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![INTEGRAL DEFINIDA
Sea f(x) una función continua definida en el intervalo [a; b].
Supongamos que la función F es continua en [a; b] y con
derivada F´(x) = f(x) para todo x ∈ [a: b].
La integral definida de f en [a; b] es:
𝑎
𝑏
𝑓𝑋 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 f(x)
(Teorema Fundamental del Cálculo)
a b](https://image.slidesharecdn.com/integrales-231107142109-79d54ef6/85/Integrales-pptx-20-320.jpg)
![INTEGRALES DEFINIDAS
4. 0
1 X3
4−X2 dx
Solución
𝑁0 > 𝐷0 X3
4−X2 = x +
4𝑥
𝑥2−4
Entonces:
0
1 X3
4−X2 dx = - 0
1
𝑥𝑑𝑥 − 2 0
1 2𝑥
𝑥2−4
𝑑𝑥
= - [
𝑥2
2
- 2ln 𝑥2
− 4 ]
= - [
1
2
- 2(ln 3 − ln 4)]
= - [
1
2
− 2ln
3
4
]
0
0
1 1](https://image.slidesharecdn.com/integrales-231107142109-79d54ef6/85/Integrales-pptx-24-320.jpg)
Integrales.pptx
- 1.
- 2. INTEGRALES Definición de Antiderivada F(x)es la antiderivada de la función 𝑓 𝑥 F´ (x) = f (x) Nota: una vez que se haya encontrado la antiderivada de una función, la respuesta siempre puede comprobarse mediante la derivación para obtenerse la función original
- 3. INTEGRALES ¿Cuál es lafunción que dio origen a la siguiente derivada: f ´ (x) = 4𝑥3 ? Respuesta: F(x) = 𝑥4 Por que: F (x) = 𝑥4 f ’ (x) = 4𝑥3 También se cumple: F(x) = 𝑥4 ± k f ’(x) = 4𝑥3 En general, si F es una antiderivada de f, toda función obtenida al agregar una constante a F será también una antiderivada de f, luego tendremos que: F(x) + k es la solución general, donde k es una constante
- 4. INTEGRALES 𝑓′ 𝑥 =4 𝐹 𝑥 = 4𝑥 + 𝑘 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 𝐹 𝑥 = 𝑥3 + 𝑘 𝑓′ 𝑥 = 1 𝑥 𝐹 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑘 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑘 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥+3 4 4 𝑥2+3𝑥+1 3 𝐹 𝑥 = 4 𝑥2 + 3𝑥 + 1 + k
- 5. INTEGRALES INDEFINIDAS Se denominaasí a la antiderivada general de la función. Es decir, si: f(x) es F´(x) ; ∀ x ∈ I, entonces: G(x) = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 = F(x) + C ; ∀ x ∈ I De la notación se lee: 𝑓 𝑋 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑘 Signo integral Integrando Variable respecto a la cual se integra Antiderivada o derivada de f(x) Constante de Integracion
- 6. INTEGRAL INDEFINIDA También secumple: 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 Es decir, la derivada y la integral son operaciones inversas. Ejemplo: P = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥 (𝑔 𝑥 )2 𝑑𝑥 P = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 P = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑘
- 7. INTEGRALES INDEFINIDAS Propiedades elementalesde la integral indefinida: a) dx = x + c b) adx = a dx = ax + c c) xn dx = xn+1 n+1 + c (n∈ 𝑅 ∧ n≠ 1) d) 𝑑𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 = ln 𝑓𝑥 + c
