equilibrio

1. Física mecánica
EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD: UNIDAD 6
l Equilibrio Estático
l Centro de Gravedad
l Módulo de Elasticidad: Young, Corte y
Volumétrico
l Diagramas esfuerzo-deformación unitaria

2. EQUILIBRIO

3. EQUILIBRIO ESTÁTICO
Decimos que un cuerpo rígido está en equilibrio
(estático) con respecto a cualquier eje, cuando se
cumplen las dos condiciones:
!
𝒊
𝑭𝒊 = 0 𝒚 !
𝒊
𝝉𝒊 = 0

4. ANÁLISIS GEOMÉTRICO
Las relaciones de equilibrio implican que las fuerzas
que actúan sobre un cuerpo en equilibrio deben estar
contenidas en un solo plano (más de dos fuerzas). Esto
nos permite determinar las fuerzas desconocidas, a
partir de las fuerzas conocidas en el problema.
!
𝒊
𝑭𝒊 = 0

5. TORQUE
De forma análoga, la otra condición de equilibrio nos
indica que el mismo torque neto que ingresa al plano,
debe ser igual en magnitud al torque neto que sale
del plano de las fuerzas: 𝝉𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟎

6. CENTRO DE GRAVEDAD
Si las dimensiones del cuerpo rígido son pequeñas,
comparadas con el radio de la Tierra, se puede
suponer que la aceleración gravitacional para todas
las partículas del cuerpo es uniforme. En este caso,
el centro de gravedad y el centro de masas coinciden
y el torque gravitatorio se obtiene como:
⃗
𝜏% = &
𝒊
𝒎𝒊𝒓𝒊×𝒈 = 𝒓𝒄𝒎×𝑴𝒈

7. ESTRATEGÍA DE ANÁLISIS
l 1) Para guiarnos, identificamos las fuerzas y sus
puntos de aplicación
l 2) Escogemos un eje que nos convenga y
calculamos los torques respecto a ese eje
l 3) Escogemos un sistema de coordenadas que nos
convenga y calculamos la suma de fuerzas
l 4) Usamos el álgebra necesaria para relacionar las
variables de interés.

8. ELASTICIDAD Y
DEFORMACIONES

9. Sólidos
La materia y los
átomos.

10. Sólidos
Enlaces.
Covalente
Ionico

11. Sólidos
Como se constituye la materia

12. Sólidos
Red cristalina

13. Sólidos
Red cristalina

14. Sólidos
Red cristalina

15. Sólidos
Fallas en materiales

16. Sólidos
El resultado del comportamiento atómico
determina las propiedades macroscópicas.
Propiedades mecánicas.
• Dureza
• Modulo elástico
• Resistencia a la tracción.
• Limite elástico
• Ductilidad

17. Solidos: módulo de elasticidad.
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
= 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒)
1 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 = 1 𝑃𝑎 = 1 𝑁/𝑚!
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 =
𝑙 − 𝑙𝑜
𝑙𝑜
=
Δ𝑙
𝑙𝑜
𝑌 =
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛
=
C
𝐹
𝐴
C
Δ𝑙
𝑙𝑜
=
𝐹𝑙𝑜
𝐴Δ𝑙
𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑌𝑜𝑢𝑛𝑔
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 =
𝐹̝
𝐴

18. módulo de compresibilidad.
𝑝 =
𝐹̝
𝐴
(𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)
1 𝐴𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 1 𝐴𝑡𝑚 = 1.013𝑥10^5 𝑃𝑎 = 14.7 𝑙𝑏/𝑖𝑛^2
Deformación volumétrica=
BC
CD
𝐵 =
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
=
Δ𝑝
N
Δ𝑉
𝑉𝑜
𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜
𝑘 =
1
𝐵
= −
N
Δ𝑉
𝑉𝑜
Δ𝑝
= −
Δ𝑉
𝑉𝑜Δ𝑝
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

