Este documento presenta fórmulas y conceptos clave para resolver integrales definidas. Explica cómo utilizar sustituciones trigonométricas, cambios de variable y tablas de integrales para calcular integrales definidas de funciones. También incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para integrar funciones elementales como seno, coseno y exponenciales.
El documento presenta varios conceptos y demostraciones matemáticas. Se define el logaritmo y se demuestran varias propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. También se plantean y resuelven ejercicios relacionados con ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de los logaritmos, incluyendo demostraciones de identidades logarítmicas.
2) Se resuelven varios ejercicios utilizando propiedades de logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas.
3) Los logaritmos están definidos para bases mayores que cero y el dominio de definición depende de la base del logaritmo.
1. El documento presenta información sobre conceptos trigonométricos como seno, coseno, tangente y cotangente y teoremas como el de Pitágoras y el seno. 2. Incluye fórmulas trigonométricas, propiedades de los ángulos y ejemplos de cómo resolver ecuaciones trigonométricas. 3. Cubre una amplia gama de temas matemáticos relacionados con la trigonometría.
El documento explica conceptos básicos sobre límites de funciones como su definición, diferentes tipos de límites (límites laterales, límites en un punto) y métodos para calcular límites como aplicar fórmulas o la regla de l'Hôpital. También cubre continuidad, derivabilidad y algunas propiedades de estas como que una función continua en un punto es derivable en ese punto.
1. Un documento describe diferentes tipos de sucesiones matemáticas como sucesiones aritméticas, geométricas y sus propiedades. 2. Se definen conceptos como tero general, diferencia, razón y se explican sus características. 3. También se introducen series matemáticas y criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie.
Limites continuidad-derivabilidad con + de 50 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento presenta los pasos para calcular límites de funciones. Explica conceptos como la continuidad, derivabilidad y el teorema de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. Además, incluye fórmulas para calcular límites de funciones racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) y cómo se aplican en triángulos rectángulos y no rectángulos. También cubre identidades trigonométricas, conversiones entre grados y radianes, y cómo resolver ecuaciones trigonométricas.
Este documento presenta información sobre números complejos. Introduce conceptos como módulo, argumento, formas polares, trigonométricas y exponenciales de expresar números complejos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre cálculos con números complejos.
El documento presenta varios conceptos y demostraciones matemáticas. Se define el logaritmo y se demuestran varias propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. También se plantean y resuelven ejercicios relacionados con ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de los logaritmos, incluyendo demostraciones de identidades logarítmicas.
2) Se resuelven varios ejercicios utilizando propiedades de logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas.
3) Los logaritmos están definidos para bases mayores que cero y el dominio de definición depende de la base del logaritmo.
1. El documento presenta información sobre conceptos trigonométricos como seno, coseno, tangente y cotangente y teoremas como el de Pitágoras y el seno. 2. Incluye fórmulas trigonométricas, propiedades de los ángulos y ejemplos de cómo resolver ecuaciones trigonométricas. 3. Cubre una amplia gama de temas matemáticos relacionados con la trigonometría.
El documento explica conceptos básicos sobre límites de funciones como su definición, diferentes tipos de límites (límites laterales, límites en un punto) y métodos para calcular límites como aplicar fórmulas o la regla de l'Hôpital. También cubre continuidad, derivabilidad y algunas propiedades de estas como que una función continua en un punto es derivable en ese punto.
1. Un documento describe diferentes tipos de sucesiones matemáticas como sucesiones aritméticas, geométricas y sus propiedades. 2. Se definen conceptos como tero general, diferencia, razón y se explican sus características. 3. También se introducen series matemáticas y criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie.
Limites continuidad-derivabilidad con + de 50 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento presenta los pasos para calcular límites de funciones. Explica conceptos como la continuidad, derivabilidad y el teorema de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. Además, incluye fórmulas para calcular límites de funciones racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) y cómo se aplican en triángulos rectángulos y no rectángulos. También cubre identidades trigonométricas, conversiones entre grados y radianes, y cómo resolver ecuaciones trigonométricas.
Este documento presenta información sobre números complejos. Introduce conceptos como módulo, argumento, formas polares, trigonométricas y exponenciales de expresar números complejos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre cálculos con números complejos.
Este documento presenta una guía sobre funciones y sus propiedades. Explica conceptos como dominio, continuidad, derivabilidad, asintotas, puntos críticos, concavidad, y cómo construir una curva a partir de estos elementos. También incluye una tabla de derivadas de funciones comunes.
1) Apolonio de Perga estudió las curvas canónicas en el siglo III a.C., las cuales son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola obtenidas al cortar un cono con un plano.
2) Las ecuaciones canonizadas de estas curvas son función de la distancia entre un punto y un foco o directriz.
3) La elipse y hipérbola tienen dos focos mientras que la parábola tiene un foco y la circunferencia ninguno.
El documento describe las cuatro curvas cánonicas (elipse, hipérbola, parábola y circunferencia) obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Explica que una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante, y deduce su ecuación canónica. Igualmente describe las hipérbolas, parábolas y deduce sus ecuaciones canónicas respectivas.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Presenta diferentes tipos como las separables, exactas, homogéneas y de Bernoulli, y describe los pasos para resolver cada tipo. También incluye ejemplos resueltos de cada uno para ilustrar los métodos.
1) Se describen las ecuaciones que definen rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas. 2) Se explican métodos para determinar la posición relativa de dos rectas o de un plano y una recta basados en estudiar la dependencia lineal de sus vectores directores y normales. 3) También se analiza la posición relativa de dos planos mediante el rango de la matriz formada por sus coeficientes.
El documento presenta fórmulas trigonométricas útiles para resolver integrales definidas, incluyendo fórmulas para seno de suma y diferencia, coseno de suma y diferencia, y tangente de suma y diferencia. También presenta identidades para seno al cuadrado, coseno al cuadrado y seno-coseno.
El documento trata sobre un proyecto para generar señales seno y coseno en un microcontrolador. Primero se generan los coeficientes de las series de Taylor para las señales seno y coseno en el microcontrolador. Luego, los coeficientes se envían a través de un puerto de salida al una conversor digital-analógico (DAC) que procesa los datos y genera las ondas deseadas. El objetivo es diseñar un sistema que permita modificar la amplitud y frecuencia de las señales seno y coseno de manera flexible mediante un
Este documento presenta las propiedades de las inecuaciones con valor absoluto. Explica que para que la desigualdad |x| < a sea verdadera, x debe estar entre -a y a, y para que |x| ≤ a sea verdadera, x debe estar entre -a y a incluyendo los extremos. También indica que para que |x| > a o |x| ≥ a sean verdaderas, x debe ser menor que -a o mayor que a. Finalmente, resuelve dos ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas propiedades.
El documento explica los conceptos básicos de los números complejos, incluyendo diferentes formas de escribirlos y propiedades como el módulo y argumento. También describe varias transformaciones complejas como traslación, rotación, homotecia y similitud directa, dando las fórmulas correspondientes a cada una. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo del argumento de un número complejo.
Teoria general de_ecuaciones_polinomicas_para_los_apuntes_-1-__13450__ (2)luis alex torres vargas
El documento presenta la teoría general de ecuaciones polinómicas. Explica que una ecuación polinómica es igualar a cero un polinomio, y que las soluciones son los valores que satisfacen esta igualdad, llamados raíces. Afirma que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz real o compleja, y tiene exactamente n raíces para un polinomio de grado n. Presenta varios problemas fundamentales en el estudio de ecuaciones polinómicas, como encontrar las raíces dadas los coeficient
Teoria general de_ecuaciones_polinomicas_para_los_apuntes_-1-__13450__ (1)luis alex torres vargas
El documento presenta la teoría general de ecuaciones polinómicas. Explica que una ecuación polinómica es igualar a cero un polinomio, y que las soluciones son los valores que satisfacen esta igualdad, llamados raíces. Afirma que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz real o compleja, y que el número de raíces es igual al grado del polinomio. Presenta varios problemas fundamentales en el estudio de ecuaciones polinómicas, como hallar ecuaciones dadas sus raí
Trabajo de Calculo, Asintotas, Continuidad y Limites Trigonometricos. (Angel ...Angel Rodriguez
1) El documento presenta 7 ejercicios de cálculo de límites y derivadas.
2) Se pide resolver detalladamente cada ejercicio encontrando límites, derivadas y condiciones para que funciones sean continuas.
3) Los ejercicios involucran conceptos como límites laterales, límites fundamentales, derivadas por definición y condiciones de continuidad.
Este documento explica cómo resolver operaciones combinadas que incluyen las cuatro operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) siguiendo un orden específico. Primero se deben resolver las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas de izquierda a derecha. También cubre cómo resolver operaciones que incluyen signos de agrupación como paréntesis, corchetes y llaves.
Calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeiaMateo Banhakeia
I. Este documento explica cómo resolver integrales y proporciona fórmulas útiles para integrales trigonométricas, exponenciales y fracciones.
II. Es importante saber derivar bien y memorizar estas fórmulas para poder integrar funciones.
III. Se explican conceptos como el cambio de variable, la integración por partes y cómo integrar fracciones dividiendo polinomios.
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxjeanhuarcaya4
Este documento explica las curvas paramétricas, que representan curvas donde las coordenadas x e y son funciones de un parámetro t. Se define la derivada dy/dx para curvas paramétricas usando la regla de la cadena. Luego, se dan ejemplos de calcular dy/dx para diferentes curvas paramétricas dadas por ecuaciones en t. Finalmente, se pide verificar que una curva dada satisface una relación particular.
1. La integral indefinida de 2dx es 2x + C.
2. La integral indefinida de x/(1+x^2) dx se resuelve como arctan(x) + C.
3. La integral indefinida de x^n dx se resuelve como x^(n+1)/(n+1) + C cuando n ≠ -1.
Este documento explica los conceptos básicos de las fracciones racionales. Define una fracción como el cociente de dos números enteros donde el denominador no es cero. Explica los términos de una fracción como numerador y denominador. También describe cómo sumar y restar fracciones con el mismo denominador o con denominadores distintos encontrando primero fracciones equivalentes.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como relaciones, funciones y productos cartesianos. Explica cómo determinar el dominio y rango de funciones, y provee ejemplos resueltos de problemas que involucran estas nociones. También introduce aplicaciones de funciones lineales y cuadráticas en contextos económicos, como predecir el crecimiento de colaboradores de una empresa a través del tiempo.
Este documento resume las propiedades y reglas básicas de la algebra, incluyendo la ley de los signos, la propiedad distributiva, las leyes de exponentes, la división algebraica, productos notables y el desarrollo de binomios. Explica cómo aplicar estas reglas para simplificar expresiones algebraicas.
Este documento trata sobre matrizes, definindo suas propriedades e operações básicas. Explica que uma matriz é um conjunto de números organizados em linhas e colunas e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes como triangulares, simétricas e diagonais. Também descreve como realizar operações como soma, produto e inversa de matrizes.
1) El documento contiene información sobre vectores, operaciones con vectores, producto escalar, rectas y ecuaciones vectoriales, paramétricas y explícitas de rectas. 2) También incluye conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores, ángulo entre rectas, bisectriz de un segmento y de un ángulo. 3) Finalmente, presenta la ecuación general de una circunferencia.
Este documento presenta una guía sobre funciones y sus propiedades. Explica conceptos como dominio, continuidad, derivabilidad, asintotas, puntos críticos, concavidad, y cómo construir una curva a partir de estos elementos. También incluye una tabla de derivadas de funciones comunes.
1) Apolonio de Perga estudió las curvas canónicas en el siglo III a.C., las cuales son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola obtenidas al cortar un cono con un plano.
2) Las ecuaciones canonizadas de estas curvas son función de la distancia entre un punto y un foco o directriz.
