Clase teórica y con ejemplos prácticos sobre Sistemas de partículas, Sistema del Centro de Masa y Colisiones. Las diapositivas marcadas con una estrella son las que tienen mayor complejidad y requieren de más explicación verbal.

1. Sistema de partículas
Sistema de referencia del C.M.
Colisiones
Fac. Ingeniería
UNLP

2. dij variable en el
tiempo
1
2
4
i
3
F1,i
Fi,1
d1-2
F1,i = - Fi,1

3. m2
x
z
y
m1
r2
r1
F2,1F1,2
F1
F2
Mmm  21
Segunda Ley de Newton:
  amF

221121,22,11 amamFFFF


1,22,1 FF

 (acción y reacción)
221121,22,11 amamFFFF



4. 2
2
2
22
1
2
121
dt
rd
m
dt
rd
mFF


)( 22112
2
21 rmrm
dt
d
FF


;2211
2
2
21 




 

M
rmrm
dt
d
MFF






 

M
rmrm
RCM
2211

Si
Esta expresión es semejante a la 2da Ley de Newton para el
caso de una partícula puntual
;2
2
21 CMR
dt
d
MFF

 21 mmM 

5. Definimos entonces:
M
rm
M
rmrm
R i ii
SCM





 

 2211
,
(I)
como la posición de un punto imaginario de masa m1 + m2
al cual se le aplica una fuerza igual a la suma de las 2
fuerzas F1 y F2. Este punto se llama Centro de Masa (C.M.).
Este punto es representativo del sistema ya que su
aceleración corresponde a la de una partícula puntual de
masa M sometida la suma de todas las fuerzas externas que
actúan en el sistema. La coordenada del C.M. se calcula a
través de la ecuación (I).

6. Toda expresión vectorial se puede expresar en componentes:



i
i
ii
cm
m
xmxmxm
x
....2211



i
i
ii
cm
m
ymymym
y
....2211



i
i
ii
cm
m
zmzmzm
z
....2211
CMR

M
rm
M
rmrm
R i ii
SCM





 

 2211
,
(I)

7. 1
1
2
1
2
1
2
11
,
1
r
m
m
m
r
m
m
rm
R SCM 

















Si m1>> m2
m2
x
z
y
m1
r2
r1

8. Ejemplo: Supongamos 2 partículas m1 y m2, cada una de masa 2 kg,
ubicadas como indica la figura. a) Hallar la posición del C.M. b) Si m1=8 kg,
hallar la posición del C.M. en este caso
m
kg
mkgkg
mm
xmxm
xCM 5
4
10.20.2
21
2211






m
kg
mkgkg
mm
xmxm
xCM 2
10
10.20.8
21
2211






a)
10 m
X [m]0
m1 m2
C.M.
b)
10 m
X [m]0
m1 m2
C.M.

9. Ejemplo: Determinar el C.M. del sistema de 3 partículas mostrado en la
figura
m
kg
mkgmkgkg
mmm
xmxmxm
xCM 2
12
4.60.40.2
321
332211






m
kg
kgmkgkg
mmm
ymymym
yCM 1
12
0.63.40.2
321
332211






m1 = 2 kg
m2 = 4 kg
m3 = 6 kg
X [m]
Y [m]
2 4
2
4
jiRCM

12 
m2
m1
m3

10. Velocidad y Aceleración del C.M. de un sistema
 
i
ii
i
i
i
CM
SCM vm
Mdt
rd
m
Mdt
Rd
V


 11
, (II)
Derivando la coordenada de C.M. obtenemos la VCM del sistema:
Si derivamos nuevamente obtendremos la ACM del sistema:
 
i
ii
i
i
i
CM
SCM am
Mdt
vd
m
Mdt
Vd
A


 11
, (III)

11. Generalización al caso de i partículas
F exti
Fi,1
1
2
3
Fi,2
Fi,3
Las fuerzas que actúan sobre la partícula i pueden dividirse
en dos categorías: 1) las fuerza interiores debidas a las
interacciones con otras partículas que se encuentran dentro
del sistema y 2) las fuerzas externas ejercidas por agentes
ajenos al sistema
ext,,int,,, iRiRiiiR FFamF



12. iiiRiRiR amFFF

 ext,,int,,,
Por 2da Ley de Newton
(IV)
De la ecuación (III), y utilizando la ec. (IV):
 
i
iR
i
iR
i
iiSCM FFamAM ext,,int,,,

(V)
Por la 3ra Ley de Newton, F i,j = - F j,i , es decir las fuerzas
internas se presentan en parejas de fuerza iguales pero opuestas.
Entonces, la suma total de todas las fuerzas internas se anula!!
ext,ext,,, neta
i
iRSCM FFAM

