Este documento define los conceptos de entorno y función real. Explica que un entorno es el conjunto de todos los puntos dentro de un intervalo centrado en un punto dado. También define que, dado un entorno de radio ε de una función f en un punto x0, se busca un entorno de radio δ centrado en x0 cuya imagen bajo f quede incluida dentro del entorno dado de radio ε. A continuación, presenta un ejemplo para ilustrar cómo encontrar dicho entorno δ en función del entorno ε dado, para una función específica.

1. ENTORNO
Al conjunto    00/ xxxRx de todos los x del intervalo    00 , xx es lo que se
denomina un entorno, vecindad o proximidad de 0x es decir un entorno de centro 0x es toda parte de R
de la forma    00/ xxxRx = I =    00 , xx con 0 y R
Se denota con  ,0xN donde 0x es el centro y  es el radio, según esto un entorno tiene la forma:
 ,0xN =    00 , xx
DESIGUALDADES Y FUNCIONES
Sea f una función real cualquiera y ox   fDom . Dado un entorno de  oxf de radio  ,
   ,oxfN , se trata de encontrar un entorno de centro ox y de radio  ,   ,oxN , tal que la
imagen de este último esté incluida en el entorno de  oxf dado.
EJEMPLO
Sea
  xxfx
RRf
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:


y
Sea los entornos   ,oxfN para diferentes valores de  , encontrar los entornos  ,oxN , con 
dependiendo de  (dado), tal que :       ,, oo xfNxNf  , Si 2ox y  que pueda tomar
valores de
2
3
,1,
2
1
,
10
1
Para resolver este problema es necesario seguir los siguientes pasos:
1. Calcular las imágenes reciprocas de   oxf y   oxf
2. Determinar las pre imágenes 1x y 2x
3. Determinar el radio  , el cual designa la distancia de cada una de las pre imágenes de ox es decir
oxx 1 y oxx 2 . El radio del entorno será el mínimo de estas pre imágenes
4. Verificar si       ,, oo xfNxNf 
Para verificar (4) recordamos la definición de entorno que es :
El conjunto    oo xxxRx / de todos los x del intervalo    oo xx ,
De esta definición se sigue que:
    ooo xxxxNx ,