3) La elipse y hipérbola tienen dos focos mientras que la parábola tiene un foco y la circunferencia ninguno.
El documento describe las cuatro curvas cánonicas (elipse, hipérbola, parábola y circunferencia) obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Explica que una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante, y deduce su ecuación canónica. Igualmente describe las hipérbolas, parábolas y deduce sus ecuaciones canónicas respectivas.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Presenta diferentes tipos como las separables, exactas, homogéneas y de Bernoulli, y describe los pasos para resolver cada tipo. También incluye ejemplos resueltos de cada uno para ilustrar los métodos.
1) Se describen las ecuaciones que definen rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas. 2) Se explican métodos para determinar la posición relativa de dos rectas o de un plano y una recta basados en estudiar la dependencia lineal de sus vectores directores y normales. 3) También se analiza la posición relativa de dos planos mediante el rango de la matriz formada por sus coeficientes.
El documento presenta fórmulas trigonométricas útiles para resolver integrales definidas, incluyendo fórmulas para seno de suma y diferencia, coseno de suma y diferencia, y tangente de suma y diferencia. También presenta identidades para seno al cuadrado, coseno al cuadrado y seno-coseno.
El documento trata sobre un proyecto para generar señales seno y coseno en un microcontrolador. Primero se generan los coeficientes de las series de Taylor para las señales seno y coseno en el microcontrolador. Luego, los coeficientes se envían a través de un puerto de salida al una conversor digital-analógico (DAC) que procesa los datos y genera las ondas deseadas. El objetivo es diseñar un sistema que permita modificar la amplitud y frecuencia de las señales seno y coseno de manera flexible mediante un
Este documento presenta las propiedades de las inecuaciones con valor absoluto. Explica que para que la desigualdad |x| < a sea verdadera, x debe estar entre -a y a, y para que |x| ≤ a sea verdadera, x debe estar entre -a y a incluyendo los extremos. También indica que para que |x| > a o |x| ≥ a sean verdaderas, x debe ser menor que -a o mayor que a. Finalmente, resuelve dos ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas propiedades.
El documento explica los conceptos básicos de los números complejos, incluyendo diferentes formas de escribirlos y propiedades como el módulo y argumento. También describe varias transformaciones complejas como traslación, rotación, homotecia y similitud directa, dando las fórmulas correspondientes a cada una. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo del argumento de un número complejo.
Teoria general de_ecuaciones_polinomicas_para_los_apuntes_-1-__13450__ (2)luis alex torres vargas
El documento presenta la teoría general de ecuaciones polinómicas. Explica que una ecuación polinómica es igualar a cero un polinomio, y que las soluciones son los valores que satisfacen esta igualdad, llamados raíces. Afirma que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz real o compleja, y tiene exactamente n raíces para un polinomio de grado n. Presenta varios problemas fundamentales en el estudio de ecuaciones polinómicas, como encontrar las raíces dadas los coeficient
Teoria general de_ecuaciones_polinomicas_para_los_apuntes_-1-__13450__ (1)luis alex torres vargas
El documento presenta la teoría general de ecuaciones polinómicas. Explica que una ecuación polinómica es igualar a cero un polinomio, y que las soluciones son los valores que satisfacen esta igualdad, llamados raíces. Afirma que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz real o compleja, y que el número de raíces es igual al grado del polinomio. Presenta varios problemas fundamentales en el estudio de ecuaciones polinómicas, como hallar ecuaciones dadas sus raí
Trabajo de Calculo, Asintotas, Continuidad y Limites Trigonometricos. (Angel ...Angel Rodriguez
1) El documento presenta 7 ejercicios de cálculo de límites y derivadas.
2) Se pide resolver detalladamente cada ejercicio encontrando límites, derivadas y condiciones para que funciones sean continuas.
3) Los ejercicios involucran conceptos como límites laterales, límites fundamentales, derivadas por definición y condiciones de continuidad.
Este documento explica cómo resolver operaciones combinadas que incluyen las cuatro operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) siguiendo un orden específico. Primero se deben resolver las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas de izquierda a derecha. También cubre cómo resolver operaciones que incluyen signos de agrupación como paréntesis, corchetes y llaves.
Calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeiaMateo Banhakeia
I. Este documento explica cómo resolver integrales y proporciona fórmulas útiles para integrales trigonométricas, exponenciales y fracciones.
II. Es importante saber derivar bien y memorizar estas fórmulas para poder integrar funciones.
III. Se explican conceptos como el cambio de variable, la integración por partes y cómo integrar fracciones dividiendo polinomios.
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxjeanhuarcaya4
Este documento explica las curvas paramétricas, que representan curvas donde las coordenadas x e y son funciones de un parámetro t. Se define la derivada dy/dx para curvas paramétricas usando la regla de la cadena. Luego, se dan ejemplos de calcular dy/dx para diferentes curvas paramétricas dadas por ecuaciones en t. Finalmente, se pide verificar que una curva dada satisface una relación particular.
1. La integral indefinida de 2dx es 2x + C.
2. La integral indefinida de x/(1+x^2) dx se resuelve como arctan(x) + C.
3. La integral indefinida de x^n dx se resuelve como x^(n+1)/(n+1) + C cuando n ≠ -1.
Este documento explica los conceptos básicos de las fracciones racionales. Define una fracción como el cociente de dos números enteros donde el denominador no es cero. Explica los términos de una fracción como numerador y denominador. También describe cómo sumar y restar fracciones con el mismo denominador o con denominadores distintos encontrando primero fracciones equivalentes.
Este documento presenta conceptos matemáticos fundamentales como relaciones, funciones y productos cartesianos. Explica cómo determinar el dominio y rango de funciones, y provee ejemplos resueltos de problemas que involucran estas nociones. También introduce aplicaciones de funciones lineales y cuadráticas en contextos económicos, como predecir el crecimiento de colaboradores de una empresa a través del tiempo.
Este documento resume las propiedades y reglas básicas de la algebra, incluyendo la ley de los signos, la propiedad distributiva, las leyes de exponentes, la división algebraica, productos notables y el desarrollo de binomios. Explica cómo aplicar estas reglas para simplificar expresiones algebraicas.
Este documento trata sobre matrizes, definindo suas propriedades e operações básicas. Explica que uma matriz é um conjunto de números organizados em linhas e colunas e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes como triangulares, simétricas e diagonais. Também descreve como realizar operações como soma, produto e inversa de matrizes.
1) El documento contiene información sobre vectores, operaciones con vectores, producto escalar, rectas y ecuaciones vectoriales, paramétricas y explícitas de rectas. 2) También incluye conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores, ángulo entre rectas, bisectriz de un segmento y de un ángulo. 3) Finalmente, presenta la ecuación general de una circunferencia.
Este documento explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e propriedades. As matrizes são representadas por conjuntos de números organizados em linhas e colunas. O documento descreve matrizes simétricas, diagonais, escalares, entre outras, e como realizar operações como multiplicação, transposição e inversão de matrizes.
El documento presenta diferentes conceptos geométricos como rectas, planos y sus posiciones relativas. Define los elementos que caracterizan una recta y un plano, como puntos y vectores directores. Explica cómo estudiar la posición relativa de dos rectas mediante la dependencia lineal de sus vectores directores. Luego, analiza la posición relativa de una recta y un plano, y de dos o más planos, a través del rango de las matrices formadas por sus ecuaciones.
Estudio de funciones con + de 30 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento resume los conceptos fundamentales del estudio de funciones, incluyendo el dominio de definición, la simetría, la continuidad, la derivabilidad, los cortes con los ejes, las asintotas, la monotonía, los puntos críticos, la concavidad y los puntos de inflexión. También incluye una tabla de derivadas que es importante memorizar.
Dados dos puntos A y B, se define el vector que va de A a B. La suma de un vector y un punto da como resultado otro punto, y la suma de dos vectores da como resultado otro vector. El producto de un escalar por un vector también es un vector. Se describen propiedades del producto escalar como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
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Este documento define los logaritmos y demuestra varias de sus propiedades fundamentales, incluyendo que loga(c*d^h)=loga(c^h)+loga(d^h), que loga(d/c)=-loga(c)-loga(d), y que loga(b^h*c)=h*loga(b).
Limites-continuidad-derivabilidad por BanhakeiaMateo Banhakeia
1) El documento habla sobre los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad de funciones.
2) Explica las definiciones formales de límite, continuidad a izquierda/derecha y derivabilidad.
3) Proporciona fórmulas y propiedades clave sobre límites, como reglas para calcular límites indeterminados y la regla de L'Hôpital.
Este documento trata sobre conceptos básicos de trigonometría. Explica las funciones trigonométricas para triángulos rectángulos, el teorema del coseno, el teorema del seno y el círculo trigonométrico. También incluye fórmulas, propiedades, igualdades y métodos para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.
Este documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi, donde a es la parte real e i la raíz cuadrada de -1. También presenta diferentes formas de representar números complejos como la forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial.
Este documento presenta un estudio de funciones que incluye los siguientes puntos: 1) dominio de definición, 2) simetría y periodicidad, 3) continuidad, 4) derivabilidad, 5) corte con los ejes, 6) asintotas, 7) monotonía y puntos críticos, y 8) concavidad y puntos de inflexión. También incluye una tabla de derivadas comunes y algunos casos particulares para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre el cálculo de integrales dobles sobre diferentes regiones. Se proporcionan los límites de integración para regiones como un trapecio, un segmento parabólico, círculos y más. También se piden cambiar el orden de integración y calcular valores numéricos de integrales dobles sobre estas regiones.
Este documento presenta las instrucciones para una prueba de acceso a la universidad de física en Andalucía. Contiene dos opciones con varias preguntas cada una. La duración de la prueba es de 1 hora y 30 minutos. Los estudiantes deben desarrollar las cuestiones y problemas de una sola opción utilizando una calculadora no programable. Cada pregunta se calificará de 0 a 2,5 puntos.
Este documento presenta resúmenes de fórmulas y conceptos clave de física para el curso de 2o de bachillerato. Incluye resúmenes de mecánica, movimiento armónico simple, sonido, interacción gravitatoria, fuerzas centrales, campo eléctrico, campo magnético, inducción electromagnética, óptica geométrica y física moderna. El documento proporciona fórmulas fundamentales de cada tema de forma concisa para servir como recurso de referencia rápida para los estudiantes
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptxPamelaKim10
Este documento analiza las diversas reacciones químicas que ocurren dentro del cuerpo humano, las cuales son esenciales para mantener la vida y la salud.
Los enigmáticos priones en la naturales, características y ejemplosalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Esta presentación nos informa sobre los pólipos nasales, estos son crecimientos benignos en el revestimiento de los senos paranasales o fosas nasales, causados por inflamación crónica debido a alergias, infecciones o asma.
Es en el Paleozoico cuando comienza a aparecer la vida más antigua. En Venezuela, el Paleozoico puede considerarse concentrado en tres regiones positivas distintas:
Región Norte del Escudo Guayanés.
Cordillera de los Andes venezolanos.
Sierra de Perijá.
