Proyecto final

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “E.S.P.E”
ENERGÍA CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA
ESTUDIANTE: RAMÓN GARCÍA JOSÉ EDUARDO
DOCENTE: ING. DIEGO PROAÑO

2. ¿ Que es la energía cinética?
• La energía cineteca es una energía que tiene los cuerpos por el echo de
estar en movimiento. A continuación deduciremos cuanto vale y cual es
su relación con el trabajo de una fuerza. Aquí interviene la segunda ley
de Newton la cual nos dice que existe una fuerza F que actúa sobre un
cuerpo la como la variación instantánea de su momento lineal
matemáticamente se lo conoce como :
𝐹 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡

3. En la segunda ley de newton nos habla acerca de:
• Existen tres leyes de Newton las cuales son , la ley de la inercia, fuerza, y
ley de acción y reacción nosotros nos enfocaremos un poco mas en la
segunda ley pero no obstante explicaremos las demás leyes pera que se
pueda apreciar como intervienen en la energía cinética .
Primera ley 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
Segunda ley 𝐹 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
= 𝑚 𝑎
Tercera ley −𝑓12 = −𝑓21

4. PRIMERA LEY DE NEWTON
• LEY DE INERCIA: Todo cuerpo que no está sometido a ninguna interacción (cuerpo libre o
aislado) permanece en reposo o se traslada con velocidad constante.
• Esto explica que para modificar el estado de movimiento de un cuerpo es necesario actuar
sobre él. Definimos una nueva magnitud vectorial llamada momento lineal (o cantidad de
movimiento) p de una partícula matemáticamente se representa:
• 𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑣
• Como el conjunto de las dos partículas está aislado, su momento lineal total se conserva:
• 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1 𝑣1´ + 𝑚2 𝑣2´
• Esta expresión se conoce como principio de conservación del momento lineal y se puede
hacer extensivo a un conjunto de N partículas.
• −∆𝑝1 = ∆𝑝2
• Esto significa que, como el momento lineal del conjunto de las dos partículas se conserva
pero el de cada una de ellas por separado no permanece constante, lo que aumenta el
momento lineal de una de ellas ha de ser igual a lo que disminuye el momento lineal de la
otra

5. Ley de la inercia.
Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de velocidad constante (en línea recta) a menos que
sobre él actúe una fuerza neta diferente de cero. Aquí se encuentra la fuerza neta (fuerza resultante)
es la suma vectorial de todas las fuerzas individuales. Es más difícil empujar o frenar algunos
objetos que otros, se dice algunos objetos tienen más inercia que otros
𝐹 = 0 ←→
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0

6. Segunda ley de newton
• Se define fuerza F que actúa sobre un cuerpo como la variación instantánea de su
momento lineal. Expresado matemáticamente:
La unidad de fuerza en el S.I. es el Newton (N).
𝐹 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
• Una fuerza representa entonces una interacción. Cuando una partícula no está sometida
a ninguna fuerza, se mueve con momento lineal constante (Primera Ley). Sustituyendo
la definición de momento lineal y suponiendo que la masa de la partícula es constante,
se llega a otra expresión para la Segunda Ley:
𝐹 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑚 ∗ 𝑣 = 𝑚 ∗
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
= 𝑚 𝑎

7. Ley fundamental de la dinámica:
Esta ley es la más importante en cuanto nos permite establecer una relación numérica entre las
magnitudes fuerza y aceleración. Se podría enunciar como la aceleración que toma un cuerpo es
proporcional a la fuerza neta externa que se le aplica. La fuerza resultante sobre una partícula es la
suma que ejerce cada partícula sobre esta, es proporcional a la variación de la cantidad de movimiento
con respecto a la variación del tiempo, postula que la fuerza neta que es aplicada sobre un cuerpo es
proporcional a la aceleración que adquiere en su trayectoria.
− 𝐹 = 𝐹𝑗
− 𝐹 =
∆ 𝑚𝑣
∆𝑡
=
𝑚∆𝑣
∆𝑡
= 𝑚 ∗ 𝑎
− 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎

8. Tercera ley de newton
• Si dividimos por el intervalo tiempo transcurrido y tomamos
el límite cuando Δt tiende a cero tenemos lo siguiente :
-
∆𝑝1
∆𝑡
=
∆𝑝2
∆𝑡
→ -
𝑑𝑝1
𝑑𝑡
=
𝑑𝑝2
𝑑𝑡
• Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este último ejerce
sobre el primero una fuerza igual en módulo y de sentido
contrario a la primera.
−𝑓12 = −𝑓21

9. Principio de acción y reacción
El postulado de la tercera ley de Newton dice que toda acción genera una reacción igual, pero en sentido
opuesto. Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando
queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que
nos hace saltar hacia arriba, cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos
movemos en sentido contrario.
−𝐹1−2 = 𝐹2−1

10. LA ENERGÍA CINÉTICA EN LA PARTÍCULA
• La energía cinética de una partícula se puede calcular a partir de la ecuación del trabajo y la
expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton: La energía cinética se
incrementa con el cuadrado de la rapidez. Así la energía cinética es una medida
dependiente del sistema de referencia. La energía cinética de un objeto está también
relacionada con su momento lineal ya que depende una masa puntual la cual la conocemos
como m y sus componentes del movimiento. Estos son descritos por la velocidad v de la
masa puntual