19. Esfuerzo y deformación por
corte
Esfuerzo de corte=
Uǁ
V
Deformacion por corte=
W
X
𝑆 =
"#$%&'() *& +)',&
-&$)'./+0ó2 3)' +)',&
=
4
!ǁ
#
⁄
$
%
=
67ǁ
89
𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 corte
Actúa una Fuerza paralela a un eje del objeto
También se dice esfuerzo de cizalla o corte

20. Esfuerzo y deformación

21. EJEMPLOS y EJERCICIOS
l Pongamos en práctica lo aprendido. Para ello, les
hemos preparado un par de ejemplos resueltos.

22. EJEMPLOS y EJERCICIOS
PREGUNTA 1: Una persona de masa m se sienta en el extremo izquierdo de una
barra horizontal, de longitud L y masa M (M>m), distribuida uniformemente, que puede
girar respecto a un pivote. Si se desea que la barra no gire, entonces el pivote debe
estar ubicado:
A. En el centro de masas de la barra.
B. En el centro de masas del sistema.
C. Entre el centro de la barra y su extremo derecho.
D. En el extremo derecho de la barra.
E. En el extremo izquierdo izquierdo.
Respuesta: Opción B debido a que el centro de masas coincide con el centro de
gravedad.

23. EJEMPLOS y EJERCICIOS
PREGUNTA 2:
Se tienen dos cilindros de igual longitud y grosor, pero hechos de dos materiales
distintos. Entonces, si se aplica el mismo esfuerzo a cada cilindro podemos afirmar
que, en el régimen elástico
A. Ambos sufren la misma deformación unitaria e igual cambio de longitud.
B. Ambos sufren la misma deformación unitaria pero diferente cambio de longitud.
C. El de mayor módulo de Young se deforma menos.
D. El de mayor módulo de Young se deforma más.
E. Los dos tienen el mismo módulo de Young porque sufren el mismo esfuerzo y
tienen la misma geometría.
Respuesta: Opción C debido a que, a mayor módulo de Young se debe tener una
menor deformación unitaria para que el esfuerzo sea el mismo.

24. EJEMPLOS y EJERCICIOS
1) Considere una escalera uniforme de longitud L y masa
M que descansa en contacto con una pared vertical lisa y
un piso rugoso, de coeficiente de roce estático μ. Calcule
el ángulo crítico que puede formar la escalera con el piso
sin deslizar

25. EJEMPLOS y EJERCICIOS
1) Considere una escalera uniforme de longitud L y masa
M que descansa en contacto con una pared vertical lisa y
un piso rugoso, de coeficiente de roce estático μ. Calcule
el ángulo crítico que puede formar la escalera con el piso
sin deslizar
𝑵𝟏 = 𝒇𝒔 𝑵𝟐 = 𝑴𝒈
𝑵𝟏𝑳𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝑴𝒈
𝑳
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝜽𝒄 = 𝒕𝒂𝒏L𝟏
𝟏
𝟐𝝁𝒔
𝝁𝒔𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟐
𝒇𝒔𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝑴𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟐

26. EJEMPLOS y EJERCICIOS
2) Considere los bloques de la figura. Si la cuerda soporta
una tensión máxima 2Mg, determine el valor del ángulo
que forma la cuerda inclinada, medido respecto al techo

27. EJEMPLOS y EJERCICIOS
2) Solución: sea θ el ángulo que forma la tensión T1 con
el techo. Entonces, usamos el diagrama de fuerzas sobre
el bloque de la izquierda (el otro es equivalente)
𝑻𝟏𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑻𝟐
𝜽𝒄 =
𝝅
𝟔
𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄 =
𝟏
𝟐
𝑻𝟏𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝑴𝒈
𝑻𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝑴𝒈

28. EJEMPLOS y EJERCICIOS
3) Calcule la fuerza FM requerida por el músculo “deltoides” para
mantener estirado el brazo mostrado en la figura. La masa total del
brazo es 3.3 kg. calcule la magnitud de la fuerza FJ ejercida por la
articulación del hombro sobre la parte superior del brazo y el
ángulo (con la horizontal) en que actúa.