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cos cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos cos
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cos cos
cos cos
importantes
algunos
Para saber resolver hay que saber derivar muy muy bien
y conocer de memoria las seguientes formulas trigonometricas que se utilizan
muchisimo en las cuando hacemos cambio de variable
sen a b sen a b sen b a
a b a b sen a sen b
tan a b
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sen a b sen a b sen a b
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Pitagoras
Integrales antiderivadas
a b a b a a b a b a b
a b a b a a b a b a b
observacion de las potencias n
Demostracion
muy tenerlas memorizadas
Estas fracciones en ejercicios son muy utiles
Formulas de Integrales y como resolverlos
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cos
cos
cos
cot cot
cos
cot
sec sec tan
cosec cosec cot
arcsec
cosec
tanh
integrar
algo
sec
cos
cosec
y k cte y
y f x y n f x f x
y k f x y k f x
y f x g x y f x g x
y f x g x y f x g x f x g x
y
g x
f x
y
g x
f x g x f x g x
y fog x y f og x g x
y f x y
f of x
y f x y
n f x
f x
y f x y
f x
f x
Ln a
y a y a f x Ln a
y e y e f x
y sen f x y f x f x
y f x y sen f x f x
y tan f x y
f x
f x tan f x f x
y f x y
sen f x
f x f x f x
y arcsenf x y
f x
f x
y ar f x y
f x
f x
y arctanf x y
f x
f x
y ar f x y
f x
f x
y f x para esta formula se utiliza
asi que y solo queda aplicar formulas anteriores
y f x y f x f x f x
y f x y f x f x f x
y f x y
f x f x
f x
y ar f x y
f x f x
f x
y sh f x y ch f x f x
y ch f x y sh f x f x
y f x y
ch f x
f x
e a
e e
Hay que saber derivar muy bien y tener bien memorizadas las formulas para saber
Es parecido a la tabla de multiplicar si no la sabes no sabras dividir
x
x
x
sen x sh x e e
ch x e e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2
2
2
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
2 2
ln
n n
n
n
n
a
f x f x
f x f x
g x Ln a
f x g x Lnf x
x x x x
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
g x
log
A
AA
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g
g
g
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g g
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h
h h h
g
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6
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6
7
7
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2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
limite inferior limite superior
limite inferior limite superior
constante
ln
ln
cos
cos
cos
cot
arccos
cot
cos cos
cos
ln
ln
ln
integracion
integracion
a es el b es
a x b x a b
la curva de f x gira alrededor del eje x
f x en funcion de x ejemplo y f x x
a es el b es
a y b y a b
la curva de f y gira alrededor del eje y
f y en funcion de y ejemplo x f y y
k dx Kx siendo K una
K f x dx K f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x f x dx n f x cte siendo n
f x f x dx f x cte
a f x dx a a cte
a dx se hace cambio de variable t f x
f x f x dx sen f x cte
f x senf x dx f x cte
f x
f x
dx tan f x cte
sen f x
f x
dx f x cte
f x
f x
dx
f x cte
arcsen f x cte
f x
f x
dx
ar ag f x cte
arctg f x cte
e bx dx
a b
e a bx b sen bx cte
e sen bx dx
a b
e a sen bx b bx cte
f x
f x
dx
f x
f x
cte
f x
f x
dx f x f x cte
f x
f x
dx f x f x cte
las formulas A B y C no es necesario memorizarlas porque mas adelante
aprenderemos a resolverlas haciendo cambio de variable y demostrandolas
f x dx
f y dy
C
por partes
utilizando
por partes
utilizando
Tabla de Integrales
2 1
2 1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
n n
f x f x
f x
ax
ax
ax
ax
a
b
a
b
1
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2
2
2
2 2
2 2
2
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A
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i
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h
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h
g
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h
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
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6
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6
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. . . . . . .
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. . . . . . . . .
...........
........... 6
...........
:
:
Algebraica
coseno
ln
ln logaritmica
algebraica
ln
algebraica
integracion
logaritmica
udv uv vdu dirais de donde sale esto pues a demostrarlo
sea u f x y v g x
como sabemos en derivadas que f x g x f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
uv vdu udv
La formula se utiliza en los seguientes casos
vea el ejercicio
vea el ejercicio
Funcion Inversa arco
Funcion Logaritmica
Funcion
Funcion Trigonometrica seno tan
Funcion Exponencial
Seguiendo el orden de la palabra
La que aparece corresponde a u y la corresponde a dv siempre seguiendo el orden
de la palabra
x x dx
x
x
u x y dv x
fijandonos en la palabra ILATE
x sen x dx
sen x trigonometrica
x
u x y dv sen x
fijandonos en la palabra ILATE
vea los ejercicios y
Division de dos polinomios
P x Q x C x R x
Q x
P x
C x
Q x
R x
asi que
Q x
P x
dx C x dx
Q x
R x
dx para hallar la de es facilisimo
solamente hay que saber la formula f x f x dx n f x
ahora para resolver la
Q x
R x
dx
Ejercicio
Q x x x x
Entonces
Q x
R x
x
A
x
A
x
A
x
A
luego se halla los valores de A A A A y por ultimo
Q x
R x
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
Ejercicio Q x x
Entonces
Q x
R x
x
A
x
A
x
A
x
A
luego se halla los valores de A A A A y por ultimo
Q x
R x
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
n
n
ILATE
ILATE
n n
a
ojo el grado de R x es grado de Q x
si y son una de la otra n
si y son todas n
udv uv vdu a
a
cuando tenemos solamente funcion
cuando tenemos solamente funcion inversa
cuando tenemos producto de funciones pertenecientes a las funciones seguientes
paso es calcular Q x y sean las soluciones
Ejemplo
Ejemplo
Integrar por Partes
Integrar Fracciones
1 2
1
1
0
1 1
2 2
3
3 4
5
2 5
1 0
1
2
R
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
v u
n
n
n
n n
a b
1 2
1
1
2
2
3
3
1 2 3
1
1
2
2
1
2
2
3
3
1 2 3
1
2
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
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a a a a
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a a a a
a a a a
a a a a
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cos
cot cot
cos
cot cot
integrales
cos
cos
tan
cot
cot
cot cot
cot cot
cot cot
cot cot cot cot
cot
cot
cot
cot
Ejercicio
Entonces
Q x
R x
x
M x N
x
M x N
x
M x N
x
M x N
luego se calcula los valores de M M M M y N N N N y por ultimo
Q x
R x
dx
x
M x N
dx
x
M x N
dx
x
M x N
dx
se hace cambio de variable
Ahora bien si fuera Q x ax bx c siendo b ac hacemos lo seguiente
Q x ax bx c ax bx c ax bx a
b
a
b
c
llegaremos a una forma de Q x x
se hace exactamente igual que en el caso de las reales
con la unica diferencia que en el numerador se pone Mx N
y tanf x y tan f x f x
f x
f x
y f x y f x f x
sen f x
f x
x
tan x
sen x
x tanx x
los pasos a seguir para resolver esta clase de son dos
Vea los ejercicios
descomponer tan x
tan x tan x
x
tan x
si hemos utilizado
hacer aparecer tan x
tan x tan x tan x tan x
tan x
x
tan x
tan x tan x
Vea el ejercicio
metodo la sustituyendo x por
descomponer x
sen x
x
x x
si hemos utilizado
sen x
x x
x
sen x
x
x x x x
hacer aparecer x
si y son todas que no tiene soluciones reales n
si y son todas que no tiene soluciones reales
n n n
n
x tan t x tan t x tan t
tan x dx x dx
Paso o bien
Paso
Paso o bien
Paso
a
b
a
b
Recordad d f x f x derivada de f x
tan x dx
x dx
Mismo que tan x solo x
INTEGRALES DE LA FORMA
0 4 0
4 4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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8 9 10
1
2
1
2
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2
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1
1
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C
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n n
n n
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m m m
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2
1 1
2
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2
2
2 2
3
2
3
2
3 3
2 2
1 2 3 1 2 3
1
2
1
2
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2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2
2 2
1
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A
A
A
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a b a b a b
a b
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a a a a
a b a b a b
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cos cos cos cos
cos cos
cos
cos
cos cos cos cos
cos cos
integrales
cos
cos
cos
cos cos cos
ejercicios
Como se ve que las dos funciones trigonometricas tienen angulos
el paso pasarlas al mismo angulo y para ello utilizamos las formulas de abajo
sen a b sen a b sen a b
a b a b a b
sen a sen b a b a b
ejercicios
paso es descomponer y
paso es resolver por partes
v x
du m sen x x dx
ejercicios y
sen x con x dx sen x x x dx x sen x x dx
sen x con x dx sen x x sen x dx sen x x sen x dx
sen x con x dx se escoge la m o bien la n y se sigue los pasos del o
sen x con x dx se utilizara cambio de variable que veremos mas adelante
m
Esta clase de se resuelve por partes
siempre y cuando la potencia positiva la descompogamos en a a a
n n
n n
n n
si m y n
si m y n
si m y n
si m y n
sen mx nx dx
sen mx nx sen m n x sen m n x
sen x dx x dx
sen x x
sen x con x dx
sen x x
u sen x
sen x x
dv sen x dx
INTEGRALES DE LA FORMA
INTEGRALES DE LA FORMA
INTEGRALES DE LA FORMA
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
3
1 2
4
12 13
14 15
17 18
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0 0
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1
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algunas
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cos cos
cos cos
cos
cot
integrar
cos
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cos
cos
cos
cos
cos
cos
ejercicios
Para esto lo es conocer formulas trigonometricas
sen x sen x x x tan x tan x
sen x sen x x x tan x tan x
sen x sen x x x tan x tan x
tan x
tan
x
tan
x
tag a b
tan a tan b
tan a tan b
tan x
x
x
sen x
c a b
para funciones trigonometricas utilizaremos la
cambio de variable x
t
Aplicando Pitagoras
t w w t
sen x t
x t
sen x dx dt t dx dt dx
t
dt
cambio de variable sen x t
Aplicando Pitagoras
t w w t
x t
senx
t
x dx dt t dx dt dx
t
dt
cambio de variable
Aplicando Pitagoras
w t w t
sen x
t
t x
t
tan x t
x
dx dt dx x dt dx
t
dt
regla de BIOCHE
teorema Pitagoras
n n n n n n
si f x f x t x
si f x f x t sen x
si f x f x t tan x
vea la imagen
vea la imagen
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INTEGRALES HACIENDO CAMBIO DE VARIABLE
1
1 2
2 2
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
18 19 20 21 22 23
1
2
3
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
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2
2
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2
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cos
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integrales
el cambio de variable
sabemos que x x
x
x
t
t
Aplicando Pitagoras
w t t w t
sen x
t
t x
t
t
tan x
t
t
x
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t
t
dt dx x
t
t
dt dx
t
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ejercicios
ax bx c ax bx a
b
a
b
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a
b
a
b
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a
b
ax
a
b
ax bx c
t siendo
t siendo
ax bx c ax bx c ax bx
a
b
a
b
c
ax
a
b
a
b ac
t
ax bx c t siendo
si no se cumplen ninguna de las anteriores t
x
n n n
si
si
para resolver estas sigue estos dos pasos
si a
si a
ax bx c dx
ax bx c
dx
caso
caso
caso
Paso
INTEGRALES DE LA FORMA
1 2
2 2
1
2
2 1 1
1
2
1
1
1
2 1
1
2 1
1
2 1
1
2
4 4 2 4
2
2
4 4
2 4
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4 3 2
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2
1
3
0
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1
t
t
cambio por t
cambio por t
cambio por t
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2
1
1
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
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2 2 2
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2 2 2 2
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b b a
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b b a
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444444 444444
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cos arcos
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luego el cambio sera u