11. TRABAJO DE UNA FUERZA
• El trabajo 𝑊 es una magnitud escalar que, como veremos, da la cantidad de energía cinética transferida
por una fuerza. En la siguientes figura se ha representado una partícula que se desplaza por una
trayectoria C entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵. Sobre ella actúa una fuerza 𝐹. Su vector desplazamiento, tangente a
la trayectoria en cada punto, es 𝑑𝑟.
• El trabajo de dicha fuerza se define:
𝑊(𝐶)
𝐴𝐵 = 𝐴(𝐶)
𝐵
𝐹 ∗ 𝑑 𝑟
• Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el trabajo total es la suma del trabajo de cada una de las fuerzas
que actúan sobre el cuerpo:
𝑊(𝐶)
𝐴𝐵 = 𝑖=𝑙
𝑁
𝐴(𝐶)
𝐵
𝐹𝑖 ∗ 𝑑 𝑟

12. Magnitudes vectoriales de una partícula
• La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia la descripción del movimiento de un cuerpo,
sin atender a la causa que lo produce. Se limita esencialmente al cálculo de la trayectoria del cuerpo en
función del tiempo. Para ello se debe utilizar un sistema de coordenadas, llamado sistema de referencia,
constituido por tres ejes perpendiculares entre sí (ejes XYZ). Definimos las magnitudes vectoriales
vector posición, vector velocidad y vector aceleración, expresadas en componentes en función de los
vectores unitarios de los ejes XYZ.
• Vector posición:
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 + 𝑧 𝑡 𝑘
• Vector velocidad:
𝑣 𝑡 =
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
𝑘
• Vector aceleración:
𝑣 𝑡 =
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑2
𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
𝑖 +
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
𝑘

13. Aceleración tangencial y normal de una partícula
• En algunas ocasiones conviene usar un sistema de referencia cuyos ejes sean en cada instante
tangente y normal a la trayectoria la aceleración normal da cuenta del cambio en la dirección
del vector velocidad de la partícula en cada punto y la aceleración tangencial de la variación
del módulo de dicho vector velocidad.
• Aceleración tangencial: es nula cuando el modulo de la velocidad es constante
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
∗ 𝑢 𝑡
• Aceleración normal: es nula cuando el movimiento es rectilíneo.
𝑎 𝑛 =
𝑣2
𝜌
∗ 𝑢 𝑛
 𝑢 𝑡 ; 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
 𝑢 𝑛 ; 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
 𝜌 ; 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎

14. • Una ves que ya sabemos que la energía cinética de un cuerpo es aquella
energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo
necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo
hasta la velocidad indicada. Una vez conseguida esta energía durante la
aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su
velocidad. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un
trabajo negativo de la misma magnitud que su energía cinética y que aquí
actúan varias fuerzas y usando la segunda ley de Newton podemos concluir
las ecuaciones.

15. Deducción de las ecuaciones que actúan en una partícula
• A continuación deduciremos cuánto vale y cuál es su relación con el trabajo de una fuerza para poder encontrar las ecuaciones
que necesitamos . Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de
dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
𝑊(𝐶)
𝐴𝐵 =
𝐴(𝐶)
𝐵
𝐹 ∗ 𝑑 𝑟 =
𝐴(𝐶)
𝐵
𝐹 ∗ 𝑑𝑟 ∗ cos 𝛼 =
𝐴 𝐶
𝐵
𝐹 𝑇 ∗ 𝑑𝑟 =
𝐴 𝐶
𝐵
𝑚𝑎 𝑇 ∗ 𝑑𝑟
𝑊(𝐶)
𝐴𝐵 =
𝐴 𝐶
𝐵
𝑚𝑎 𝑇 ∗ 𝑑𝑟 =
𝐴 𝐶
𝐵
𝑚 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
∗ 𝑑𝑟 =
𝐴(𝐶)
𝐵
𝑚𝑣𝑑𝑣
𝑊(𝐶)
𝐴𝐵 =
𝑣 𝐴
𝑣 𝐵
𝑚𝑣𝑑𝑣 =
1
2
𝑚𝑣 𝐵
2
−
1
2
𝑚𝑣 𝐴
2
• La expresión que aparece en el segundo miembro de la ecuación anterior es la energía cinética :
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2
• Las unidades de energía cinética en el Sistema Internacional son los julios (J). Por tanto, el trabajo que realiza una fuerza
sobre una partícula es igual a la energía cinética transferida a la misma:
𝑊(𝐶)
𝐴𝐵 = ∆𝐸𝑐

16. Otra forma de encontrar la ecuación de la energía cinética
• Si recordamos nuestras ecuaciones cinemáticas del movimiento, sabemos que podemos sustituir la aceleración si conocemos
las velocidades inicial y final 𝑣𝑖 𝑦 𝑣𝑓 así como la distancia.
𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑑 ∗
𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
2𝑑
𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 (𝑑)
𝑤 = 𝑚 ∗
𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
2
𝑤 =
1
2
∗ 𝑚 ∗ 𝑣𝑓
2
−
1
2
∗ 𝑚 ∗ 𝑣𝑖
2
Por lo tanto, cuando se realiza una cantidad neta de trabajo sobre un objeto, la cantidad
1
2
𝑚𝑣2
a la que llamamos energía
cinética K, reemplazamos y nos queda.
𝐾 =
1
2
∗ 𝑚 ∗ 𝑣2

17. Espero que sea de ayuda gracias por
tu atención asta la próxima.