Este documento trata sobre la integración o primitivación de funciones. Define una primitiva como una función cuya derivada es igual a la función dada. Explica que para cada función existe una familia de primitivas que difieren solo por una constante. Por último, resume los principales métodos para calcular primitivas como la sustitución y el uso de identidades trigonométricas fundamentales.

1. Definición
Una función F se dice que es una primitiva o
antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para
todo x є I.
Ejemplo
Se necesita encontrar una función F que su derivada
sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación
se diría que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4
)
( x
x
F  3
4
4x
x
dx
d


2. Familia de Primitivas:
Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G
es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
Ejemplo
Sabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de
f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123
también son primitivas de f(x).
    C
x
F
x
G 

R



C
I
x
  C
x
x
G 4

 Es la familia de primitivas de f(x)

3. Para denotar la primitiva de una función f se usa la
notación:
Definición
El proceso de calcular las primitivas de una función f se
denomina integración, así que tenemos:
lo que significa que:
 
 dx
x
f
    C
x
F
dx
x
f 


 
     
x
f
x
F
C
x
F
dx
d


 '
R

C

4. Partes de la Integración:
   
 
 C
x
F
dx
x
f
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración

5. Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 6.
4. 7.
5. 8.
 
 C
x
dx
x
ln
1
   
     
 
 

 dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
 




1
1
1
n
C
n
x
dx
x
n
n
   
 
 dx
x
f
k
dx
x
kf
 
 C
e
dx
e x
x
 
 C
a
a
dx
a
x
x
ln
 

 C
x
senxdx cos  
 C
senx
xdx
cos

6. Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
 
 C
x
xdx tan
sec2
 

 C
x
xdx cot
csc2
 
 C
x
xdx
x sec
tan
sec  

 C
x
xdx
x csc
cot
csc
 



C
x
dx
x
1
2
tan
1
1
 



C
x
sen
dx
x
1
2
1
1

7. Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
 dx
x3
1
 dx
x
 senxdx
2  
  dx
x 2
 
 
 dx
x
x
x 2
4
5
3

8. Solución:

 








C
2x
1
dx
x
1
2
3
C
x
dx
x
2
2
3
C
x
3
2
dx
x 3






 
 C
x
C
x
dx
x 2
3
2
3
2
/
1
3
2
2
3
  C
2cosx
2senxdx 





 
 C
x
dx
senx cos
2
2
1.
2.
3.

9. Solución:
  C
2x
2
x
dx
2
x
2





 

 dx
dx
x 2
   

 



 xdx
dx
x
dx
x 2
4
5
3
dx
x
5x
3x 2
4
C
x
2
1
x
3
5
x
5
3 2
3
5























 C
x
x
x
2
3
5
5
3
2
3
5
4.
5.

10. Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
 
  dx
x
x 2
4
sec
2
10
 
  dx
x
x 6
3
 







 dx
x
x
x
1
3
6
2 2
3

11. Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senx
x
1
csc 
x
x
cos
1
sec 
x
senx
x
cos
tan  xsenx
x cos
cot 
x
x
tan
1
cot  1
cos2
2

 x
x
sen
x
x 2
2
sec
1
tan 
 x
x 2
2
csc
1
cot 


12. Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden
las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
 

 C
x
xdx cos
ln
tan  

 C
senx
xdx ln
cot
 

 C
x
x
xdx tan
sec
ln
sec  


 C
x
x
xdx cot
csc
ln
csc

13. Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Solución:
 
  dy
y 1
tan2
  C
tany 


 
 ydy
dy
y 2
2
sec
1
tan

14. Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a)
b)
c)
 
  dx
x
senx cos
3
2
 
  dx
x
x cot
csc
1
 
  dx
senx
x
2
sec

15. Teorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una
primitiva de f en [a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
 
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
   
 
 


b
a
b
a a
F
b
F
x
F
dx
x
f )
(
)
(

16. Propiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
   dx
x
f
k
dx
x
kf
b
a
b
a

 
   
     dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
b
a
b
a
b
a


 



17. Propiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es
integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y
en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
     dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
c
c
a
b
a


 

  0

 dx
x
f
a
a

18. Propiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la
integral definida de b a a de f, es decir:
   dx
x
f
dx
x
f
a
b
b
a

 


19. Ejemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
 dx
x
 
1
2
2
3
dx
x

4
1
3

20. Solución:
1. Geométricamente la integración de la función (1) en
el intervalos [1, 2] es el área de la región
sombreada:
   
 