29. EJEMPLOS y EJERCICIOS
3) Solución: Diagrama de cuerpo libre
a) ∑ 𝐹! = 𝐹"! − 𝐹#𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
b) ∑ 𝐹$ = 𝐹# 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚𝑔 − 𝐹"$ = 0
De a) encontramos FJx y de b) FJy.
𝐹"! = 𝐹#𝑐𝑜𝑠𝜃 = 241.4 𝑁
𝐹"$ = 𝐹# 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚𝑔 = 32.3 𝑁
𝐹" = 𝐹"!
% + 𝐹"$
% = 243.6 𝑁
9 𝜏 = 𝐹#𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝑑 − 𝑚𝑔𝐷 = 0
𝐹# =
𝑚𝑔𝐷
𝑑 𝑆𝑒𝑛𝜃
= 249.9 𝑁

30. EJEMPLOS y EJERCICIOS
4) Usted cuelga un proyector de un alambre vertical de acero. El
proyector estira el alambre 0.18 mm y el esfuerzo es proporcional a
la deformación. ¿Cuánto tendría que estirarse si:
i) el alambre tuviera el doble de largo? (15 puntos),
ii) el alambre tuviera la misma longitud, pero el doble de diámetro?

31. EJEMPLOS y EJERCICIOS
4) Solución: 𝑌 =
&! '"
( ∆'
i) 𝑙*% = 2 𝑙*+
∆𝑙
𝑙*
=
𝐹,
𝐴 𝑌
= 𝑐𝑡𝑒
∆𝑙+
𝑙*+
=
∆𝑙%
𝑙*%
∆𝑙%= 2∆𝑙+= 0.36 𝑚𝑚

32. EJEMPLOS y EJERCICIOS
4) Solución: ∆𝑙%= 2∆𝑙+= 0.36 𝑚𝑚𝑑% = 2 𝑑+
𝐴 = 𝜋(𝑑/2)%=
𝜋𝑑%
4
∆𝑙 𝑑% =
4𝐹,𝑙*
𝜋 𝑌
= 𝑐𝑡𝑒
∆𝑙% 𝑑%
%
= ∆𝑙+ 𝑑+
%
∆𝑙%=
∆𝑙+
4
= 0.045 𝑚𝑚

33. EJEMPLOS y EJERCICIOS
5) Disponemos de bloques de construcción distintos. El primer tipo de bloques es de
hormigón, con un módulo de Young de 4,2GPa y un límite elástico de 0,2% que tras
superarlo se rompe y otro de Mármol, con un módulo de Young de 2,4GPa y un límite
elástico de 0,5% de deformación tras el cual, bajo el mismo esfuerzo, se deforma
hasta alcanzar un 1% de deformación y se rompe.
a) Dibujar la curva esfuerzo-deformación para ambos materiales
b) Se preparan columnas de base cuadrada (de 10cm de lado) para sostener una
estructura de 4x104kg de masa ¿Cuál de los dos materiales he de usar sabiendo
que uso 4 columnas iguales para sostener todo el peso? [Usar g=10m/s2]
Justifique su respuesta mediante los cálculos necesarios a tal fin. Estos cálculos
han de realizarse en la zona lineal.

34. CIERRE DE LA CLASE
l Hemos visto los conceptos asociados al
equilibrio y la elasticidad
l Se consideraron las condiciones generales de
equilibrio y resolvimos un par de ejercicios
l Se introdujeron las características de comportamiento
de los materiales sometidos a esfuerzos y las
asociadas deformaciones
l Clasificamos las deformaciones e identificamos las
características principales de los diagramas esfuerzo-
deformación
l En la próxima clase veremos aplicaciones de
elasticidad y deformaciones

35. Gracias