Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Mecánica Racional

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UNIDAD V: CINETICA DE LA PARTICULA. FUERZA,
ACELERACIÓN Y MOMENTUM.
(Ing. David Rodríguez)

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INTRODUCCIÓN:
Los conceptos que ha continuación se presentan, son conocidos, los hemos
usado de una u otra forma en los estudios de Ingeniería, se recordara el tema de
Cinética De La Partícula algunas formulas, dado esto, es recomendable que
repases tus apuntes, o complementes investigando, recuerda nunca te
conformes con lo suministrado por el facilitador debes ir mas allá, investigando
construyes tu conocimiento.
Isaac Newton
La obra de Isaac Newton representa una de las mayores contribuciones a la
ciencia realizadas nunca por un solo individuo. Entre otras cosas, Newton dedujo la
ley de la gravitación universal, inventó el cálculo infinitesimal y realizó experimentos
sobre la naturaleza de la luz y el color.
Conceptos de Sistema de Referencia Inercial y No Inercial:
Se denominan sistemas de referencia inerciales a aquellos en los que se cumple
el principio de inercia: para que un cuerpo posea aceleración ha de actuar sobre él
una fuerza exterior. En estos sistemas se cumplen, por extensión los otros dos
principios de la dinámica de Newton.
Se dice que un sistema de referencia es no inercial cuando una partícula libre
(sobre la que no actúa ninguna fuerza) sigue una trayectoria curva o rectilínea
uniformemente acelerada.

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Un sistema de referencia no inercial está acelerado respecto a un sistema de
referencia inercial.
Describir las Leyes de Newton del Movimiento:
Con la formulación de las tres leyes del movimiento, Isaac Newton estableció las
bases de la dinámica.
• La primera ley de Newton afirma que si la suma vectorial de las fuerzas que
actúan sobre un objeto es cero, el objeto permanecerá en reposo o seguirá
moviéndose a velocidad constante. El que la fuerza ejercida sobre un objeto
sea cero no significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no está
sometido a ninguna fuerza (incluido el rozamiento), un objeto en movimiento
seguirá desplazándose a velocidad constante.
• La segunda ley de Newton relaciona la fuerza total y la aceleración. Una
fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su
velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza total y
tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de
proporcionalidad es la masa m del objeto (F = ma).
• La tercera ley de Newton afirma que cuando un objeto ejerce una fuerza
sobre otro, este otro objeto ejerce también una fuerza sobre el primero. La
fuerza que ejerce el primer objeto sobre el segundo debe tener la misma
magnitud que la fuerza que el segundo objeto ejerce sobre el primero, pero
con sentido opuesto. Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un
adulto empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto
ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido
opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su
aceleración será menor. La tercera ley de Newton también implica la
conservación del momento lineal, el producto de la masa por la velocidad. En

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un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas, el momento
debe ser constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje,
sus velocidades iniciales son cero, por lo que el momento inicial del sistema
es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre el adulto y el
niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del
sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el adulto empuje al
niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña del adulto debe
ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño. Los
momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por
lo que su suma es cero. Otra magnitud que se conserva es el momento
angular o cinético. El momento angular de un objeto en rotación depende de
su velocidad angular, su masa y su distancia al eje. Cuando un patinador da
vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el
momento angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al
principio del giro, el patinador tiene los brazos extendidos. Parte de la masa
del patinador tiene por tanto un radio de giro grande. Cuando el patinador
baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad
angular debe aumentar para mantener constante el momento angular.
Ecuaciones del Movimiento rectilíneo y curvilíneo de una partícula bajo
los sistemas de coordenadas: Rectangular Cartesianas, Normal y
Tangencial, cilíndricas, Radiales y Transversales:
Para una partícula con movimiento curvilíneo ya sea en el espacio o en un plano,
la ecuación de movimiento puede expresarse ya sea en la forma vectorial o en la
forma escalar equivalente, usando las componentes que corresponden a los
diversos tipos de coordenadas, dependiendo de la naturaleza del problema y de la
facilidad de resolverlo.
Por comodidad estas ecuaciones se resumen como sigue:

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Coordenadas Rectangulares:
Coordenadas Polares:
Coordenadas Cilíndricas:
Coordenadas Normal y Tangencial:
Y así sucesivamente……………………………………………………………..
Campo gravitatorio:
En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas
que representa la interacción gravitatoria. Si se dispone en cierta región del espacio
una masa M, el espacio alrededor de M adquiere ciertas características que no
disponía cuando no estaba M. Este hecho se puede comprobar acercando otra
masa m y constatando que se produce la interacción. A la situación física que
produce la masa M se la denomina campo gravitatorio. Afirmar que existe algo
alrededor de M es puramente especulativo, ya que sólo se nota el campo cuando se
)
··
··
··
( zk
y
x j
i
m
F +
+
=
)
)
2
(
)
((
··
·
·
··
2
·
··
z
r e
r
e
r
m
F z
r
r +
+
+
=
)
(
2
·
··
n
t e
e
m
F s
s
=
)
2
(
)
((
·
·
··
2
·
··
r
r r
e
r
m
F r +
+
=

