El documento describe diferentes conceptos de métricas en espacios vectoriales. Introduce la noción de distancia euclidiana como una métrica fundamental en Rn que cumple con ciertas propiedades. Luego presenta ejemplos de métricas discretas y continuas en otros espacios como sucesiones y funciones continuas.

1. Espacios M´etricos
El concepto de (norma) nos da una noci´on de distancia, el tener una noci´on de distancia en
R o m´as generalmente en Rn
, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.
Consideremos la noci´on com´un de distancia entre dos puntos en R3
.
Si ¯x = (x1, x2, x3) ¯y = (y1, y2, y3)
¯x − ¯y = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2
Esta distancia la denominamos m´etrica euclidiana y la generalizamos en Rn
en la siguiente
definici´on.
Definici´on: Sean ¯x = (x1, . . . , xn) y ¯y = (y1, . . . , yn) elementos cualesquiera de Rn
definimos la
distancia euclidiana entre ellos como
d(¯x, ¯y) = ¯x − ¯y = (x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2
La funci´on d : Rn
× Rn
→ R se denomina distancia o m´etrica euclidiana.
Proposici´on: Para cualequiera vectores ¯x, ¯y, ¯z Rn
se tiene:
i. d(¯x, ¯y) ≥ 0
ii. d(¯x, ¯y) = d(¯y, ¯x)
iii. d(¯x, ¯y) ≤ d(¯x, ¯z) + d(¯z, ¯y)
iv. d(¯x, ¯y) = 0 ⇒ ¯x = ¯y
Demostraci´on :
1. Como d(x, y) = ¯x − ¯y ≥ 0 entonces d(¯x, ¯y) ≥ 0 tambien si d(x, y) = 0 ⇒
¯x − ¯y = 0 ⇒ ¯x = ¯y
2. d(¯x, ¯y) = ¯x − ¯y = ¯x − ¯y = ¯y − ¯x = d(¯y, ¯x)
1

2. 3. d(¯x, ¯y) = ¯x − ¯y = ¯x − ¯z + ¯z − ¯y ≤ ¯x − ¯z + ¯z − ¯y = d(¯x, ¯z) + d(¯z, ¯y)
M´etrica discreta.- Demostrar que la metrica definida por d(a, b) =



0 a = b
1 a = b
satisface los
axiomas de m´etrica
Demostraci´on :
1. Sean a, b Rn
entonces d(a, b) = 1 ´o d(a, b) = 0 ∴ d(a, b) ≥ 0
2. Sean a, b Rn
Si ¯a = ¯b d(¯a,¯b) = 1 y si ¯b = ¯a d(b, a) = 1 ∴ d(a, b) = 1 =
d(b, a)
Ahora bien si a = b entonces d(a, b) = 0 =
∗
d(b, a)
* Si a = b entonces b = a por lo tanto d(b, a) = 0
3. Sean ¯a, ¯b, ¯c Rn ¯a = ¯b = ¯c
d(¯a,¯b) = 1, d(¯b, ¯c) = 1 y
d(¯a,¯b) = 1
∴ d(a, c) = 1 ≤ 1 + 1 = d(a, b) + d(b, c)
M´etrica C[a, b].- Sea C[a, b] el conjunto de las funciones reales contunias en el intervalo cerrado
[a, b]. Sean f, g C[a, b] definimos
d(f, g) = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|}
demostrar que d es una m´etrica.
Demostraci´on :
1. Como |f(x) − g(x)| ≥ 0 para todo x [a, b] entonces m´ax{|f(x) − g(x)|} ≥ 0
por lo tanto d(f, g) ≥ 0
2. d(f, g) = 0
⇒ m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|} = 0
⇒ |f(x) − g(x)| = 0
⇒ f(x) = g(x) ∀ x [a, b]
2

3. 3. d(f, g) = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|} =
∗
m´ax
x [a,b]
{|g(x) − g(x)|} = d(g, f)
* |f(x) − g(x)| = |g(x) − f(x)| ∀ x
4. d(f, g) = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|}
m´ax
x [a,b]
{|f(x) − g(x)|} = m´ax
x [a,b]
{|f(x) − h(x) + h(x) − g(x)|}
≤ m´ax
x [a,b]
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}
≤ m´ax
x [a,b]
{|f(x) − h(x)|} + m´ax
x [a,b]
{|h(x) − g(x)|}
∴ d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)
Probar que en el espacio de sucesiones {an} de n´umeros reales tales que
∞
1
|an| < ∞.
La aplicaci´on d(xn, yn) =
∞
1
|xn − yn| es una distancia.
Prueba :
1. Como |xn − yn| ≥ 0 ∀ n N entonces
∞
1
|xn − yn| ≥ 0
por lo tanto d(xn, yn) ≥ 0
2. d(xn, yn) = 0
⇒
∞
1
|xn − yn| = 0
⇒ |xn − yn| = 0 ∀ n N
⇒ xn − yn = 0 ∀ n N
⇒ xn = yn
3. d(xn, yn) =
∞
1
|xn − zn|
∞
1
|xn − zn| ≤
∞
1
|xn − yn| + |yn − zn|
=
∞
1
|xn − yn| +
∞
1
|yn − zn|
= d(xn, yn) + d(yn, zn)
3