 

13. La masa total M multiplicada por la aceleración del C.M. es
igual a la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema.
La forma de esta ecuación es similar a la 2da Ley de Newton
para una sola partícula de masa M situada en el C.M.,
moviéndose bajo la influencia de la fuerza externa resultante.
En este sentido, el C.M. se mueve como una partícula simple.
ext,ext,,, neta
i
iRSCM FFAM

  
i
imM

14. Para analizar el tema de Colisiones, recordaremos
la segunda Ley de Newton, que nos habla de la
Conservación de la Cantidad de Movimiento:
Veremos que se puede asociar un sistema de coordenadas al
CM, y en ese caso este sistema se llamará
“Sistema de referencia del CM”
0, extnetaFSi

0,

dt
Pd SCM

cteP SCM ,


15. Sistema de referencia del C.M.
z’
CM
x
y
z
x’
y’
mi
vim1, v1
m2, v2
Sistema del CM
O
Sistema de
laboratorio, S
RCM,O
ri,CM
ri,O
OCMCMiOi Rrr ,,,


OCMCMiOi Vvv ,,,


(I)

16. ;
,
,
M
rm
R i
Oii
SCM




;
,
,
M
vm
V i
Oii
SCM




Respecto al sistema de referencia original S, el sistema de
referencia del CM se mueve con
  0, extSCM FsicteV

En este sistema de CM se cumple que:
0
,
, 

M
rm
R i
CMii
CMCM


0
,
, 

M
vm
V i
CMii
CMCM



17. En el sistema de referencia del CM también se cumple:
0,,  CMCMCMCM VMP

¿Qué relación hay entre las velocidades de una partícula
cuando es observada desde los dos sistemas S y CM?
A partir de la ec. (I), se obtiene:
OCMOiCMi Vvv ,,,

 (II)
Respecto
del CM
Respecto
de S

18.   ;/100,1 ismv

  ismv

/20,2 
a) ¿Ptot,O?    ismkgismkgvmvmP Otot

/2.5,3/10.5,20,220,11, 
     ismkgismkgismkgP Otot

/18/7/25, 
b) ¿VCM,O?
   ism
kg
ismkg
M
vm
V i
ii
OCM




/3
6
/180,
, 

c) ¿v1,CM ? ¿v2,CM ?
   ismvism CM

/3/10 ,1   ismv CM

/7,1 
   ismvism CM

/3/2 ,2   ismv CM

/5,2 
OCMCMiOi Vvv ,,,


CM
Ejemplo: v2,0
v1,0
m1 m2
S.I.
m2
 ismVCM

/3
+ X

20. Energía cinética de un sistema de partículas no rígidas
La energía cinética total de un sistema de partículas es la suma de
las energías cinéticas de cada una de ellas:
Pero además sabemos que: OCMCMiOi Vvv ,,,


   OCMCMiOCMCMiOiOi VvVvvv ,,,,,,


Desarrollando el producto escalar y reemplazando en la ec. (III)
nos queda:
 oioii
i
oii
i
c vvmvmE ,,
2
,
2
1
2
1 
  (III)

21. donde: 
i
imM es la masa total del sistema de partículas.
relcOCMCMii
i
OCMi
i
c EVMvmVmE ,
2
,
2
,
2
,
2
1
2
1
2
1
 
Energía cinética
del CM
Energía cinética
relativa al CM
(IV)
La energía cinética de un sistema de partículas está constituida
por dos términos:
(1) La energía cinética “del CM” (Ec,CM)
(2) La energía cinética “relativa” al CM (E’c rel.)
'
,, relcCMcc EEE  (V)

22. Esta forma de describir la energía cinética de un sistema de
partículas permite entender más claramente lo que ocurre en el
caso de colisiones.
2
,
'
,
2
1
CMii
i
relc vmE  El término
depende sólo de las velocidades de
las partículas respecto al CM y no
depende del sistema de
coordenadas asociado al sistema
inercial S.
 El término
2
,
2
1
CMCMc VME 
representa la energía cinética del CM
y depende del sistema de
coordenadas asociado al sistema
inercial S.