1
2
1
2
2
3dx
dx
x
dx
3
x
1
2
2
 1
2
1
2
3
3
3
x
x








 
6
3
3
8
3
1










3
2


21. Solución:
2. Geométricamente la integración de la función (2) en
el intervalos [1, 4] es el área de la región
sombreada:
14

4
1
2
/
3
4
1
2
1
2
/
3
3
3 






 

x
dx
x /
dx
x
3
4
1
    2
/
3
2
/
3
1
2
4
2 


22. Ejercicios
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dx
x
 






2
1
2
1
3
 dx
x



1
1
3
2
dx
x
x


4
1
2

23. Método de Sustitución
Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f
una función continua en I. Si g es diferenciable en su
dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces
du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en
la diferenciación.
 
     
  C
x
g
F
dx
x
g
x
g
f 

 '
    C
u
F
du
u
f 



24. Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:
dx
x
x
  1
3 3
2
du
u
du
u
dx
x
x 

 

 2
/
1
3
2
1
3
dx
x
du
x
u
2
3
3
1



 C
u
C
u



 2
/
3
2
/
3
3
2
2
3
    C
1
x
3
2 3
3





 c
x
2
/
3
3
1
3
2

25. Ejercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
  dx
x
x
 
4
2
1
2
  dx
x
x
 
2
2
1
dx
x
x
 5
cos
5

26. Existen dos métodos para evaluar una integral definida por
sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en
seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
 
4
0
2
/
3
4
0
4
0
2
/
3
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2 




 









 

x
dx
x
dx
x
       
3
26












 1
27
3
1
1
3
1
9
3
1
1
2
3
1 2
/
3
2
/
3
4
0
2
/
3
x

27. El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian
los límites de integración cuando se cambie la variable, como
se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es
sobre el rango de u=g(x) entonces
 
     du
u
f
dx
x
g
x
g
f
b
g
a
g
b
a

 
)
(
)
(
'

28. Ejemplo
Solución
Tomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
dx
x
 
4
0
1
2
dx
du 2
 du
dx
2
1


    1
1
0
2
0
0 



 u
x
    9
1
4
2
4
4 



 u
x

29. Por lo tanto:
du
u

 

9
1
dx
1
2x
4
0
 9
1
2
/
3
9
1
2
/
3
9
1
2
/
3
9
1
2
/
1
3
1
3
2
2
1
3
2
2
1
2
1
u
u
u
du
u 


















 
  3
26


 2
/
3
2
/
3
1
9
3
1

30. Ejemplo:
Evaluar la siguiente integral   dx
x
x
 
1
0
3
2
1
xdx
du
x
u
2
1
2


 xdx
du 

2
1   1
1
0
0
0 2




 u
x
  2
1
1
1
1 2




 u
x
du
u
du
u 
 
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
  8
15


 4
4
1
2
8
1
 2
1
4
2
1
4
8
1
4
2
1
u
u









31. Ejercicios
Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dx
x
x
 
5
1 1
2
dx
x
x
e

1
ln
dx
x
 
7
3
3

32. Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar,
la cual se muestra a continuación:
           dx
x
f
x
g
x
g
x
f
dx
x
g
x
f 
 
 '
'
)
(
)
(
x
g
v
x
f
u


dx
x
g
dv
dx
x
f
du
)
(
'
)
(
'



 
 vdu
uv
udv

33. Ejemplo
Solución
De manera que:
dx
xsenx

x
u 
dx
du 
senx
dv 
x
v cos


    dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
xsenx 

 





 cos
cos
cos
cos
C
senx
xcosx 




34. Solución
Notamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx,
entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dx
xsenx

  dx
x
x
senx
x
dx
xsenx 
 
 cos
2
1
2
2
2
dx
cosx
x2


35. Ejemplo
Solución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero
aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la
integración por partes.
dx
e
x x

2
2
x
u 
xdx
du 2

dx
e
dv x

x
e
v 
dx
xe
e
x
dx
e
x x
x
x

 
 2
2
2

36. dx
xex

x
u  dx
du  dx
e
dv x
 x
e
v 
C
e
xe
dx
e
xe
dx
xe x
x
x
x
x




 
 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que:
 