t u t aplicando al triangulo y pitagoras
t w w t
u t sen u du
t
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t
t
t
nos hace recordar
luego el cambio sera tan u
t
aplicando al triangulo y pitagoras
t w w t
tan u t
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u
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t
t
nos hace recordar
luego el cambio sera sen u
t
aplicando al triangulo y pitagoras
t w w t
sen u t u du dt
u
t
para entenderlo mejor vea los ejercicios arriba indicados pero antes
recordemos las formulas que necesitaremos
f x
f x
dx f x f x cte
f x
f x
dx f x f x cte
f x
f x
dx
f x cte
arcsen f x cte
sen arcsen x x x x
arcsen x x sen x x
En el caso
En el caso
En el caso
tan x
x
tan x
x
x sen x
vea la imagen
vea la imagen
vea la imagen
Paso
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2
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1
1
1
1
1
2
2 2
2
2 2 2 2 2
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determinar
determinar
integrales
integrales
minimo exponente
cos
Denominada
ejercicios y y
Q x ax bx c
ax bx c
m
siendo
Q x un polinomio de coeficientes a
Grado de Q x grado de P x
m numero real a
Para esta clase de se hace
cambio de variable
asi poder transformarla en
se hace cambio variable
ejercicio
para estos tipos de se hace el cambio de variable
cx d
ax b
t siendo n m c m q s v
m c m comun multiplo se cogen todos los factores y elevado a mayor
ver ejercicio
dividir
a x b cx d
cx d
a x b
cx d
cx d ax bx c
a x b
dx
ax bx c
dx
cx d ax bx c
dx
Para A
ax bx c
dx
utilizar a
b
para transformarlo de la seguiente forma
x
dx
x
dx
x
dx
y
n n n
n
n
ax bx c
P x
dx
ax b ax bx c
dx
a dx
ax bx c
P x
ax b ax bx c
dx
ax bx c
P x
dx
a dx
R x cx d
ax b
cx d
ax b
cx d
ax b
dx
cx d ax bx c
a x b
dx
f x a
f x dx
Ln f x f x a cte
Ln f x f x a cte
a f x
f x dx
ar a
f x
cte
arcsen a
f x
cte
f x a
f x dx
Ln f x f x a cte
metodo Aleman
ax b t
t f x
utilizar las formulas
Recordatorio
Paso
Paso
Paso
INTEGRALES DE LA FORMA
INTEGRALES DE LA FORMA
Integrales de la forma
1
4
1 2 3
27 28 29
1
2
3
30
114
1
1
2
3
n
A B
n
f x
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2 2
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4 4444444444444
4
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integral
ln
ln
ln
limite inferior
limite superior
terminos
termino
termino
ln
si no se recuerda de las formulas utilizad cambio de variables trigonometricas
Para B
cx d ax bx c
dx
hacemos cambio de variable cx d t
La B se transformara en una parecida a la A es deecir de la forma seguiente
B
t t
dt
hacemos lo del y quedara resuelto
ver ejercicio
x x dx
x cte
n
x x
n cte
ver ejercicio
ax b dx
a n
n ax b cte siendo a
ejercicios
f x dx
f x es una funcion continua en a b
Representa el area comprendida entre el eje ox la
curva de f x y las dos abscisas x a y x b
las situadas debajo del eje ox son
las areas situadas encima del eje ox son y
f x dx
eje x
eje x
f x dx f x F b F a siendo F la primitiva de f
f F d f d F f F
La suma de n a a a a a a a se denota por
a a a a a a
k es el indice de la suma
y son el primero e ultimo de la sumatoria
a es el k esimo
k k
n
n
n n n
Integral de Riemann
Regla de Barrow
Definicion de la notacion Sigma
x x dx
ax b dx
a
Paso
paso
n
Ejemplo
si n
si n
b
Integrales de la forma
Integrales de la forma
Integrales Definidas
1
2
1
1 1
1
1
0
1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8
164
161
31 32 33
4
3
1
1
1
k
k
n
n
n n
a
b
a
b
a
b
n
k
n
k k
n
n
a
n
b
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
2
2
2
1
1
7
3 3 3 3 3 3 3 3
2
8
1
n 1
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U
U
U
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5
b
m
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c c c
c
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Y
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h
g
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h
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:
2
3
5 6 7
;
terminos
termino
termino
Algunas importantes
cte a cte a
a b a b
a a a con m n
a a
R n R
k
n n
k
n n n
k k k
n n n n n
k n e
m m
m
m m
m m
k k n k k n
La productoria de n a a a a a a a se denota por
a a a a a a
k es el indice de la productoria
y son el primero e ultimo de la productoria
a es el k esimo
k k
k n n m m m m m m m
cte a cte a a b a b
a a a a a a
a
a
a
con a
Propiedades
Propiedades
Sumatorias
Euler
n
Ejemplo
Definicion de la notacion Pi
1
1 2 3 4 2
1
1 2 3 6
1 2 1
30
1 2 1 3 3 1
1
0
1
1
1
2
1
3
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
1
1
4
1
k
k k
k k k
k
k
k
k
k
n
k
n
k k
k
n
k
n
k
n
k
n
k
m
k m
n
k m
n
k r
k m r
n r
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
k
n n
k
k
n n
k
n
k
n
n
k
n
k k
k
n
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
k k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
k
k
n
k
k
n
n
k
k
k
n
n
k
n
n veces m
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
2 2 2
3
1 1
2
4
1
2
0
0
1
1
1
1 0
1
7
3 3 3 3 3 3 3 3
2
8
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1
1
1
1
1
0
1
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U U
U U
U
U U
U U
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g
p
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13
14. ,
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:
lim lim
limite
lim
lim acotada
lim acotada
lim lim
bastante integrales
lim
integrales
limitado
limitado
f x dx f x dx f x dx
f x g x dx f x dx g x dx k f x dx k f x dx
f x dx f x dx f x dx c a b
si f x en a b f x dx si f x en a b f x dx
si f x g x en a b f x dx g x dx
f una funcion continua en a b c a b f x dx f c b a
I f x dx si f x no es continua en c a b
I f x dx f x dx
si el existe y es finito I es convergente
si el ite es I es divergente
f x dx f x dx siendo f en a
f x dx f x dx siendo f en b
f x dx f x dx f x dx
un error frecuente en impropias hacer que
f x dx f x dx
La solucion es realizarla en dos impropias es decir
f x dx f x dx f x dx
ejercicios y
siempre es
eje OX por x a y x b
al girar la curva de f x al rededor del
Volumen del solido de revolucion formado por la rotacion de f x g x al rededor
del eje x y por x a y x b tal que f x y g x continuas en a b
ES
Propiedades
Teorema del valor medio
Integrales Impropias
Propiedades
Cambio de variable n n
Area A
A
Longitud S
Volunen V
Observacion
f g x g x dx f u du
f x dx parte que esta encima del eje x la parte que esta por debajo del eje x
Area de funciones f y g es A f x g x dx
f x dx
f x dx
V f x g x dx
0
0 0 0 0
0
1 2
3 4
5
6 7
8
34 35
2
1
a
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
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a
c
c
b
a
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a
b
a
b
a
b
a
b
a
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x c a
c
x c c
b
b
a a
b
a
b
a
b
a a
c
b c
b
a t
t
a
a
a
b
g a
g b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
2
2
2 2
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d
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3
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3
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h
h
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#
14
15. .
. .
rectangulos
rectangulos
rectangulo
Para hallar el area de una funcion respecto al eje x
se hacen cortes verticales al eje x n isema
en forma de de y
luego el Area es el sumatorio de todas las areas de
los como se ve en la imagen
r altura y esta definida por f x
dx anchura del
Luego A f x dx f x dx
altura r anchura dx
Area A r dx r dx
Area de una funcion respecto al eje x
i
x a
x b
a
b
i
i
i
n
i
a
b
1
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15
16. ,
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:
. .
y
rectangulos
rectangulos
rectangulo
interseccion
limite inferior limite superior
integral
Para hallar el area de una funcion respecto al eje y se hacen cortes verticales al eje y n isema
en forma de de y luego el Area es el sumatorio de todas las
areas de los como se ve en la
r altura y esta definida por f x
dy anchura del
Luego A f y dy f y dy
Area de f x
Area de g x
puntos de entre f x y g x
f x g x x b
x a
con a b luego a y b
esbozar las graficas y luego calcular la
Area formada entre dos funciones respecto al eje x
los pasos a seguir son los seguientes
altura r anchura dy
Area A r dx r dy
ladrillos azules
imagen
ladrillos marrones
Area de una funcion respecto al eje
1
2
i
x a
x b
a
b
i
i
i
n
i
a
b
1
,
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U
U
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16
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.
sectores discos
discos
determinado
discos
discos
determinado
discos
determinado
Discos
Consiste en girar una region del plano al rededor de un eje X asi obtenemos
un solido de revolucion
Dividiendo el solido en circulares
Haciendo cortes perpendiculares al eje de rotacion
El radio r del disco siempre va dirigido del eje de rotacion
hacia la funcion original
En los el radio varia de un disco a otro pero siempre queda
por la funcion en cuestion
su grosor es el mismo para todos los
En la imagen el eje de rotacion es el eje x
r radio del disco f x
dx altura del disco
V V de los
Asi que el volumen queda por V r dx
V V r dx f x dx
Es exactamente igual que lo anterior lo unico que cambia es el eje de rotacion y
r radio del disco f y cortes al eje de rotacion
dy altura del disco V V de los
Asi que el volumen queda por V r dy
V V r dy f y dy
Metodo de los
Hallar el volumen del solido de revolucion generado al girar sobre el eje Y
no hacia el reflejo
ver imagen
ver imagen Pag seguiente
i
i i
i
i
i n
a
b
a
b
i
i i
i
i
i n
a
b
a
b
2
1
2 2
2
1
2 2
U
U
U
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6
@
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17
18. .
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.
R Radio de la funcion f x
r Radio de la funcion g x
V volumen de disco R r dx
V V R r dx f x g x dx
V volumen de disco R r dy
V V R r dy f y g y dy
Volumen generado entre dos funciones
Ver imagen para entenderlo mejor
Rotacion respecto al eje x
Rotacion respecto al eje y
i
i
i i i
i
i
n
a
b
a
b
i i i
i
i
n
a
b
a
b
2 2
1
2 2 2 2
2 2
1
2 2 2 2
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r r
r
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g
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8
B
B
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18
19. ,
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intervalo
Otro metodo que permite la obtencion del volumen generado por el giro de una area
comprendida entre dos funciones cualesquiera f x y g x en un a b
tal que f x g x en a b al rededor de un eje de revolucion paralelo al eje de ordenadas
x k cte la formula del volumen es
V x k f x g x dx
x k la recta x k
comprendida entre f x y g x
se encuentra a la izquierda de la region
siendo h x
funcion de derecha la de izquierda
funcion de arriba la de abajo
siendo h y
funcion de derecha la de izquierda
funcion de arriba la de abajo
Rotacion paralela al eje de ordenadas eje y
Para los ejes de rotaciones Verticales
Para los ejes de rotaciones Horizontales
Observacion
V x h x dx
V y h y dy
0
2
0
2
2
a
b
a
b
a
b
U
U
U
2
2
2
r
r
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19
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I Ln x dx Calcula I arcsen x dx
Calcula I x x dx Calcula I x x dx
Calcula I
x x
x x
dx Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
x x x
x
dx Calcula I tan x dx
Calcula I tan x dx Calcula I x dx
Calcula I x dx Calcula I sen mx nx dx
Calcula I sen mx mx dx Calcula I sen x dx
Calcula I x dx Calcula I sen x x dx
Calcula I sen x x dx Calcula I
sen x
dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
sen x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I x dx
Calcula I sen x dx Calcula I
x x
dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I x x dx
Calcula I
x x
x x
dx Calcula I
x x x
dx
Calcula I e dx Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I x dx Calcula I x x dx
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25 26
27 28
29 30
31 32
33 34
1
2
2 5
4 4
3
2 1
4
1 1 2
5 3
2 5
3 4
4 5
2 5 2 1 3 4
1 2 1 2
1
2 1 1
x
2
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2
2
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5 6
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2 2
2 2
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2
2
2
2
3 2
2 1
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21
22. 6 2
3 4
.
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.
.
. .
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. . . .