23. Si sobre un sistema de partículas la resultante de las fuerzas
externas es nula, entonces:
cteP
dt
Pd
F CM
CM
ext 



0 cteMVE OCMCMc  2
,,
2
1
y el 1er término de la ec. (V) no varía. Sólo la energía relativa
al CM (2do término de la ec. (V)) puede ser la responsable
de un aumento o disminución de la energía cinética total
del sistema de partículas.
Como ejemplo podemos citar el caso del niño y el muchacho que
se empujan con las manos sobre una superficie helada originando
un aumento de la energía cinética total debido al aumento de la
energía cinética relativa al CM. En el caso de una bala que queda
empotrada en un bloque, se produce una disminución de la
energía cinética total debido a una disminución de la energía
cinética relativa al CM.

24. Teorema de trabajo y energía
para un sistema de partículas no rígidas
Utilizando la expresión:
el teorema de trabajo-energía cinética para un sistema de
partículas ahora nos queda:
intext
'
,, FFrelcCMcc WWEEE 
Procesos de transferenciaestados
'
,, relcCMcc EEE 

25. intext
'
,, FFrelcCMcc WWEEE 
FCW FNCW cfW cnfW
CMpE , int,pE
    cnfFNCprelcCMpCMc WWEEEE  int,
'
,,,
CMmecE , U
cnfFNCCMmec WWUE  ,
“Energía macroscópica”
“Energía interna” (microscópica)

26. Si 0,  UE CMmec0 cnfFNC WW
cteUE CMmec ,
De lo contrario, si alguno de los términos WFNC (externas) o
Wfnc (internas) es diferente de 0, existirá algún cambio en la
energía mecánica del sistema de partículas, que deberá
analizarse para cada caso particular.

27. Colisiones
m2
v2
v’2
v1
v’1
m1
F2,1
F1,2
En una colisión entre dos objetos,
éstos se aproximan uno al otro,
interactúan fuertemente en una
zona dada y luego se separan. En
el sentido microscópico no existe
necesariamente contacto entre las
2 partículas.
La interacción puede ser breve (bolas de billar) o durar siglos
(choques entre 2 estrellas).
Antes de la colisión, es decir cuando ambos objetos están
alejados, cada uno de ellos posee una dada velocidad. Luego
del choque se mueven con velocidades diferentes de las que
tenían antes de la colisión.

28. En general, cuando dos partículas se aproximan entre sí, la
interacción produce una variación de la cantidad de movimiento
y de la energía en cada una de ellas.
Para cada partícula:
dt
pd
F 1
2,1


dt
pd
F 2
1,2


;1,22,1 FF

 3ra Ley de Newton
dt
pd
dt
pd 21


Para cada partícula individual tendremos: pddtF
dt
pd
F

 .
 
2
1
2
1
.
p
p
t
t
pddtF

  
2
1
.impulso 12
t
t
dtFpppI


29. Para resolver la integral tendríamos que conocer F(t) o, en
caso contrario podríamos evaluar la fuerza promedio a partir
del teorema de valor medio a la integral.
tiempo [s]
0 20 40 60 80 100 120
F(t)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
tFdttF media
t
t
 .curvalabajoárea)(
2
1

F media
12. pptFmedia



30. Para el caso de 2 partículas, si:
cteppP
dt
Pd
F CM
CM
ext  210



   despuésantes
pppp '' 2121


   finalinicial
vmvmvmvm '' 22112211



31. Los distintos tipos de colisiones o choques se pueden clasificar
de acuerdo al tipo de Fint involucradas.
Choques
Inelásticos
(Fint no conservativas)
Perfectamente elásticos
(Fint conservativas)
Choques inelásticos: son los que ocurren en la mayoría de los
casos de nuestra vida cotidiana.

32. Si 0 extF

ctePtotal 

cteEcin cons.nointF
Choques elásticos:
Un caso especial de los choques inelásticos lo constituye el choque
de tipo “plástico”, en el que las partículas intervinientes quedan
totalmente adheridas.
Si 0 extF

ctePtotal 

cteEcin 
Advertencia: para determinar el tipo de choque: 1) hallar las veloc. finales
de cada una de las partículas y 2) determinar la Ecin final total del sistema.
Fint conservativas

33. Ejemplo: colisión plástica en 2D sobre una superficie lisa:

v1
v2
v’
m1
m2
m
m = m1+m2
Incógnitas: ¿v’? ¿  ?
  cos'..0 21211 vmmmvmpx 
  senvmmvmmpy '..0. 21221 
2 ecuaciones y 2
incógnitas……
ctep
dt
dp
F x
x
xext  0.,
ctep
dt
dp
F y
y
yext  0.,

34. Para comentarios, sugerencias y preguntas:
chinchiya@gmail.com
Presentación elaborada con aportes de los docentes de la
Cátedra de Física I – Fac. Ingeniería - UNLP