Este documento presenta información sobre funciones exponenciales, logísticas y logarítmicas. Explica que las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = a*bx y pueden ser funciones de crecimiento o decrecimiento dependiendo de si b es mayor o menor que 1. También introduce las funciones logísticas, que modelan crecimiento limitado, y las funciones logarítmicas, que son las inversas de las funciones exponenciales. Además, explica propiedades clave como el cambio de base y cómo resolver ecuaciones que

1. Nombre: Caraguay Cumbicus Xavier Vinicio
Fecha: 03/12/2013
Capítulo 3
Funciones exponencial, logística y logarítmica
La intensidad de los sonidos que oímos está basada en la intensidad de la onda sonora asociada. Esta
intensidad del sonido es la energía por unidad de tiempo de la onda sobre área dada, medida de watts por
metro cuadrado (W/m2).
3.1 Funciones exponencial y logística.
Cada una de las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x incluye una base elevada a un
exponente pero los papeles están al revés:
Para ( )
, la base es la variable x y el exponente es la constante 2; f es
una conocida función monomial y potencia.
Para ( )
, la base es la constante 2 y el exponente es la variable x; g es
una función exponencial.
Definición: Sean a y b números reales constantes. Una función exponencial
en x es una función que puede escribirse en la forma:
( )
Donde (a) es diferente de cero, (b) es positiva y es diferente de uno. La
constante (a) es el valor inicial de f (el valor en x = 0) y b es la base.
Las funciones exponenciales están definidas y son continuas para todos los
números reales. Es importante reconocer si una función es una función
exponencial.

2. Gráfica de la función g(x) =
Crecimiento y decaimiento exponencial
Para cualquier función ( )
y cualquier número real,
(
)
( )
Si (a) > 0 y (b) > 1, la función f es creciente y es una función de crecimiento
exponencial. La base (b) es su factor de crecimiento.
Si (a) > 0 y (b) < 1, f es decreciente y es una función de decaimiento
exponencial. La base (b) es su factor de decaimiento.
Funciones exponenciales f(x) = bx

3. La base natural e
La función f(x) = ex es una de las funciones básicas presentadas en la sección
1.3 y es una función decrecimiento exponencial.
La función exponencial.
Puesto que f(x) es creciente, es una función de crecimiento exponencial, por
lo que e > 1.
La letra e es la inicial del apellido de Leonhard Euler, quien introdujo la
notación y dadas sus propiedades f(x) = ex se considera la función exponencial
natural.
Teorema Funciones exponenciales y la base e
Cualquier función exponencial f(x) = a* bx puede reescribirse como
f(x) = a* ekx,
Para una elección apropiada de la constante real k.
Si a > 0 y k > 0, f(x) = a* ekx es una función de crecimiento exponencial.
Si a > 0 y k < 0, f(x) = a* ekx es una función de decaimiento exponencial.
Funciones logísticas y sus gráficas
El crecimiento exponencial es sin restricciones. Una función de crecimiento
exponencial aumenta a una razón siempre creciente y no está acotada por
arriba. Sin embargo, en muchas situaciones de crecimiento, existe un límite
para el crecimiento posible.
En tales situaciones, el crecimiento con frecuencia inicia de una manera
exponencial, pero eventualmente desciende y la gráfica se estabiliza. La
función de crecimiento asociada está acotada, tanto por arriba como por
abajo, por asíntotas horizontales.

4. DEFINICIÓN: Sean a, b, c y k constantes positivas, con (b) < 1. Una función
decrecimiento logístico en x es una función que puede escribirse en la forma:
( )
( )
Donde la constante (c) es el límite de crecimiento. Y si hacemos a = c = k = 1,
obtenemos una función logística:
( )
En la figura 3.8 se expresa el concepto de función logística:
Modelación exponencial y logística
Tasa de porcentaje constante y funciones exponenciales.
Suponga que una población está cambiando a una tasa de porcentaje
constante r, donde r es la tasa porcentual de cambio expresada en forma

5. decimal. Entonces la población sigue el patrón que se muestra.
Modelo exponencial de población
Si una población P está cambiando a una tasa de porcentaje constante r
cada año, entonces
( )
(
)
Donde P0 es la población inicial, r está expresada como un decimal y
t es el tiempo en años.
Para esta fórmula y las anteriores se utilizan las reglas de comprobación para
saber si son o no son crecientes del cuadro de crecimiento y decaimiento
exponencial.
Funciones logarítmicas y sus gráficas.
Funciones inversas de exponenciales.
En la sección 1.4 aprendimos que, si una función pasa el criterio de la recta
horizontal, entonces la inversa de la función también es una función. Así que
una función exponencial ( )
tiene una inversa que es una función.