. .
ln ln ln
ln
cos
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I r x dx Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
a x
dx
Calcula I
dx
Calcula I
f x
f x
dx
Calcula I
a f x
f x
dx Calcula I
x
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Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
a f x
f x dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
a f x
f x dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
xdx
Calcula I
x
dx
Calcula I
a f x
f x dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I x
x
dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
x
dx
Calcula I e bx dx Calcula I e sen bx dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x
x
dx
35 36
37 38
39 40
41 42
43 44
45 46
47 48
49 50
51 52
53 54
55 56
57 58
59 60
1 6
6 6
7
4
1
1
1
2
5
2
1
3
2
1 9
2
9 2 1
1 5
2
1
1
1
1
1
1
1
r
x
ax ax
2 2
0 2 2
3
2 2
3
3 5 2
2 2 2
4 4
2 2 2
4 2 2
2 4
2 2 2
2 4
2
2
6
2
2
2 2
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22
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7 8
9 8
8 8
8 8
8 8
8 8
8 9
9 9
9 9
9 9
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.
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ln cos
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cot
cos
cos
cot
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I x x dx Calcula I
a b x
dx
Calcula I
sen x x
dx
Calcula I
sen x tan x
dx
Calcula I
a x
dx
Calcula I a wt bsen wt dx
Calcula I
sen x x
dx
Calcula I
f x a
f x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
sen x
dx
Calcula I
x sen x
x
dx Calcula I
sen x x
sen x x
dx
Calcula I
sen x x
x
dx Calcula I
sen x x
sen x x
dx
Calcula I
a b
a b
dx Calcula I x a dx
Calcula I tan x dx Calcula I
sen x x
sen x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I
x
x x sen x
dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
sen x
x
dx
Calcula I tan x dx Calcula I x tan x dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x sen x
dx
Calcula I x tan x x dx Calcula I x
x
dx
Calcula I
a b x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
sen x x
x
dx
65 66
67 68
69 70
71 72
73 74
7 7
7 7
7 0
1 2
3 4
5 6
7 8
9 0
1 2
3 4
5 6
2
1
1
1 2
1 2
2
1
1
1
1
2 3 3 1
1
2 3
1
x x
x x
2
2 2 2
5
2 2
2 2
5
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2
2 2
2
2 2
3
2
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23
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1 2
4
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1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
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ln
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cos
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ln
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I
x
sen x
dx Calcula I
x x
x x sen x
dx
Calcula I
x x a
dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I sen x dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
sen x x
x sen x
dx
Calcula I
f x a
f x
dx Calcula I
f x a
f x
dx
Calcula I
x x
x dx
Calcula I
x
x x
dx
Calcula I
e
e
dx Calcula I
tan x
tan x
dx
Calcula I
x x
arcsen x
dx Calcula I x
x
dx
Calcula I x dx Calcula I
x x
x
dx
Calcula I
x
arcsen x
dx Calcula I
e
e
dx
Calcula I x x dx Calcula I sen x dx
Calcula I sen x x dx Calcula I x e dx
Calcula I x dx Calcula I
x
dx
Calcula I
e
dx
y x Calcula
area comprendida
entre f x y eje x
e f x eje y
Calcula I
x
dx
dx Calcula I
x
dx
dx
Calcula I x dx Calcula I
x x
dx
9 9
9 00
01 10
103 10
105 10
107 10
109 1 0
111 1 2
113 1 4
115 1 6
117 1 8
119 1 0
121 1 2
123 1 4
125 1 6
127 1 8
2
2
1
2 1
1
1 1
1 1
4 9 1
1
1
1
4
1 1
2
1 1 1
1
1
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2
1
4
1 1
1
5
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x
x
x
x
x
x
4
2
2 2 2 2
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2 2
2
2
3
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2
2
3
1
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2 2
2
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24
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4 4
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ln
ln
ln ln
limitada
recinto limitado
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
n
n
n
Calcula I
x x
x x
dx Calcula I x x dx
Calcula I
cx d ax b
dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
f x f x a
f x dx
Calcula I
f x f x a
f x dx
Calcula I
f x a f x
f x dx
Calcula I
x x
x dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I x e dx Calcula I x x dx
Calcula I x
x
dx Calcula I
x
arctan x
dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x
x
dx
Calcula I
x x
x
dx Calcula I
x x
dx
Calcula I
Calcula I
x x
x
dx Calcula f x dx f x
a
a si x
a si x
arctan x dx Calcula I
x
x dx
Halla el area entre entre la grafica de las funciones y x e y x
Calcula el area comprendida entre f x x y g x x
Halla el area de la region del plano encerrado por la curva de y Ln x
entre el punto de corte con el eje X e el punto de abscisa x e
Calcula el area del por la curva y x x y el eje X
129 130
131 132
133 134
135 136
137 138
139 140
141 142
143 144
1 5 1 6
147 148
149 150
151
152
153
154
5
4
1 1
2
4 1
1
1 1 1 1
4
2
0
1
1
1 2
4
2
2 2
1
3 6
x
e
x
5
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2
3
2
2
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2 2 2 2
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1
2
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0
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ln
ln
ln
ln cos
ln
cos cos
cos
cos cos
tan
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ln
cos
ln
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I x
x
dx Calcula I a e dx con a
Calcula I a sena dx con a Calcula I
e e
e e
dt
Calcula I
a
a
dx con a Calcula I
x
e x x
dx
Calcula I ax b dx Calcula I x dx
Calcula I x dx Calcula I x x dx
Calcula I
x x x
dx
Calcula I sen x x dx
Calcula I sen x dx Calcula I x
x
dx
Calcula I
x arcsen x
x dx
Calcula I
x x arctan x
dx
Calcula I x
sen x
dx Calcula I
sen x x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
sen x x
dx
Calcula I
sen x x
sen x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I
x x x
dx
Calcula I
x x x
x x
dx Calcula I x
x
dx
Calcula I x dx Calcula I
ax b cx d
x
dx
Calcula I
a
a
dx Calcula I
Calcula I Calcula I
e
e
dx
a x sen a x
dx
sen x
dx
155 156
157 158
159 160
161 162
163 164
165 166
167 168
169 170
171 172
173 174
175 176
177 178
179 180
181 182
183 184
185 186
1
0
0
1
0
1
1 1
2 1
3 1
3 6 8
2
1
1 2 2 1 2 1
1
1
2 2
4
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1
1 2 4 3
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1 1
1
1
x x
x x
t t
t t
x
x arctan x
n
n
n
x
x
x
x
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26
27. 9
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cos
cos
cos
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n n
n n
n
n
Calcula I Calcula I
Calcula I Calcula I
Calcula I
x
x
dx
sen x x
x
dx
x
x
dx
sen x
dx
x x dx
Sea un circulo de centro A y de radio r
Calcula la longitud del circulo
187 188
189 190
1 1
192
1
1
1
0 0 3
2
4
2
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+
+ +
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c c
c c
c
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g
g
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g
g
g
g
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ln ln
ln ln
cos
cos
cos
cos
cos
cos
ln
distintas
ln logaritmica
algebraica
ln
ln
tanto ln ln ln
ln
ln
I x dx aqui
dv dx v x
u x du x dx
luego I x x x x dx x x x
I arcsen x dx aqui
dv dx v x
u arcsen x du
x
dx
luego I x arcsen x
x
x dx
x nos hace pensar en sen x x asi que hacemos cambio de variable
x sen t x
sen t dx t dt y
se deduce que t x
luego J t
sen t t dt
t x
por ultimo I x arcsen x x cte
I x x dx
tenemos funciones x es
x es
la en aparecer en es la
dv xdx v x
u x du x dx
Por lo I x x x x dx x x x x x x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
ILATE
n
Respuesta resolver por partes u dv u v v du
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I x dx
Calcula I arcsen x dx
Calcula I x x dx
Recuerda
por pitagoras del triangulo debajo
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
2 1
2
1
1
2
1
2
1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
1
2
3
J
2
2
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2
2
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44444 44444
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28
29. . ,
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I x x dx dv x x v x x
u x du dx
I x x x dx x x x
x x x x x x
I
x x
x x
dx
aqui P x x x Q x x x
haciendo la division de los polinomios
asi que P x Q x x
x x
x
ahora hallemos las soluciones de x x x x
ahora
x x
x
x x
x
asi que
x x
x
x
A
x
B
x x
A x B x
x A x B x
si x A A
si x B B
asi que
x x
x
x x
por ultimo I x x x dx x dx x dx x dx
I x x Ln x Ln x cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
Calcula I x x dx
Calcula I
x x
x x
dx
raices reales
A B
A B
1 1 1
2
1
1
1
1 3
2
1
1
3
2
1 3
2
1 3
2
1 3
2
3
2
1
1
1
3
2
1 3
2
5
2
1 3
2
1 15
4
1
2
2 5
2 5 2
3
2
5 1
2 5 0 1 2 0
2
5 1
1 2
5 1
2
5 1
1 2 2
2 1
5 1 2 1
1 4 3 4
3
2 11 3 3
11
2
5 1
1
4
3
2
3
11
3 1
4
3
2
3
11
3 4
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1
3
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1
2
1
3 1 3
11
2
4
5
5 1
3 3 6
3 2 5
2
2 5
3
2
1
2
2 5
5 1 1 3 0
5 2 1 0 3
2
1
2
1
1 2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
1
2
3
2
5
2
3
2
5
2
3 2
3 2 2
2
3 2
2
2 2
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2
2
2
3 2
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2
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-
+ -
- + +
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- - = -
- - - - - - - - - -
+
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c
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7
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denominador
integral
aparezca
denominador
I
x x
x x
dx P x x x Q x x x
haciendo la division de los polinomios
asi que I
x x
x x
dx dx
x x
x
dx
factorizando x x x luego
x x
x
x
A
x
B
x
A x B
si x B
si x A B A
luego I dx x dx
x
dx x Ln x x cte
I x Ln x
x
cte
I
x x x
x
dx
Aqui no tenemos P x porque el grado de numerador grado asi que
x x x
x
x
A
x x
Mx N
x x x
A x x Mx N x
si x A A
si x A N N N
si x A M N M M
asi que I x dx
x x
x
dx
como se ve en la segunda que d x x dx x pero en
el numerador tenemos x que habra que descomponer para que x
x x asi que
I x dx
x x
x
dx
x x
dx
Ejercicio
Ejercicio
raices reales iguales
x A x B A B B
x A x B A B
raices complejas
y otra compleja de x x
tiene una solucion real
n
Respuesta
x
x x
x x x x
n
Respuesta
Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
x x x
x
dx
4 4
3
3 4 4
4 4
3
1
4 4
5 1
4 4 2
4 4
5 1
2 2 2
2
2 9
0 1 2 5
1 2
5
2
9
5 2 9 2 1
1
2
5 2
2
9
2 1
4
2 1
4
2 1
2 1
1 2
2 2 7 7
2
0 4 2 7
2
2 7
13
1 5 3 3 5 7
2
3 7
39
7
2
7
2
2
1
7
1
1
2 13
1 2 1
2 13 2 1
2 13 2 1 12
7
2
2
1
7
1
1
2 1
7
1
1
12
5 1 2 2 1 0 9
5 1 2 5 1 2
1
5 1
4 4
3
1
4 4
4 4
3
2 1
4
Ln x Ln x x
H
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2 2
2
2 1
2
2 2
2
2
2
2
7
2
2
2
7
1
1
2
2
2
2 2
2
2
2
directa
directa
2
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1
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- = - + - = + =
- = - + - =- +
+ +
-
- + -
+ + - +
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-
- - - - - - - - - -
- +
-
- + +
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c
l
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h
h
h
h
h h
h
6
6
@
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1 2 3
4444444
4 4444444
4 1 2 3
444444444 444444444 1 2 3
444444444 444444444
g
d n
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30
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integrales
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
tan
cos
tan
cos
tan
tan
tan
tan
tenemos que hacer que coincida con la formula n de la tabla de
como x x x x x
x
H
x
dx
x
dx arctan
x
por ultimo I Ln x Ln x x arctan
x
cte
tan x dx tan x tan x dx tan x tan x tan x dx
tan x tan x dx tan x dx
tan x d tan x
x
sen x
dx tan x Ln x cte
tan x dx
x
tan x dx tan x
x
dx tan x dx
tan x d tan x
x
sen x
dx tan x Ln x cte
tan x dx tan x tan x dx tan x tan x tan x dx
tan x d tagx tan x dx
tan x dx tan x tan x dx tan x tan x tan x dx
tan x d tan x tan x dx tan x tan x dx
tan x tan x tan x tan x dx
tan x tan x tan x dx tan x tan x tan x dx
tan x tan x d tan x dx tan x tan x tan x x cte
H
Metodo
Metodo
tan x tan x Ln x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta d tan x x tan x dx
x
dx d tan x x
x
n
Respuesta x tan x
n
Respuesta
Calcula x dx
Calcula x dx
Calcula x dx
Recordad
Recordad
Recordad
13
1 4
1
4
1
1 2
1
4
3
4
3
3
2
3
1
1
7
12
4
3
3
2
3
1
1
1
21
48
2
3
3
2
3
1
1
3
2
42
48 3
3
2
3
1
7
2
2 7
1
1 7
8 3
3
2
3
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
5
1
5
1
1
5
1
3
1
5
1
3
1
1 1 1
5
1
3
1
1 1 5
1
3
1
1
2
4
1
2
1
8
1
1
1
1
9
1
10
.