C
e
xe
e
x
dx
xe
e
x
dx
e
x x
x
x
x
x
x





 
 2
2 2
2
2
1
x
x
x
2
C
2e
2xe
e
x 


 C
C 2
1 

37. Ejercicios
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
dx
x
ln
dx
senx
ex

dx
x
x
 ln
2
dx
x

3
sec

38. Fórmula de Integración por Partes para Integrales
Definidas
 
 


b
a
b
a
b
a vdu
uv
udv

39. Ejemplo
De donde:
Por lo tanto:
dx
xex

1
0
dx
du
x
u


x
x
e
v
dx
e
dv


     1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
x
x
x
x
x
e
xe
dx
e
xe
dx
xe 


 

    1




 1
0 e
e

40. Ejercicios
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dx
xe x

2
dx
x
x
 cos
dx
x
sen

1
dx
sen
 

 cos
dx
x
x

2
0
2
cos

dx
x

4
1
ln
dx
x
x


1
0
1
tan

41. Método de Fracciones Parciales
Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la
expresión f(x)/g(x) se le denomina fracción
racional.
Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x),
entonces a la fracción se le llama propia. Es
impropia Cuando el grado del numerador es de
igual o mayor grado que el denominador.

42. Cuando se requiere integrar una fracción racional
propia de la forma:
La fracción pueden expresarse como la suma de
fracciones simples o fracciones parciales cuyos
denominadores son los factores de la fracción dada
y los numeradores no son conocidos y solo bastaría
investigar cual es el numerador de cada una de
ellas.
 dx
x
Q
x
P
)
(
)
(

43. Cuando los términos de la suma:
se combinan por medio de un denominador común, se obtiene
la expresión racional:
Así:
2
5
1
2


 x
x
2
1
7
)
2
)(
1
(
)
1
(
5
)
2
(
2
2









x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
)
2
5
1
2
(
2
1
7
2









c
x
x 



 2
ln
5
1
ln
2

44. El método de integración mediante el desarrollo de
fracciones parciales consiste en descomponer en
fracciones parciales la fracción racional propia y a
partir de ello, obtener la integral de cada una de
dichas fracciones. De esta manera se obtiene la
integral de la fracción racional.
Existen cuatro casos a considerar para la
descomposición de la fracción racional.

45. Caso I
Factores lineales no repetidos
Si:
en donde todos los factores aix+bi son distintos y el grado
de P(X) es menor que n, entonces existen constantes reales
únicas A1, A2, … , An tales que:
)
)...(
)(
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1 n
n b
x
a
b
x
a
b
x
a
x
P
x
Q
x
P




n
n
n
b
x
a
A
b
x
a
A
b
x
a
A
x
Q
x
P






 
2
2
2
1
1
1
)
(
)
(

46. Caso II
Factores lineales repetidos
Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que n, entonces
existen constantes reales únicas A1, A2, … , An tales que:
n
b
ax
x
P
x
Q
x
P
)
(
)
(
)
(
)
(


n
n
b
ax
A
b
ax
A
b
ax
A
x
Q
x
P
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1






 

47. Caso III
Factores cuadráticos no repetidos
Si:
en donde todos los factores aix2+bix+ci son distintos y el
grado de P(X) es menor que 2n, entonces existen constantes
reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
1
1
2
1 n
n
n c
x
b
x
a
c
x
b
x
a
c
x
b
x
a
x
P
x
Q
x
P








n
n
n
n
n
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
x
Q
x
P












 2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
)
(
)
(


48. Caso IV
Factores cuadráticos repetidos
Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que 2n, entonces
existen constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn
tales que:
n
c
bx
ax
x
P
x
Q
x
P
)
(
)
(
)
(
)
(
2



n
n
n
c
bx
ax
B
x
A
c
bx
ax
B
x
A
c
bx
ax
B
x
A
x
Q
x
P
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
1
1












 

49. Problemas
Resolver mediante el método de desarrollo de
fracciones parciales los siguientes problemas:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dx
x
x
x
 


3
2
)
1
(
4
2
dx
x
x
x
 

3
)
1
2
(
1
6
dx
x
x
  2
2
2
)
4
(
dx
x
x
x
x
 


2
3
2
1
3
4
dx
x
x
x
 


2
2
4
)
1
(
4
3
  2
2
2
)
4
(x
x
dx

50. Método de sustitución trigonométrica
El método consiste en utilizar un triángulo auxiliar para
hacer un cambio de variable en la integral que contiene
expresiones de la forma:
𝑎2 − 𝑥2, 𝑎2 + 𝑥2, 𝑥2 − 𝑎2
de tal manera que resulte una integral trigonométrica que
se puede resolver.
Una vez resuelta la integral se quita la sustitución para
volver a la variable x.