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coloca la otra masa m, a la que se llama masa testigo. El tratamiento que recibe este
campo es diferente según las necesidades del problema:
• En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado
por un campo vectorial.
• En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial
de segundo orden.
Campo gravitatorio en física newtoniana:
En física newtoniana, el campo gravitatorio es un campo vectorial conservativo
cuyas líneas de campo son abiertas. Puede definirse como la fuerza por unidad de
masa que experimentará una partícula puntual situada ante la presencia de una
distribución de masa. Sus unidades son, por lo tanto, las de una aceleración, m s-2.
Matemáticamente se puede definir el campo como:
Donde es la fuerza de gravedad experimentada por la partícula de masa m en
presencia de un campo .
Ejemplos de campos gravitatorios:

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El campo para una distribución de masa esférica y central fuera de la esfera
es un vector de módulo y que apunta hacia el centro de la esfera.
,
Donde r es la distancia radial al centro de la distribución. En el interior de la esfera
central el campo varía según una ley dependiente de la distribución de masa (para
una esfera uniforme, crece en forma lineal desde el centro hasta el radio exterior de
la esfera). La ecuación (1), por tanto, sólo es válida a partir de la superficie exterior
que limita el cuerpo que provoca el campo, punto a partir del cual el campo decrece
según la ley de la inversa del cuadrado. El campo creado por una distribución de
masa totalmente general en un punto del espacio :
,
El interés de realizar una descripción de la interacción gravitatoria por medio de
un campo radica en la posibilidad de poder expresar la interacción gravitacional
como el producto de dos términos, uno que depende del valor local del campo y
otro, una propiedad escalar que representa la respuesta del objeto que sufre la
acción del campo. Por ejemplo, el movimiento de un planeta se puede describir
como el movimiento orbital del planeta en presencia de un campo gravitatorio creado
por el Sol.
Los campos gravitatorios son aditivos; el campo gravitatorio creado por una
distribución de masa es igual a la suma de los campos creados por sus diferentes
elementos. El campo gravitatorio del Sistema Solar es el creado por el Sol, Júpiter y
los demás planetas.

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Movimiento rectilíneo de Varias partículas Conectadas:
Para un sistema de dos o más partículas, podemos considerar a cada partícula
separadamente en un diagrama de cuerpo libre y tratarla como si fuera una
partícula independiente. Trataremos los sistemas de partículas y consideraremos
varios conceptos que pertenecen tanto a los sistemas de partículas como a los
cuerpos rígidos, los cuales consisten en un número infinito de partículas. En esta
sección estudiaremos partículas que están conectadas por medio de dispositivos
inextensibles y sin masa. El procedimiento consiste en considerar cada partícula
individualmente en términos de dinámica de una partícula.
LOS EJERCICIOS LOS DISCUTIREMOS EN CLASE PRESENCIAL.
Principio de Alembert:
Jean le Rond d'Alembert (1717-1783), matemático, filósofo y enciclopedista
francés. Nació en París y era hijo natural de la escritora francesa Claudine Guérin de
Tencin; y fue abandonado de niño en las escaleras de la iglesia de Saint Jean le
Rond, de donde proviene su nombre. Estudió en la escuela Mazarin, donde se
distinguió en matemáticas, física y astronomía. A la edad de 22 años escribió su
primer libro: Memoria sobre el cálculo integral (1739). Su trabajo científico más
importante, Tratado de dinámica (1743), marca una época en la ciencia de la
mecánica, ya que enuncia la teoría conocida como el principio de D'Alembert, que

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descubrió a los 26 años que dice lo siguiente: el resultado de las fuerzas ejercidas
sobre un sistema es equivalente a la fuerza efectiva sobre todo el sistema. Su
obra Reflexiones sobre la causa general de los vientos (1746) contiene el primer
concepto del cálculo de ecuaciones en derivadas parciales. En 1751 se asoció con
el enciclopedista francés Denis Diderot para editar la gran Enciclopedia francesa.
Aunque abandonó la redacción en 1758 debido a las presiones gubernamentales
sobre la publicación, D'Alembert continuó trabajando en artículos de ciencia y
filosofía.
Momento Lineal:
El Momento lineal o Cantidad de movimiento, en física, es la cantidad
fundamental que caracteriza el movimiento de cualquier objeto. Es el producto de la
masa de un cuerpo en movimiento y de su velocidad lineal. El momento es una
cantidad vectorial, lo que significa que tiene magnitud, dirección y sentido. El
momento lineal total de un sistema constituido por una serie de objetos es la suma
vectorial de los momentos de cada objeto individual. En un sistema aislado, el
momento total permanece constante a lo largo del tiempo; es lo que se llama
conservación del momento lineal. Por ejemplo, cuando un jugador de tenis golpea
una pelota, el momento lineal de la raqueta justo antes de golpear la bola más el
momento de la pelota en ese instante es igual al momento de la raqueta
inmediatamente después de golpear la bola más el momento de la pelota golpeada.
En otro ejemplo, imaginemos a un nadador que salta desde un bote inmóvil que flota
sobre el agua. Antes de saltar, el bote y el nadador no se mueven, por lo que el
momento lineal total es cero. Al saltar, el nadador adquiere momento lineal hacia
delante, y al mismo tiempo el bote se mueve hacia atrás con un momento igual en
magnitud y dirección pero sentido contrario; el momento total del sistema formado
por el nadador y el bote sigue siendo nulo.