ejer anterior
2 2
2 2
2 2
2
3 2 2
2
2
3
2 2
2
5 2 3 2 3 3
3 3
6 2 4 2 4 4
4 4 5 4
5 2 2 2
5 3 2 5 3 2
5 3 5 3
4 2
2
2
2
2
2
3
5
6
+ + = + + - + = + + = + +
=
+ +
=
+ +
= +
=
-
- + + + + + +
= = + - =
= + -
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= - + = - + + -
= - + - = - + - +
- + +
= = +
= + =
= +
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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c
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4 444444
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cot cot cot
cot cot
cos
cot
cos
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cos
cos
cos
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cos cos cos cos cos
cot cot cot
cos
cot
cos
cos
x dx x x dx x x x dx
x x dx x dx
x d x senx
x
dx x Ln sen x cte
I sen mx nx dx sen m n x dx sen m n x dx
m n
m n x
m n
m n x cte
I sen mx mx dx m sen mx d sen mx m sen mx
sen x dx sen x senx dx asi que
dv sen x dx v x
u sen x du sen x x dx
I u v vdu x sen x x sen x dx
I x sen x x d x x sen x x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta d x x x dx
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta d x senx dx
Calcula x dx
Calcula I sen mx nx dx
Calcula I sen mx mx dx
Calcula I sen x dx
Recordad
Recordad
si m n
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2 3
2
11
1
12
13
14
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3 2 2
2
2
2
3 2
2
2 2
2 2 2 3
2
3
3
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g
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h h
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6
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#
#
#
#
#
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32
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.
. .
. . . . .
. . . . .
. . .
.
. .
. . . .
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. .
. . . . .
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cos
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cos cos
cos cos cos cos cos
cos cos cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos cos
cos cos
cos
cos
I x dx x x dx asi que
dv x dx v sen x
u x du x sen x dx
sen x x x sen x dx sen x x x x dx
sen x x x dx x dx I senx x x dx
x dx x x dx asi que
dv x dx v sen x
u x du x sen x dx
sen x x x sen x dx sen x x x x dx
sen x x x dx x dx sen x x x dx
sen x x
x
dx sen x x dx x dx
sen x x x sen x sen x x x sen x
Sabemos que I sen x x H I sen x x H
y Por ultimo I sen x x sen x x x sen x cte
I sen x x dx x sen x x dx
dv sen x x dx v sen x
u x du sen x dx
I sen x x sen x dx sen x x
sen x
dx
I sen x x
x
sen x
x
sen x
dx
I sen x x Ln x Ln x cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta sena a
sena
a
sena
Calcula I x dx
Calcula I sen x x dx
H
H
H H
Recordad
5
5 5 1
5 5 6 5
3
3 3 1
3 3 4 3
3 2
1 2
2
3
1 2
4 2
3
4
3 2
4
1
8
3
16
3 2
6 5 6
1
5
6
1
4
5
8
15
16
15 2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
1 1
2
1
4
1
1 4
1
1
15
16
1
2
1
1 1
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u dv
sen x
u dv
H
H
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5 4
5 4 2 5 4 2
5 4 6 5 4
4 3
3 2
3 2 2 3 2 2
3 2 4 3 2
3 3
2
1
2
3 3
5 5
5 3
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3 2
2 1 2
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cos cos
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cos
cos
cos
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cos
cos
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cos
cos cos
cos
cos cos cos cos cos
I sen x x dx sen x sen x x dx
dv x sen x dx x d x v x
u sen x du x dx
I sen x x x dx
sen x x sen x x x sen x
I sen x x x sen x
sen x x x sen x x sen x x sen x x
I sen x x sen x x
sen x
x x
I
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I sen x x dx sen x x dx sen x dx
x
dx
dx x dx x sen x cte
I
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dx
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x
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x
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x
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cte
I
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x
sen x
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I Ln x Ln x I Ln x
x
cte Ln x
x
cte
por ultimo I Ln tan
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta sen x sen x x x x sen x
sen a
a
n
Respuesta
sen x x
sen x
x
sen x
Calcula I sen x x dx
Calcula I senx
dx
Recordad
Recordad
Recuerda
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
x x x sen x x x
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
4
1
8
3
16
3 2
4
1
8
1
16
1 2
4
1
16
1 2
8
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8
1 2
16
1 2
8
1
16
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2 8
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16
2
1 2 8
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16
2 2
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16
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1 2
4
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32
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1 2
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1 2
1
1
1
1
1
2
17
2 2 2
2
1 2
18
1
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1 1
1
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1 2 1 2
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x
x sen x x sen x
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dx
aqui f x senx
dx
f x
sen x
d x
senx
dx
senx
dx
f x
f x f x luego el cambio sera de t x
Teorema de Pitagoras
t w w t
sen x t
x t
sen x dx dt
sen x t
t dx dt dx
t
dt
por lo I
t
t
dt
t
dt
t t dt
t dt t dt Ln t Ln t
asi que I Ln t
t
Ln x
x
cte ya que t x
Por ultimo I Ln
x
cte I Ln tan
x
cte
I
sen x
x
dx aqui f x
sen x
x
dx
f x
sen x
x
d x
sen x
x dx
sen x
x dx
f x
f x f x cambio de variable t senx
senx
t
aplicando Teorema de Pitagoras
t w w t
x t
sen x t x dx dt
x t
t dx dt dx
t
dt
I
t
dt
arctan t arctan sen x cte
sen x
x
dx es de la forma
u
u
arctan u
asi que I arctan senx cte
Metodo utilizando la regla de Bioche
Metodo
Metodo
Recuerda tan a
a
a
tan a
a
a
n
Respuesta
Ejercicio
Calcula I
sen x
x
dx
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
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1
1
1
2
1
1 2
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1
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1
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1
1
1
2
1
2 2
1 1
1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
3
1
1 2
1 2
1 2
1 2
19
1
.
aparece en el ejer
Ln t Ln t
u senx
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
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dx
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sen x
dx
f x
sen x
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sen x
dx
f x
luego el cambio de variable tan x t
aplicando Teorema de Pitagoras
w t w t
x
t
sen x
t
t
tan x t
x
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x
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t dx dt dx
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t
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arctan t
I arctan t arctan tan x cte
aqui f x
dx
y no cumple ninguna de los casos
luego el cambio de variable t tan
x
tambien sabemos que
t
t
tan x
t
t
aplicando teorema de pitagoras
w t t w t
tan x
t
t
como x
t
t
asi que dx
t
t
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arctan
t
arctan tan
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta sen x sen x senx
n
Respuesta
tan x
tan x
tan
x
Calcula I
sen x
dx
Calcula I x
dx
Recuerda
I
dx
de Bioche
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1 3
1
1 3 3
1
1 3
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
5 3
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2 1
2
1
2
1 2 1
1
2
1
1
1
2 1
1
1
1
2
1
1
2 1 2 2
1
2 2 4
1
2 1
5 3
5 3
1
1
1
2
1
8 2
1
2
2 4
2
4 1 2
4
1
2
1 2
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
20
2
1
2 2
1 2
5 3
5 3
derivando
directa
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2
2
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2
2
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2 2
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2 2
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cos cos
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cos cos
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I x dx aqui f x x dx f x x d x x dx f x
luego el cambio de variable t senx senx
t
y aplicando teorema de pitagoras
t w w t
t senx dt x dx
I x x dx sen x dt t dt t t senx sen x cte
aqui f x sen x dx f x sen x d x sen x dx f x
luego el cambio de variable t x x t
y aplicando teorema de pitagoras
t w w t
t x dt sen x dx
sen x t
I sen x dx t t
t
dt
t dt t t
I x x cte
x x x x aqui t dt dx y
luego I
t
dt
t
dt
t
dt
Ln
t t
I Ln
x x
cte
Ejercicio
Ejercicio Bioche
Ejercicio
x x
es el ejercicio n aplicaremos la regla de
I sen x dx
n
Respuesta x x d x dx
n
Respuesta sen x sen x d x dx
n
Respuesta
Calcula I x dx
Calcula I sen x dx
Calcula I
x x
dx
Recuerda
Recuerda
1
1 1
1 1 3
1
3
1
1
1 1
1
1 1
1
1 3
1
3
1
2 5 2 5
2 2 2 1 2 1
2
1
2 2 1
2
1
2
1
1
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cos
cos
cos
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cos cos
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cos
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cos
cos
cos cos
cos
cos cos
I
x x
dx
x x x x x
t x dt dx
dt
dx
luego I
t
dt
t
dt
t
dt
I
t
dt
Ln
t t
cte
x x x x x haciendo cambio x t dx dt
I t dt
t t
dt
lo que esta dentro de la raiz nos recuerda la formula trigon tag x
x
asi que hagamos por vez cambio de variable
u
t u t sen u du t dt dt
sen u
u
du
I
t
dt
u
dt tan u sen u
u
du
sen u u du sen u u sen u du
dv u d u v u
w sen u dw u du
I sen u u
u du
I senu u Ln senu
senu
ahora con la ayuda del triangulo vamos remplazando
w t w t
sen u t
t
u t u t
I t
t t
Ln
t
t
t
t
luego la t x
I
x x
x Ln
x x
x x
cte
Ejercicio
Ejercicio
a
b
a
b
n
Respuesta a x b x c a x b x c
n
Respuesta x sen x
x
sen x
x
Calcula I
x x
dx
Calcula I x x dx
Recordad
Recordad
3 4
3 4 3 12
1
12
1
4 3
2 3
1
2 3
7
3
2 3
1
3
3
2 3
7
3
2 3
7
7
2 3
1
3
7
2
7
2 3
1
7
2
2 3
7
7
2 3
1
7
2 3
3
3
7
2 3
7
2 3
1
4 5 4 4
16
4
16
5 2 3 2
3 3 3 1 3 3 1
1
1
1
3
3
3 3
9
3 3 1 3
1
1 3 3
9
9 9
2
1 2
1
2
1 1
2
1
4
1
1
1
3 3
3
3
3
2
1 3
3 4
1
1
3
1
3
2
2
1
3
4 5
2 4
1
1 4 5
1 4 5
4 4
25
2
1
2
1
1 1
3 4
4 5
t
t
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3 3
3 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
1
2 2 2
2 2
2 2
2
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2
2 2
2 2
2
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+ + = + + - +
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38
39. :
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8
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:
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integrandolo
I
x x
x x
dx
asi que Q x es de grado Q x ax b
aqui P x x x es de grado
luego
x x
x x
ax b x x
x x
m
a x x ax b
x x
x
x x
m
x x
a x x
x x
ax b x
x x
m
x x
ax x a b a b m
asi que a a a b b a b m m
ahora si
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
dx x x x
x x
dx
x x x Ln
x x
I
x x x
dx
cambio de variable x t x t
t
dx
t
dt
I
t t
t dt
P t es de grado Q t at b
t t
t
at b t t
t t
m
t t
a t t
t t
at b t
t t
m
t t
t
t t
a t t at b t m
una vez despejado los valores de a b y m y sustituidos en la formula
ax bx c
P x
Q x ax bx c
ax bx c
m
y quedara asi
ax bx c
P x
Q x ax bx c
ax bx c
m
dx
asi que seguir los mismos pasos que el ejercicio anterior
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
ax bx c
P x
Q x ax bx c
ax bx c
m
n
Respuesta
Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
x x x
dx
Recuerda
2 5 1
2
2 5
2 5
2 5
2 5
2 2 5
2 1
2 5
2 5
2 5
2 5
1
2 5 2 5
2 3 5
2 1 2
1
3 1 2
1
5 0 2
2 5 2
1
2
1
2 5
2 5
2
2 5 2
1
2
1
2 5 2
2 5
2
1
2
1
2 5 2 2
1
2
1
1
2 1 3 4
2 1
1
2
1
2
1
11 8 3
2
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 4
11 8 3
11 8 3 11 8 3
11 8 3 11 4
27
2
2 5
2 1 3 4
.