51. Para cada caso se utiliza una sustitución diferente, lo que
llamaremos triángulo auxiliar. Las sustituciones son:
𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑥 = 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃
a
x
𝑎2 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑎2 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝜃
𝑥 = 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐2
𝜃 𝑑𝜃
𝑥2 + 𝑎2
x
a
𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝜃
𝑥 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝜃
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 𝑑𝜃
x
𝑥2 − 𝑎2
a
𝜃
𝜃
𝜃

52. Ejemplo:
𝑑𝑥
144 − 𝑥2
3
El primer paso es identificar el caso, para este ejemplo es el
caso 1.
𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑥 = 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃
a
x
𝑎2 − 𝑥2
𝜃

53. Una vez identificado el caso se sustituyen los
valores de 𝒂𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 y 𝒂 = 𝟏𝟐
El siguiente paso es sustituir en la integral
𝑑𝑥 = 𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 y 𝟏𝟒𝟒 − 𝑥2 = 𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑑𝑥
144 − 𝑥2
3 =
𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃 3
𝟏𝟒𝟒 − 𝑥2 = 𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃
𝑥 = 𝟏𝟐 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑥 = 𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃
12
x
𝟏𝟒𝟒 − 𝑥2
𝑆𝑒𝑛 𝜃 =
𝒙
𝟏𝟐
𝑪𝒐𝒔 𝜃 =
𝟏𝟒𝟒 − 𝑥2
𝟏𝟐
𝑻𝒂𝒏 𝜃 =
𝒙
𝟏𝟒𝟒 − 𝑥2
𝜃

54. Se resuelve la integral trigonométrica
𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃
𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃 3
=
𝑑𝜃
𝟏𝟐 𝐶𝑜𝑠 𝜃 2
=
1
122
𝑑𝜃
𝐶𝑜𝑠 𝜃 2 =
1
144
𝑆𝑒𝑐 𝜃 2
𝑑𝜃 =
1
144
𝑇𝑎𝑛 𝜃 + c
Por último se quita la sustitución usando las funciones
trigonométricas que se obtienen de triángulo auxiliar
𝑻𝒂𝒏 𝜃 =
𝒙
𝟏𝟒𝟒−𝑥2
1
144
𝑇𝑎𝑛 𝜃 + c =
1
144
𝒙
𝟏𝟒𝟒 − 𝑥2
+ c

55. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO
• Primer Teorema Fundamental del Cálculo
En pocas palabras, establece que la derivada de la integral de una función es igual
a la misma función.
Sea 𝑓 continua en el intervalo [𝑎,𝑏] y 𝑥 un punto en (𝑎, 𝑏). Entonces,
• Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Llamado también Regla de Barrow, permite calcular fácilmente el valor de la
integral definida a partir de una primitiva de la función.
Sea 𝑓 continua en el intervalo [𝑎,𝑏] y 𝐹 una antiderivada de 𝑓 sobre el intervalo,
entonces:
𝑑
𝑑𝑥
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

56. APLICACIONES DE LA
INTEGRAL
Área de una región plana
1. Realizar un diagrama del área a determinar
2. Seccionar en áreas (verticales u horizontales) donde las fronteras del área plana puedan
definirse como funciones continuas
3. Aplicar el segundo teorema fundamental para calcular las áreas de las secciones
4. El área total es la suma de las áreas parciales
Ejemplo:
Encontrar el área delimitada por las funciones
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 (por arriba), 𝑦 = 6 − 3𝑥 (por la
izquierda) y 𝑦 = 0 (por debajo).
𝐴 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

57. 57
Resolver los siguientes problemas:
1. Hallar el área bajo la curva 𝑦 = 𝑥2 entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.
2. Hallar el área entre el eje 𝑥 y la curva 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2.
3. Hallar el área entre las parábolas 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥.
4. Hallar el área entre las curvas 𝑦 = 9 − 𝑥2, 𝑦 = 𝑥 + 3.
EJERCICIOS

58. APLICACIONES DE LA
INTEFRAL
Volumen de sólidos de revolución
Método del disco (eje de rotación paralelo al eje x)
Método del anillo (eje de rotación paralelo al eje y):
Longitud de una curva plana
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑓2
𝑥 𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐿 =
𝑎
𝑏
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥

59. Resolver los siguientes problemas:
1. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por la parábola 𝑦2 = 8𝑥, el eje
x y la recta 𝑥 =2, alrededor del eje 𝑥.
2. Hallar el volumen del toro generado por la rotación del círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 4 alrededor de la
recta x = 3.
EJERCICIOS