- 8. INTEGRALES indefinidas e) 𝑓𝑥+ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 f) 𝑓𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 g) ℮𝑓 𝑥 𝑑𝑓𝑥 = ℮𝑓(𝑥) + 𝑐 h) 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑓𝑥 = 𝑎𝑓(𝑥) ln 𝑎 + 𝑐 (𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
- 9. INTEGRALES INDEFINIDAS Hallar lassiguientes integrales: 1) 2𝑑𝑥 Solución 2 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑘 2) 𝑥4𝑑𝑥 Solución 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥4+1 4+1 + 𝑘 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥5 5 + 𝑘
- 10. INTEGRALES INDEFINIDAS 3) 5 𝑥3 𝑑𝑥 Solución 5 𝑥3𝑑𝑥 = 5𝑥−3 𝑑𝑥 = 5 𝑥−3 𝑑𝑥 5 𝑥−3 𝑑𝑥 = 5𝑥− 3+1 − 3 + 1 = 5𝑥− 2 − 2 + 𝑘 4) 3 𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑥 1 3𝑑𝑥 = 𝑥 1 3+1 1 3 + 1 + 𝑘 = 3𝑥 4 3 4 + 𝑘
- 11. INTEGRALES INDEFINIDAS 5) 3𝑑𝑥 5 𝑥3 Solución 3𝑑𝑥 5 𝑥3 = 3𝑥− 3 5𝑑𝑥 3𝑑𝑥 5 𝑥3 = 3𝑥 − 3 5 +1 − 3 5 +1 + k = 15𝑥 2 5 2 + 𝑘 6) 2𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 = ln 𝑥2 + 𝑘
- 12. INTEGRALES INDEFINIDAS 7) 6𝑥2+10𝑥 2𝑥3 +5𝑥2+2 𝑑𝑥 Solución 6𝑥2+10𝑥 2𝑥3 + 5𝑥2+2 𝑑𝑥 = ln 2𝑥3 +5𝑥2 +2 + 𝑘 8) 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Solución 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑘 9) 𝑒𝑥2+3𝑥+1. 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 Solución 𝑒𝑥2+3𝑥+1 . 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥2+3𝑥+1 + 𝑘
- 13. INTEGRALES INDEFINIDAS 10) 5𝑥3 +7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 Solución 5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑑𝑥 5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5 𝑥3 + 7 𝑥2 − 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5𝑥3+1 3+1 + 7𝑥2+1 2+1 − 3𝑥1+1 1+1 + 2𝑥 + 𝑘 5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5𝑥4 4 + 7𝑥3 3 − 3𝑥2 2 + 2𝑥 + 𝑘
- 14. INTEGRALES INDEFINIDAS 11) 𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5 𝑥2+2𝑥+3 𝑑𝑥 Solución : Si°𝑁 > °𝐷 entonces se divide: 𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5 𝑥2+2𝑥+3 = x +1 + 2𝑥+2 𝑥2+2𝑥+3 Ahora integramos: 𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5 𝑥2+2𝑥+3 dx = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 + 2𝑥+2 𝑥2+2𝑥+3 𝑑𝑥 𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5 𝑥2+2𝑥+3 dx = 𝑥2 2 + x + ln 𝑥2 + 2𝑥 + 3 + 𝑐
- 15. INTEGRAL INDEFINIDA METODO DELCAMBIO DE VARIABLE 𝑓𝑋 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔 𝑥 ′ 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 EJEMPLO 1. Hallar: 2𝑥 𝑥2 + 5 25 𝑑𝑥 Hacemos: u = 𝑥2 + 5 du= 2xdx 𝑥2 + 5 25 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑢25 𝑑𝑢 = 𝑢 25+1 25+1 + 𝐾 = 𝑥2+5 26 26 + K
- 16. INTEGRAL INDEFINIDA 2. Hallar:𝑥 3 𝑥 − 2 𝑑𝑥 Solución 𝑥 3 𝑥 − 2 𝑑𝑥 Hacemos: u = x – 2 du= dx u + 2 = x = 𝑢 + 2 𝑢 1 3 𝑑𝑢= 𝑢 4/3 𝑑𝑢 + 2𝑢 1/3 𝑑𝑢 = 3 7 𝑥 − 2 7/3 + 3 2 𝑥 − 2 4/3 + 𝐾
- 17. INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRALES PORPARTES 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 Ejemplo 1. Hallar ∶ 𝑥 ℮2𝑥 𝑑𝑥 Hacemos: u = x dv = ℮2𝑥 𝑑𝑥 du = dx v= 1 2 ℮2𝑥 𝑥℮2𝑥𝑑𝑥 = 1 2 x.℮2𝑥 − 1 2 ℮2𝑥𝑑𝑥 = 1 2 x ℮2𝑥 - 1 4 ℮2𝑥 + K u dv
