El documento explica los logaritmos, que son la operación inversa a la exponenciación. Los logaritmos de un número representan el exponente al que hay que elevar una base determinada para obtener ese número. Los logaritmos cumplen propiedades como que el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos de los factores. También se describen las propiedades analíticas de los logaritmos como funciones y su historia.

1. En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente
al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de
1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la
multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la
exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la
abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos
hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base,
se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un
medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron rápidamente adoptados por
científicos, ingenieros, y otros para realizar operaciones más fácilmente, usando reglas de
cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante —
por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los
factores:
La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la
función exponencial en el siglo XVIII.
Contenido
• 1 Definición
• 2 Propiedades generales
• 3 Identidades logarítmicas
o 3.1 Elección y cambio de base
• 4 Propiedades analíticas
o 4.1 Función logarítmica
o 4.2 Función inversa
o 4.3 Derivada e integral indefinida
o 4.4 Representación integral del logaritmo natural
o 4.5 Transcendencia del logaritmo
• 5 Cálculo
o 5.1 Serie de potencias
o 5.2 Aproximación mediante media aritmético-geométrica
• 6 Extensiones
o 6.1 Números reales
o 6.2 Números complejos
o 6.3 Logaritmo en base imaginaria
o 6.4 Matrices
o 6.5 Logaritmo discreto

2. • 7 Historia
• 8 Véase también
• 9 Notas
• 10 Referencias
o 10.1 Bibliografía
• 11 Enlaces externos
Definición
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o
potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es
la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que
permite obtener n.1
(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por
resultado a x)
y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene
que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10
100 = 2.
Propiedades generales
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades
comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que
b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor
negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es
cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función
logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede
demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece
al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) =
logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que
cualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0;
en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea
menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de

3. definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números
negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los
exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son
1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4,
23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.
Identidades logarítmicas
Artículo principal: Identidades logarítmicas.
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar
cálculos:
• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo
del denominador.
• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo
de la base de la potencia.
• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el
logaritmo del radicando.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Elección y cambio de base
Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base
10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo

4. indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es
crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al
logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto
b como k son diferentes de 1):
en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones
en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el
logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las
matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en
magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de
la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el
logaritmo en base 2 la mayoría de veces.
Propiedades analíticas
Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo es
la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base
(o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como
Función logarítmica
Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación
tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es
positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor
intermedio del cálculo elemental.2 Este teorema establece que una función continua que
produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n.
Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin
levantar el lápiz del papel.
Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f
toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier

5. número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el
teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún,
hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente
creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).3
La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a cada
y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).
Función inversa
Gráfico de la función logarítmica logb(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico de
la función bx (roja) sobre la línea diagonal (x = y).
La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número
x,
En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a
obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula
dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y.
Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve
a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) =
bx.4
Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus
gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e
y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha:

6. un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráfico
del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, logb(x) diverge a infinito (se hace más
grande que cualquier número dado) si x tiende a infinito, siempre que b sea mayor que 1.
En ese caso, logb(x) es un función creciente. Para b < 1, logb(x) tiende a menos infinito en
lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito para b > 1
(a más infinito cuando b < 1, respectivamente).
Derivada e integral indefinida
El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1.5 (negro)
Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.2 Así, como f(x) = bx es una
función continua y diferenciable, también lo será logb(y). Toscamente hablando, una
función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún,
como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)bx por las propiedades de la función exponencial,
la regla de la cadena implica que la derivada de logb(x) es dada por3 5
Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el punto
(x, logb(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica
que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento funcional
generalizado f(x) es
El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'(x)
por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica.6 La integral
indefinida del logaritmo natural ln(x) es:7

7. Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases
pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.8
Representación integral del logaritmo natural
El logaritmo natural de t es el área sombreada bajo el gráfico de la función f(x) = 1/x
(inversa de x).
Artículo principal: Logaritmo natural.
El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:
En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x, recorrido
desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental
del cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de
esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas del
producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.9 Por ejemplo, la
fórmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:
La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un
cambio de variable (w = x/t). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a
dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda
verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente
no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la
función f(x) = 1/x de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la
integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica la
igualdad (2) con otra demostración geométrica más.

8. Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.
La fórmula de la potencia ln(tr) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:
La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por sustitución), w := x1/r.
La suma sobre los inversos de los números naturales,
es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n
tiende a infinito, la diferencia,
converge (i.e., se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante de
Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como
quicksort.10
Transcendencia del logaritmo
El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, el
teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles» .
La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos los
números racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 o
Números complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes;11 por ejemplo, π y
e son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usando
estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicos
a y b, logb(a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo caso aq =
bp, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).12
Cálculo

9. Los logaritmos son fáciles del calcular en algunos casos, tales como log10(1,000) = 3. En
general, los logaritmos pueden ser calculados usando series de potencias o la media
aritmético-geométrica, o ser obtenidos de una tabla de logaritmos precalculada que
proporciona una precisión fijada.13 14 El método de Newton, un método iterativo para
resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado también para calcular el logaritmo,
porque su función inversa, la función exponencial, puede ser calculada eficientemente.15
Usando tablas de referencias, métodos como CORDIC pueden ser usados para calcular
logaritmos si la únicas operaciones disponibles son la adición y el desplazamiento de bits.16
17
Más aún, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en la
repetición cuadrática de x, aprovechando la relación
Serie de potencias
Serie de Taylor
Serie de Taylor de ln(z) at z = 1. La animación muestra las primeras 10 aproximaciones
junto con las aproximaciones 99 y 100.
Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente fórmula se cumple:nb 1 18
Esta es una manera rápida de decir que ln(z) puede ser aproximado a un valor más y más
preciso mediante las siguientes expresiones:
Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011
mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie aproxima ln(z) con precisión arbitraria, siempre
que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln(z) es
por tanto, el límite de la serie. Esta es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1. La

10. serie de Taylor de ln z proporciona una particular aproximación útil de ln(1+z) cuando z es
pequeño, |z| << 1, puesto que
Por ejemplo, con z = 0.1 el primer orden de aproximación da ln(1.1) ≈ 0.1, que es menor
del 5% del valor correcto 0.0953.
Series más eficientes
Otra serie está basada en la función argumento de tangente hiperbólica:
para cualquier número real z > 0.nb 2 18 Usando la notación sumatorio esta también puede
ser escrita como
Esta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que la serie
de Taylor, especialmente si z es cercano a 1. Por ejemplo, para z = 1.5, los tres primeros
términos de la segunda serie aproximan ln(1.5) con un error del entorno de 3×10−6. La
rápida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de la siguiente
manera.: da una aproximación de baja exactitud y ≈ ln(z) y calculando
el logaritmo de z es:
Cuando mejor es la aproximación inicial y, más cerca está A de 1, así que su logaritmo
puede ser calculado eficientemente. A puede ser calculado usando la serie exponencial, que
converge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande. Calculando el logaritmo de
un z mayor, puede ser reducido a valores más pequeños que z mediante la escritura z = a ·
10b, así que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

11. Un método íntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo de
enteros. De la serie anterior, se deduce que:
Si el logaritmo de un entero grande n es conocido, entonces esta serie obtiene una veloz
serie convergente para log(n+1).
Aproximación mediante media aritmético-geométrica
La media aritmético-geométrica da aproximaciones con gran precisión del logaritmo
natural. ln(x) es aproximado con una precisión de 2−p (o p bits precisos) mediante la
siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):19 20
Aquí M denota la media aritmético-geométrica. Se puede obtener mediante el cálculo
repetido de la media (media aritmética) y de la raíz cuadrada del producto de dos números
(media geométrica). Más aún, m es escogido tal que
Ambas, media aritmético-geométrica y las constantes π y ln(2) pueden ser calculadas
mediante series convergentes muy rápidas.
Extensiones
Es posible extender el concepto de logaritmo más allá de los reales positivos.
Números reales
Para enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como el
cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primo que el otro no tiene.
El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin
embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse
introduciendo números complejos.
Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de
logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más
frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.

12. Números complejos
Artículo principal: Logaritmo complejo.
Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).
El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea
solución de la ecuación:
(*)
La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de
soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito
en forma polar, una solución posible de la ecuación (*) es b0:
Puede comprobarse que ésta no es la única solución, sino que para cualquier valor
resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:
De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.
Logaritmo en base imaginaria
Artículo principal: Logaritmo en base imaginaria.
Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad
imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

13. Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula
anterior sólo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:
admite no sólo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:
también es solución.
Matrices
Artículo principal: Logaritmo de una matriz.
Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:
A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no
estar definido siempre.
En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos
y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la
matriz está definido y es una matriz real.
Si el logaritmo no está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores, aún así es
posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de
números negativos o complejos), aunque no resulta única.
En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que
requiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.
Logaritmo discreto
Artículo principal: Logaritmo discreto.
Los logaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los logaritmos ordinarios.
En particular, un logaritmo ordinario loga(b) es una solución de la ecuación ax = b sobre
números reales o números complejos. De manera similar, si g y h son elementos de un
grupo cíclico finito G, entonces una solución x de la ecuación gx = h es llamada logaritmo
discreto en la base g de h en el grupo G.

14. Si (G,·) es un grupo cíclico finito de orden n, donde · es el operador multiplicación, si se
escoge un generador g de G, entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h = gk
para algún entero k, de manera que la función
asigna a cada h la clase de equivalencia modulo n de k, esto es, todos los k que cumplan que
h ≡ gk mod n.
Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el método de intercambio
de claves de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.