6. Las inversas de la función ( )
son a) y b) respectivamente siguiendo
las reglas de comprobación del crecimiento exponencial
Cambio entre forma logarítmica y exponencial
Si x > 0 y 0 < b ≠ 1, entonces:
( )
Propiedades para evaluar expresiones logarítmicas a exponenciales:
Propiedades básicas de los logaritmos
Para 0 < b ≠ 1, x > 0, y cualquier número real y.
logb 1 = 0 porque b0 =1.
logb b=1 porque b1 = b.
logb by = Y porque by = by.
blogbx = x porque logb x= logb x.
Logaritmos comunes, base 10
Los logaritmos con base 10 se denominan logaritmos comunes. Debido a su
relación con nuestro sistema de base 10, el sistema métrico y la notación
científica, los logaritmos comunes son especialmente útiles. Con frecuencia
quitamos el subíndice 10 para la base cuando usamos logaritmos comunes.
La función logaritmo común log10 x = log x es la inversa de la función
exponencial f(x)= 10x. Así: Y=log x si y sólo si 10y = x.
Ahora les indicare las propiedades básicas de cualquier logaritmo común que
se pueda encontrar:
Propiedades básicas de los logaritmos comunes
Sea X y Y números reales con x < 0.
log 1 = 0 ya que 100 = 1.
log 10 = 1 ya que 101 = 10.
log 10y = y ya que 10y =10y.
10 log x = x ya que log x = log x.
Logaritmos naturales, base e.
A consecuencia de sus propiedades especiales de cálculo, los logaritmos con
base natural e se utilizan en muchas situaciones. Los logaritmos con base e

7. son logaritmos naturales. Con frecuencia utilizamos la abreviación especial
“ln” (sin subíndice) para denotar un logaritmo natural. Así, las función
logaritmo natural loge x = ln x. Es la inversa de la función exponencial f(x) = ex.
Por lo que:
y = ln x si y sólo si ey = x.
Al aplicar esta relación, podemos obtener otras relaciones fundamentales
para logaritmos con la base natural e.
Propiedades básicas de logaritmos naturales
Sean X y Y números reales con x > 0.
ln 1 = 0 ya que e0 = 1.
ln e = 1 ya que e1 = e.
ln ey = y ya que ey = ey.
eln x = x ya que ln x = ln x.
Ahora podemos resolver cualquier expresión tenga lo que contenga, sea base
10 o base e o solo una expresión que pueda trasformares.
Grafica de una función logarítmica:
En esta figura se puede afianzar los conocimientos que ya tenemos sobre
expresiones logarítmicas.

8. Propiedades de las funciones logarítmicas.
Propiedades de los logaritmos
Sean b, R y S números reales positivos, con b ≠ 1, y c cualquier número
real.
Regla del producto:
logb (RS) = logb R + logb s
Regla del cociente:
logb R/S = logb R – logb S
Regla de la potencia: logb Rc = c logb R
Al resolver, muchas de las expresiones logarítmicas se tienen que completar,
Cambio de base casi la mayoría de información para poder llegar al resultado
del problema, claro aplicando todo lo que se sabe de logaritmos que incluye
las reglas para comprobar, la trasformación de exponentes a logaritmos, los
logaritmos con base e y 10, en fin todo ya que es necesario para poder
completar las expresiones de muchos problemas.
Cambio de base.
Para poder cambiar de base se requiere transformar a un cociente de
logaritmos.
Fórmula de cambio de base para logaritmos
Para números reales positivos a, b y x con a y b ≠ 1,

9. Gráficas de funciones logarítmicas con base b.
Modelación y resolución de ecuaciones.
Resolución de ecuaciones exponenciales.
Para resolver ciertas ecuaciones se utiliza la trasformación de ecuaciones
exponenciales a logarítmicas porque es posible re alisarlo pero hay veces en
las que se utiliza propiedades de un u otro lado para resolver una ecuación y
a este proceso se le llama inyectiva uno a uno que no es nada más que
aplicar una propiedad a la vez.
Propiedades de inyectividad (uno a uno)
Para cualquier función exponencial f(x) = bx,
Si bu = bv, entonces u = v.
Para cualquier función f(x) = logb x,
Si logb u = logb v , entonces u = v.
Resolución de ecuaciones logarítmicas.
Cuando resolvemos ecuaciones logarítmicas algebraicamente, es importante
llevar un registro del dominio de cada expresión en la ecuación que se está
resolviendo.
Un método algebraico particular puede introducir soluciones extrañas o,
peor aún, perder algunas soluciones válidas.

10. Ley de enfriamiento de Newton.
Un objeto que se ha calentando se enfriará a la temperatura del medio en
que se coloca, tal como el aire o el agua circundante. La temperatura T del
objeto en el instante t puede modelarse mediante:
T(t) = Tm + (T0 – Tm)e-kt
Para un valor apropiado de k, donde:
Tm = temperatura del medio circundante,
T0 = temperatura inicial del objeto.
Este modelo supone que el medio circundante, aunque toma calor del
objeto, en esencia se mantiene a temperatura constante. En honor del físico
y matemático inglés Isaac Newton (1643-1727), este modelo se denomina
Ley de enfriamiento de Newton.