 2ln 𝑥2
− 4 ]
= - [
1
2
- 2(ln 3 − ln 4)]
= - [
1
2
− 2ln
3
4
]
0
0
1 1

25. INTEGRAL DEFINIDA
Suponga que el tamaño de una población, denominado N(t),
cumple la ecuación
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝑒0,1𝑡 2 +
𝑡
35
;para t≥0.Determine N(t) si N(0)=10.
Solución:
N(t)=𝑒0,1𝑡
2 +
𝑡
35
dt u= 2 +
𝑡
35
dv=𝑒0,1𝑡 0,1
0,1
𝑑𝑡
du= 1/35 v=
𝑒0,1𝑡
0,1
Integramos por partes: = uv - 𝑣𝑑𝑢
= 2 +
t
35
e0,1t
0,1
-
e0,1t
0,35
+ c
N(0)=10 c= - 7,14
= 2 +
t
35
e0,1t
0,1
-
e0,1t
0,35
- 7,14

26. Fuentes de información
• Fuentes bibliográficas,
• . VERA G. CARLOS, Matemática . Editorial Moshera Lima
2009.
• ESPINOZA EDUARDO, Análisis Matemático. Editorial
Servicios Gráficos JJ Lima 2008
• FIGUEROA ROBERTO, Analisis Matemático . Editorial
San Marcos. Lima 2004.
• Stewart, James (2012). Cálculo. México D.F: Cengage
Learning. (515/S79)
• Larson, Ron (2011). Cálculo. México D.F: Cengage
Learning. (515/L25P)
• Mitacc –Gomez –Hoyos –Villanueva . Calculo I. Fondo
Editorial Universidad de Lima. Lima 2014.