- 18. INTEGRAL INDEFINIDA 2. Hallar:𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥 Solución u = x dv = 1 + 𝑥 dx du = dx v = 2 3 1 + 𝑥 3/2 𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥 = x. 2 3 1 + 𝑥 3/2 - 2 3 1 + 𝑥 3/2 𝑑𝑥 = 2 3 𝑥 1 + 𝑥 3/2 − 4 15 1 + 𝑥 5/2 + c
- 19. INTEGRAL INDEFINIDA 3.Hallar :lnx 𝑑𝑥 Solución ln 𝑥 𝑑𝑥 u = ln x du = 1 𝑥 dv = dx v = x ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑥. 1 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑘 ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑑𝑥 + 𝑘 ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑘
- 20. INTEGRAL DEFINIDA Sea f(x)una función continua definida en el intervalo [a; b]. Supongamos que la función F es continua en [a; b] y con derivada F´(x) = f(x) para todo x ∈ [a: b]. La integral definida de f en [a; b] es: 𝑎 𝑏 𝑓𝑋 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 f(x) (Teorema Fundamental del Cálculo) a b
- 21. INTEGRALES DEFINIDAS PROPIEDADES IMPORTANTES: 1.𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 2. 𝑎 𝑎 𝑓𝑥 = 0 3. 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 = 𝑎 𝑐 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥
- 22. INTEGRALES DEFINIDAS EJERCICIOS DEAPLICACIÓN. En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la integral: 1. 1 2 𝑥3 𝑑𝑥 Solución 1 2 𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥3+1 3+1 1 2 = 𝑥4 4 1 2 = 24 4 − 14 4 1 2 = 4 - 1 4 = 15 4
- 23. INTEGRAL DEFINIDA 3. 1 2 𝑋3− 3𝑋2 − 𝑋 + 3 dx Solución 1 2 𝑋3 − 3𝑋2 − 𝑋 + 3 dx = = 1 2 𝑥3𝑑𝑥 − 3 1 2 𝑥2𝑑𝑥 − 1 2 𝑥 𝑑𝑥 + 3 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥4 4 2 1 − 3 𝑥3 3 2 1 − 𝑥2 2 2 1 + 3 𝑥 2 1 = 24 4 − 14 4 - 3 23 3 − 13 3 − 22 2 − 12 2 + 3 2 − 1 = 41 4
- 24. INTEGRALES DEFINIDAS 4. 0 1X3 4−X2 dx Solución 𝑁0 > 𝐷0 X3 4−X2 = x + 4𝑥 𝑥2−4 Entonces: 0 1 X3 4−X2 dx = - 0 1 𝑥𝑑𝑥 − 2 0 1 2𝑥 𝑥2−4 𝑑𝑥 = - [ 𝑥2 2 - 2ln 𝑥2 − 4 ] = - [ 1 2 - 2(ln 3 − ln 4)] = - [ 1 2 − 2ln 3 4 ] 0 0 1 1
- 25. INTEGRAL DEFINIDA Suponga queel tamaño de una población, denominado N(t), cumple la ecuación 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑒0,1𝑡 2 + 𝑡 35 ;para t≥0.Determine N(t) si N(0)=10. Solución: N(t)=𝑒0,1𝑡 2 + 𝑡 35 dt u= 2 + 𝑡 35 dv=𝑒0,1𝑡 0,1 0,1 𝑑𝑡 du= 1/35 v= 𝑒0,1𝑡 0,1 Integramos por partes: = uv - 𝑣𝑑𝑢 = 2 + t 35 e0,1t 0,1 - e0,1t 0,35 + c N(0)=10 c= - 7,14 = 2 + t 35 e0,1t 0,1 - e0,1t 0,35 - 7,14
- 26. Fuentes de información •Fuentes bibliográficas, • . VERA G. CARLOS, Matemática . Editorial Moshera Lima 2009. • ESPINOZA EDUARDO, Análisis Matemático. Editorial Servicios Gráficos JJ Lima 2008 • FIGUEROA ROBERTO, Analisis Matemático . Editorial San Marcos. Lima 2004. • Stewart, James (2012). Cálculo. México D.F: Cengage Learning. (515/S79) • Larson, Ron (2011). Cálculo. México D.F: Cengage Learning. (515/L25P) • Mitacc –Gomez –Hoyos –Villanueva . Calculo I. Fondo Editorial Universidad de Lima. Lima 2014.