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La física actual considera la conservación del momento como una ley universal,
que se cumple incluso en situaciones extremas donde las teorías clásicas de la
física no son válidas. En particular, la conservación del momento lineal se cumple en
la teoría cuántica, que describe los fenómenos atómicos y nucleares, y en la
relatividad, que se emplea cuando los sistemas se desplazan a velocidades
próximas a la de la luz.
Según la segunda ley del movimiento de Newton —llamada así en honor al
astrónomo, matemático y físico británico Isaac Newton—, la fuerza que actúa sobre
un cuerpo en movimiento debe ser igual al cambio del momento lineal por unidad de
tiempo. Otra forma de expresar la segunda ley de Newton es decir que el impulso —
esto es, el producto de la fuerza por el tiempo durante el que actúa sobre un
cuerpo— equivale al cambio del momento lineal del cuerpo.
Momento Angular:
Momento angular
Cuando un objeto gira posee un momento angular. Para una partícula pequeña, como una piedra que se hace
girar con un cordel, el momento angular se define como m r 2. En esta ecuación, m es la masa de la partícula;
es su velocidad angular (es decir, el número de revoluciones en radianes por segundo) y r es la distancia
desde el objeto hasta el punto en torno al cual gira. Si el objeto es mayor —un disco, por ejemplo— el
momento angular es la suma de los momentos angulares de todas sus partículas: m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + …
Momento angular: Es la cantidad fundamental que posee un cuerpo en virtud de su
rotación, y que es esencial para la descripción de su movimiento. Esta magnitud es
análoga al momento lineal o cantidad de movimiento.
El momento lineal de un cuerpo en movimiento viene dado por la expresión:
momento lineal = masa × velocidad

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Se define el momento angular de una partícula como: momento angular =
momento lineal × distancia al eje de giro
El momento angular de un sistema de partículas o de un sólido rígido se obtiene
sumando los valores de todas las partículas de las que está formado.
Considérese el pequeño objeto de masa m de la figura, que gira alrededor de un
punto situado a una distancia r de él, con una velocidad angular E. (La velocidad
angular es la velocidad de rotación expresada en radianes por segundo.) La
velocidad lineal del objeto es Er, y su momento lineal es mEr. El momento angular
de una partícula es mEr × r o mEr2. El momento angular de un objeto extenso,
como el de la figura, es la suma de todos los valores m1Er12 + m2Er22 +... Esto se
escribe matemáticamente como GmiEri2, para todos los valores de i. Como todas las
Partículas giran con la misma velocidad angular E, esta expresión se puede escribir
así: momento angular = (Gmiri 2) × E que a su vez se puede expresar como:
momento angular = IE donde I = Gmiri 2 recibe el nombre de momento de inercia del
cuerpo alrededor de un determinado eje de rotación. El momento de inercia está
relacionado con la masa del cuerpo y la distancia de sus diferentes partes al eje de
rotación.
Al igual que existe un principio de conservación para el momento lineal, existe un
principio de conservación del momento angular. Este principio establece que si la
resultante de los momentos de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, el
momento angular permanece constante. Esto se manifiesta en la práctica cuando,
por ejemplo, un satélite que está girando es transportado a bordo de un laboratorio
espacial y su giro se detiene. Su momento angular no se desvanece: es transferido
al laboratorio que, por tanto, comienza a girar. Esto sólo se puede evitar aplicando
un momento externo, producido por el encendido de los motores de propulsión.
Nota: Esperamos que te llame la atención este tema, si lo deseas puedes
investigar en Internet, en los buscadores, para complementar, revisión de
Bibliografía recomendada.

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BIBLIOGRAFÍA
Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston Jr (1997). “Mecánica Vectorial
para Ingenieros, Dinámica”, Sexta Edición.
T.C. Huang (1967). “Mecánica Vectorial para Ingenieros Tomo II
Dinámica”.
Todos los libros o páginas de Internet que consideres conveniente.
Diccionario Digital Encarta.