4. Ejercicio: Sea d una m´etrica de un conjunto no vacio X. Demostrar que la funci´on e definida
por e(a, b) = m´ın(1, d(a, b)) donde a, b X tambien es una m´etrica de X.
Soluci´on :
1. Sean a, b X. Puesto que d es una m´etrica d(a, b) ≥ 0 entonces e(a, b) = 1
´o e(a, b) = d(a, b) ≥ 0, en cualquier caso e(a, b) ≥ 0
2. Si a = b entonces e(a, b) = m´ın(1, d(a, b)) = m´ın(1, 0) = 0
3. Sea a, b X. Por definici´on e(a, b) = d(a, b) ´o e(a, b) = 1
Supongamos e(a, b) = d(a, b)) entonces d(a, b) < 1.
Puesto que d(a, b) es una m´etrica d(a, b) = d(b, a) < 1. En consecuencia e(b, a) =
d(a, b) = e(a, b), por otro lado sup´ongase que e(a, b) = 1, entonces d(a, b) ≥ 1
∴ d(b, a) ≥ 1
por lo tanto e(a, b) = 1 = e(b, a)
Sean ahora a, b, c X. Demostremos la desigualdad triangular. Por demostrar e(a, c) ≤
e(a, b) + e(b, c)
Observese que e(a, c) = m´ın{1, d(a, c)} ≤ 1 de donde e(a, b) = 1 ´o e(b, c) = 1
∴ e(a, c) ≤ e(a, b) + e(b, c) pero puede ocurrir e(a, b) < 1 y e(b, c) < 1
∴ e(a, b) = d(a, b) e(b, c) = d(b, c)
por lo tanto e(a, c) = m´ın(1, d(a, c)) ≤ d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) = e(a, b) + e(b, c).
Sea d(f, g) =
1
0
|f(x) − g(x)| ¿Es d una m´etrica?
Soluci´on: No, ya que si consideramos f(x) = 0 ∀ x, g(x) =



0 0 ≤ x ≤ 1
1 x = 1
entonces
f(x) − g(x) = 0 pero f = g
∴ d no es una m´etrica.
4

5. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
TAREA 5
Profa. Ana Belem Zavaleta Ramos, Profa. Pamela Villamil Sapi´en, Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz
1.- Demostrar la f´ormula para calcular la torsi´on de una funcion vectorial f(t)
τ =
[f (t)xf (t)] · f (t)
f (t)xf (t) 2
2.- Si f(s) es la reparametrizaci´on por longitud de arco de una funci´on f(t), demostar que
τ =
[f (t)xf (t)] · f (t)
f (t)xf (t) 2
3.- Calcular la torsi´on de la h´elice f(t) =
1
√
2
(cos(t) sin(t), t)
4.- Mostar que si una trayectoria est´a en un plano, entonces su torsi´on es cero.
5.- Demostrar la desigualdad de Minkowski: Dados un par de puntos cualesquiera p = (a1, . . . , an)
y q = (b1, . . . , bn) de Rn
, p+q ≤ p + q es decir |ai + bi|2 ≤ |ai|2 + |bi|2
(Sugerencia: Desarrolle p + q 2
y use la desigualdad de Schwarz demostrada en clase)
6.- Demostar la desigualdad de Minkowski para sumas infinitas: Si {an}, {bn} son sucesiones
tales que
∞
1
|an| < ∞,
∞
1
|bn| < ∞, entonces an+bn ≤ an + bn es decir
∞
1
|an + bn|2 ≤
∞
1
|an|2 +
∞
1
|bn|2
7.- Sea d una m´etrica de un conjunto no vacio X. Demostrar que la funci´on e definida por
e(a, b) =
d(a, b)
1 + d(a, b)
, donde a, b ∈ X, es una m´etrica de X.
fecha de entrega 22 de marzo.
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