ejerc n
2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
24
2
2
2
2
2
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-
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- - +
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= + - - + +
- - +
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+
- - +
+ - -
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- - +
- - +
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- - + + + - - +
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+ +
+ +
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+ +
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= + + +
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- - - - - - - - - -
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integral
lim lim lim
intervalo
lim lim lim lim
lim lim
I e dx cambio variable t x dt dx
I e dt e e cte
I
x x
dx
cambio variable x t porque m c m
x t dx t dt dx t dt t x
I
t t
t dt
t t
t dt
t
t
dt una vez hecha la division de los polinomios queda asi
I t dt t dt t t Ln t cte
x x Ln x cte
I
x
dx
la funcion f x
x asi que es una impropia
en el la funcion no esta definida en
luego
I
x
dx
x a I converge
I
x
dx
aqui f x
x
D
f no es continua en x
como estamos en el
asi que I
x
dx
x
dx
x x
a a I es divergente
auque llegara a ser uno nada mas I seria divergente
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I e dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
dx
2 1 2
2
1
2
1
2
1
1 2 1 2
1 2 3 2 6
1 2 2 6 3 1 2
3
1
3
3 1
3 1 3 1
1
2
3
3 3 1
2
3
1 2 3 1 2 3 1 2 1
1 0 1 0
2 2 2 2
1
1
1
1
1
0 4
1 1 1
1
1
1
1
1
1 3
1
1
1
29
30
3
3
1 2 1 2
1
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x
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a a a
a
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a
a a a
a
a a
a a
x
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2 1
3
2
2
1
6
6 5 5 6
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5
3
5 2
2
3 6 6
0
1
0
1
0
1
0
2
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4
2
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2
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integral
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cos cos
cos cos
I x dx paso es descomponer el valor absoluto
x
x si x
x si x
funcion a trozos y
I x dx x dx x x x x
I x x dx aqui f x x x
I no es impropia
f es continua en f continua en
para resolver la hagamos cambio de variable
u x du x dx
du
x dx
si x u
si x u
I u du
u
I r x dx cambio de variable
x r sen t dx r t dt
si x r sen t t
si x sen t t
asi que I r r sen t r t dt r sen t t dt
r t dt
r t dt
I
r
t
sen t r r
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I x dx
Calcula I x x dx
Calcula I r x dx
2 1 1
2 1
2 1 2
1
2 1 2
1
2
1
0 2
2 1 2 1
1 1
0 1
1 2 2
1 2
0 1
2
1
2
1
4 8
15
1 2
0 0 0
1
2 1 2
2 2
2
2 2 0 4
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34
35
2 1
1
R
r
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0
2
1
2
1
2 2
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0
1 2 3
2
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2 4
1
2
2 2
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2 2 2
0
2 2 2
0
2
2 2
0
2 2
0
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2
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0
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r r
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cos
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cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos cos
cos
cos
cos
I
a x
dx
a x
dx
a x a x
dx
a x a
a
x
dx
a
x
nos hace pensar en en la formula trigonometrica
asi que hacemos cambio de variable sen t
a
x
x asen t dx a t dt
I
a a sen t a sen t
a t dt
a t t a
a t dt
a t
dt
a tan t
y como tan t
a x
x
entonces I a a x
x
cte
I
a x
dx
a x
dx
a x a x
dx
a x a
a
x
dx
a
x
nos hace pensar en en la formula trigonometrica tan x
x
asi que hacemos cambio de variable tan t
a
x
x atan t dx a
t
dt
I
a a tan t a tan t
a
t
dt
a
t t a
a
t
dt
a t
dt
a t dt a sen t y como sent
a x
x
luego I
a a x
x
cte
a x
a x
dx
a x a x
a x a x
dx a x
a x
dx a x
a a
x
dx I
a
x
nos hace pensar en en la formula trigonometrica
asi que hacemos cambio de variable sen t a
x
x a sen t dx a t dt
t arcsen a
x
I
a a sen t
a sen t
a t dt
a sen t
a t a t dt
a sen t
a t dt
a sen t
a sen t
dt a sen t dt a sen t dt a dt a sen t dt
at a t cte a arcsen a
x
a x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
sen x x
n
Respuesta
n
Respuesta
sen x x
Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
a x
dx
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1 1 1
36
1
3
3
1
2 2
3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
3 2 3 2 2 2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
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2 2 2 2
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4
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ln ln
ln
denominador
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos cos
ln ln
ln ln
denominador
cos
cos cos
ln ln
dx dx Cambio variable t x dt dx dx
dt
I
dt
dt Usando a f x dx a a
por ultimo I cte
Sea I
f x
f x
dx
en el tenemos f x nos hace pensar en sen x
asi que hacemos cambio de variable sen t f x t dt f x dx
I
sen t
t dt
t
t dt
t
dt
sent
t
sent
t
dt
I sent
t
dt sent
t
dt sent sent
sent
sent
f x
f x
cte
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx
asi que tan t a
f x
t arctan a
f x
tan t dt a
f x
dx
haciendo los cambios queda
I
a
a
f x
a a
f x
dx
a
a
tan t
tan t dt
a dt a t a arctan a
f x
cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
dx
nos hace recordar tan
n
Respuesta a dx se le hace cambio de variable t f x
n
Respuesta t sent
t
sent
t
n
Respuesta
Calcula I
Demostracion de la formula
f x
f x
dx
f x
f x
f x
f x
Demostracion de la formula I
a f x
f x
dx siendo a
Recordad
Recordad
7
4
4 7 3 5 3 3
4 7 3 3
4
7 3
4
7 7
1 1
3 7
4
7
1
1 1
1 2
1
1 1
2
1
1 2
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
7
4
16
13
1
39
0
1
2
1
1 1
1
1 2
1
1
1
1
1
0
x
x
t t t f x f x
x
x
f x
3 5
3 5
3 5
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
3 5
2
2
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-
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- +
-
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denominador
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos cos
x
dx
x
dx
arctan x cte
x
xdx
x
x dx
arctan x cte
x
x dx
x
x dx
arctan
x
cte
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx nos hace recordar
asi que sen t a
f x
t arcsen a
f x
t dt a
f x
dx
haciendo los cambios queda
I
a
a
f x
a a
f x
dx
a
a
sen t
t dt
a t
t dt
a t
dt
luego I a sent
t
dt a sent
t
dt a Ln sent a Ln sent
I a Ln sent
sent
a Ln
a
f x
a
f x
a Ln
a f x
a f x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
sen
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x dx
Demostracion de la formula I
a f x
f x
dx siendo f x a
Sabemos t t
t
sen t
t
sent sent
t
sent
t
sent
t
1 1
1
2
1
2
5
2
5
2
5
1
5
1
1
1
1
1 1 1
2
1
1 2
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
16
1
42
4
4
4
1
1
2
5
2
1
1 1 1 2
1
1 1
2 2
4 2 2
2
4 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
2
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2 2
2 2
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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l
l
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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
denominador
cos
cos
cos
cos
x
dx
x
dx
Ln x
x
cte siendo x
x
x dx
x
x dx
Ln
x
x
cte siendo x
I
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx
hace recordar sen
el nos
asi que sen t a
f x
t arcsen a
f x
t dt a
f x
dx
haciendo los cambios queda
I a
a
f x
a a
f x
dx
sen t
t dt
t
t dt
dt t cte
I arcsen a
f x
cte
x
dx
arcsen x cte Usando
a f x
f x
dx arcsen a
f x
cte
x
x dx
x
x dx
arcsen x cte
x
dx
x
dx
arcsen
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Demostracion de la formula I
a f x
f x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
dx
1 1
1
2
1
1
1
1
3
2
3
2
2 3
1
3
3
3
1
1
1
1
1
1
1
9
2
3
2
3
9 2 1 2
1
3 2 1
2
2
1
3
2 1
12
46
47
48
4
0
5
1
3
2
1
9
2
9 2 1
aparezca
hagamos que el
d x
2 2
4 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2 2
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2
2
2 1 2
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-
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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l l
l
l
l
c
c
c
c
c
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l
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h
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h
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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
integrales
alguna integral
cos
cos
cos
cos
cos
cos
En las antes de ponernos a resolver os recomiendo seguir estos pasos
fijarnos bien si se puede simplificar y se se puede asociar a inmediata
y tener bien memorizadas las formulas trigonometricas
I
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx nos hace recordar tan
tan t a
f x
t
dt a
f x
dx
t arctan a
f x
sen t
a f x
f x
I a
a
f x
a a
f x
dx
t
t
dt
t
t
dt
t dt
asi que I Ln
sen t
sen t
Ln
a f x
f x
a f x
f x
Ln
f x a f x
f x a f x
x
dx
Ln
x x
x x
cte
x
x dx
x
x dx
Ln
x x
x x
cte
I
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
x arctan x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
ejerc
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Demostracion de la formula I
a f x
f x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x
dx
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1 2
1
1
1
5
2
5
2
2
1
5
5
1
1 2
1
1
2
1
1 2
1
2
45
52
5
5
5
17
1
5
2
1
1
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
4 2 2 2 2 4
2 4
2
2
2
2
2 2
2 2
2
4
2
2
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- - - - - - - - - -
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- - - - - - - - - -
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l
l
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c
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h
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h
h
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distintas logaritmica y algebraica
integral
aparezca
aparezca
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx arctan x cte
I
x
Ln x
dx aqui tenemos dos funciones una
asi que la la resolveremos por partes fijandonos en la palabra
asi que
u Ln x du x dx
dv
x
dx v x
I u v v du
I x Ln x x x dx x
Ln x
x
dx x
Ln x
x cte
I x
Ln Lnx
dx haciendo cambio de variable t Lnx dt x dx
luego I queda de la seguiente manera I x
Ln Lnx
dx Ln Lnx x dx Lnt dt
asi que u Lnt du t dt
dv dt v t
I t Lnt t t dt t Lnt t cte
I Lnx Ln Lnx Lnx cte
x Lnx
dx
Lnx
x dx haciendo cambio variable t Lnx dt x dx
luego I t
dt
Lnt Ln Lnx cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
x
x
dx
I L A T E
U es la primera funcion que en la palabra ILATE seguiendo el orden
dV es la segunda funcion que en la palabra ILATE seguiendo el orden
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
Calcula I
x
Ln x
dx
Calcula I x
Ln Lnx
dx
Calcula I x Lnx
dx
1 1 3
1
1
3
3
1
1
1 1
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
56
57
5
5
logaritmica
algebraica exponencial
funcion inversa
funcion
funcion
funcion trigonometrica
funcion
6
2
3 2
2
3 2
2
3
2
2
2
6
2
2
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c
c
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1
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cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos
cos
cos
cos cos
integrar
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
I
x
x
dx haciendo cambio variable t x
t x
tdt dx
I t
t tdt
t dt t t x x cte
sea
e bx i sen bx dx e e dx
e dx e a ib e e a ib
e bx isen bx dx e bx isen bx dx
e e dx e dx e a ib
I e e a ib e e a ib e e a ib e a ib
e a ib
bx isen bx
a ib
bx isen bx
I e
a b
a bx ib bx ai senbx b senbx a bx ib bx ai senbx b senbx
I e
a b
a bx b sen bx
I
a b
e
a bx b sen bx
para hallar e sen bx dx basta con hacer mismos calculos y luego restar
y el resultado de
I dx tenemos funciones lo resolvemos por partes ILA
v e a
du b sen bx dx
I bx e a a e b sen bx dx bx e a a
b
e sen bx dx
volviendo a por partes
dv e v e a
u sen bx du b bx dx
I a e bx a
b
a e sen bx a
b
e bx dx
I a e bx
a
b
e sen bx
a
b
e bx dx
I
a
b
I a e bx
a
b
e sen bx
a
a b
I a e bx
a
b
e sen bx
I
a b
e
a bx b sen bx
Ejercicio
Ejercicio
Metodo J e sen bx dx
e sen bx dx
a b
e
b bx a sen bx
Metodo
n
Respuesta
n n
Respuesta e bx i sen bx e bx isen bx
I i J
I iJ
e E
dv e
bx T
u bx
Calcula I
x
x
dx
Calcula I e bx dx
Recordad
1
1
1
1
2
1 1 2
2 2 3
2
4 3
2
1 4 1
1 1
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2
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x
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I arctan x
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Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x
x
dx
Calcula I
x
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dx
1
2 1
1
2 1 2 1
2 3
2
2 3
2
1 1
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63
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1
1
2 2
2
2 2
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo J sen x x dx
n
Respuesta
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n
Respuesta
n
Respuesta x
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Calcula I
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Calcula I
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Recordad
2
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1 2
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2
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1
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1
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1
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66
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1 2
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1
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cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
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dx
Calcula I
a x
dx
ver imagen
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1 1
1
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1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
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1
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1
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1
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es parecido a sen
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Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo J b wt asen wt dt
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
n
Respuesta a
a
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n
Respuesta
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Calcula I a wt bsen wt dt w
Calcula I
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Recordad
Recordad
Recordad
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2
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Metodo
J x
sen x
dx
sen x x
sen x
dx
Metodo
I
sen x x
dx
sen x senx x x
Recordad
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 2 2
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f x
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aplicando la formula x sen x
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sen t
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haciendo cambio de variable x t
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t
t
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x
dx
haciendo cambio de variable x t
t x
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I t
t dt
t dt dt t dt t Ln t
x Ln x cte los resultados y son el mismo haciendo cte cte
I
x
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x
dx tan x d tan x tan x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
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Metodo
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Respuesta
n
Respuesta
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Respuesta
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f x
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Calcula I
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I Ln sen x Ln sen x x Cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
n
Respuesta
n
Respuesta sen x x sen x x sen x
n
Respuesta x x sen x sen x x sen x
Calcula I
x sen x
x
dx
Calcula I senx x
senx x
dx
Calcula I
sen x x
x
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Recuerda
Recuerda
1
2
1 1
2
2
1
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2 2
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sen t
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haciendo cambio de variable
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arctan t arctan dt d
A d d
d d
y como sabemos que
a f x
f x
dx a arctan a
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cte
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arctan arctan
arctan
t
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luego I x arctan
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Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
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sen x x
dx
Calcula I
a b
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:
:
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denominador
I x a dx por partes dv dx v x
u x a du
x a
x
dx
I x x a
x a
x
dx x x a
x a
x a a
dx
x x a
x a
x a
dx a
x a
dx
I x x a x a dx a
a a
x
dx
x x a x a dx a
a
x
a dx
x x a I a Ln a
x
a
x
I
x x a a
Ln a
x
a
x
cte
I tan x dx sea t tan x
t tan x
t dt tan x dx
I t
t
t
dt
t
t
dt complejas asi que resolvamoslo
como se ve el tiene soluciones
t t t t t t t t t
I
t
t
dt
t t
At B
dt
t t
A t B
dt
I
t
At B t t A t B t t
dt
si t B B B B
si t i B iA i iA B i A A i B B
A A A A
B B y B B B B
si t A A A A A
A A A A
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
x a dx
a
Calcula I
Calcula I tan x dx
1
1
1
1 2 2 1
2 1
1
2
1
2
1 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2
2 1 2 1
1
2 1 2 1
0 0
2 2 2 2 2
2 2
0
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 4 2 2 2 4 2 2 0 2
2
2
2
80
81
A
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
4 4
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
4
2
2 2
4
2 2
2 0
2 2
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c
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g
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j
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j
h
j
h
h
g
h
h
h
h h
h
g
gh
h
j
g
)
*
(
6 7 8
444
4 444
4
6 7 8
4444 4444
6 7 8
4444 4444
c m
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# #
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#
57
58. . .
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cos cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
I
t
t
dt
t t
t
dt
t t
t
dt
t t
t dt
t t
t dt
t t
t dt
t t
t dt
I
t t
t dt
t t
t dt
t t
dt
t t
dt
I Ln t t Ln t t
t t
dt
t t
dt
Ahora descompongamos
t t t t t
t t t t t
I Ln t t Ln t t
t
dt
t
dt
Aplicando la formula
I Ln t t Ln t t arctan t
arctan t cte
I Ln tan x tan x Ln tan x tan x
arctan tan x arctan tan x cte
I Ln
tan x tan x
tan x tan x
arctan tan x
arctan tan x cte
sea
I J
sen x x
sen x
dx
sen x x
x
dx
sen x x
sen x x
dx dx x
I J
sen x x
sen x
dx
sen x x
x
dx
sen x x
sen x x
dx
sen x x
sen x x
dx Ln sen x x
I x Ln sen x x I x Ln sen x x
a
J
sen x x
x
dx
a f x
f x
dx a arctan a
f x
n
Respuesta
I
sen x x
sen x
dx
Ejercicio
Calcula I
sen x x
sen x
dx
1
2
2 1
2
2
2 1
2
2
4
2
2 1
2
4
2
2 1
2
4
2
2 1
2 2 2
4
2
2 1
2 2 2
4
2
2 1
2 2
4
2
2 1
2 2
4
2
2 1
2
4
2
2 1
2
4
2
2 1 4
2
2 1 2
1
2 1 2
1
2 1
2 1 2 2
1
2
1
1
2
1
2
1
2 1 2 2
1
2
1
1
2
1
2
1
4
2
2 1 4
2
2 1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
2
2 1 4
2
2 1 2
2
2 1
2
2
2 1
4
2
2 1 4
2
2 1
2
2
2 1 2
2
2 1
4
2
2 1
2 1
2
2
2 1
2
2
2 1
2 2
1
1
2
1 2
1
82
4
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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58
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cos cos cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
I x
dx
x
dx
x
dx
d tan
x
tan
x
cte
no se cumple ninguna de las reglas de bioche cambio sera de t tan
x
t tan
x
x
t
t
arctan t x
arctan t x
t
dt
dx
I x
dx
t
t
t
dt
t
dt
t
dt
dt t tan
x
cte
I
x
x x sen x
dx
f x sen x f x x
g x x g x
I
x
x x sen x
dx I x
sen x
cte
Es de la forma
I
x
Ln x
dx f x Ln x f x x
g x x g x
I
x
x x Ln x
dx
I
x
Ln x
dx x
Ln x
cte
I
sen x
x
dx
sen x
d sen x
nos recuerda a
x
dx
arctan x
I arctan sen x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta x
x
n
Respuesta
g x
f x
g x
f x g x f x g x
g x
f x
n
Respuesta
g x
f x
g x
f x g x f x g x
g x
f x
n
Respuesta
Calcula I x
dx
Calcula I
x
x x sen x
dx
Calcula I
x
Ln x
dx
Calcula I
sen x
x
dx
Metodo
Metodo
Recordad
1 2 2 2
2
1
2 2
3 2
2
1
1
2 2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1 1
1
1
1
1
1 1 1
83
2
1 2
84
85
86
1
1
1
1
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2 2
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2
2
2
2
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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c
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n
h
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6
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3
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59
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2
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7
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integral
I tan x dx cambio variable t tan x x arctan t dx
t
t dt
t
t dt
I t
t
t dt
t
t dt
t
t dt
t t t t t
ahora descompogamos la fraccion
t
t
t t t
t
Aplicando igualdad de polinomios resulta
y b
y a
a luego
b luego
asi que
t t t
t
t t t t
t
t t
t t
I
t
t
t t
t t
dt
t
t
dt
t t
t t
dt
I
t
t
dt
t t
t t
dt en la d t t t t
I Ln t
t t
t t
dt
t t
t
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I Ln t Ln t t
t t
t
dt t t t
I Ln t Ln t t
t
t
dt
I Ln t Ln t t
t
t
dt
I Ln t Ln t t arctan
t
cte
I Ln t Ln t t arctan
t
cte
I Ln tan x Ln tan x tan x arctan
tagx
n
Respuesta
t t t
t
t
t
t t
t t t
t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t
t t t t
Ejercicio
A B C D E F
A B C D E F
A A A B B B C C D D E E F F
A C B D A C E B D F A E B F
B F B F
A E A E
B D F F D
A C E E A
B D B D
A C A C
B F D D
A C E A
A A A A C E
D D D B F
A B C D E F
Calcula I tan x dx
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1 1 1 1
1
3
1 1
3
0 6
0 5
0 2 4
3 3 2 3
0 2
0 1
2 4 6 2
1 5 3 3 2
3 2 3 3
2
1 1
3
1 1 1 1
1 1 1 1
2
1
1
2
4
1
1
4 4
1 4 2
2
1
1 4
1
1
4 2
4
1
1
6
2
1
1 4
1
1 4
1
1
6
1 2
1
2
3
2
1
1 4
1
1 2
3
2
1
2
3
2
1
1 4
1
1 2
3
2
1
2
1
2
3
2
2
1
1 4
1
1 4
3
3
2
2
3
2
1
2
1
1 4
1
1 2
3
3
2 1
2
1
1 4
1
1 2
3
3
2 1
8
1 1
3
1 1
3 1 1
3
3
1 1
0 0
3 3 3
3 2
2
6
2
6
2
6
3
6
3
6 3 2 3 2 2 2 4
6
3
2 2 4
3
2 2 4
3
2 2 4 2 2 4
3
2 2 4
3
2 2 4
3
2 2 4
3
2 4 3
2
2 4
3
2 4
2 2 4
2 4
2 4 2
2 2
2 2 4
2
2 2
2 2 4
2
2 2
2 2 4
2
2 2 4
2
3 2 3 2 3 4 3 2
2 2 4
3
2 2 4
3 2
3 2 4 2 3 2
3 3 5 2 4 3 5 2 4 3 2
3 5 4 3 2
3 2
3
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b
b
b
b
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60