El documento introduce los conceptos de espacio métrico y métrica. Define una métrica como una función que cumple con las propiedades de positividad, simetría y triangularidad. Un espacio métrico consiste en un conjunto no vacío junto con una métrica definida sobre él. Luego, presenta varios ejemplos de espacios métricos comunes como el espacio métrico discreto, el espacio euclídeo n-dimensional y espacios métricos definidos usando la distancia suprema.

1. ´Indice general
Introducci´on 3
1. Espacios M´etricos 5
1

2. 2 ´INDICE GENERAL

3. Introducci´on
3

4. 4 Introducci´on

5. Cap´ıtulo 1
Espacios M´etricos
Definici´on 1.1 Una metrica o funci´on distancia sobre un conjunto X es una fun-
ci´on de valores reales d definida sobre X ×X que satisface las siguientes condiciones
para cualesquiera x, y, z ∈ X :
1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 si y s´olo si , x = y,
2. d(x, y) = d(y, x),
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
La propiedad 1) recibe el nombre de propiedad de positividad; la propiedad 2) es la
propiedad de simetr´ıa , la propiedad 3) es la propiedad triangular.
Definici´on 1.2 Un espacio m´etrico (X, d) es un conjunto arbitrario no vac´ıo X y
una m´etrica d definida sobre X.
Ejemplos 1.3 Espacios m´etricos
1. Sea X un conjunto no vac´ıo y d la funci´on definida sobre X×X de la siguiente
forma
d(x, y) =
0, si x = y
1, si x = y
Evidentemente d tiene la propiedad de positividad y la de simetr´ıa.
Sean x, y, z ∈ X. Si d(x, z) = 0, entonces d(x, z) = 0 = 0+0 ≤ d(x, y)+d(y, z).
Si d(x, z) = 1, entonces x = z, entonces x = y, o y = z, entonces d(x, y) = 1
o d(y, z) = 1, entonces d(x, y) + d(y, z) ≥ 1 = d(x, z). A esta m´etrica se le
denomina la m´etrica discreta sobre X y a (X, d) se le llama un espacio m´etrico
discreto.
5

6. 6 CAP´ITULO 1. ESPACIOS M´ETRICOS
2. Designamos por Vn(R) al conjunto de todas las n-uplas (α1
, · · · , αn
) de n´ume-
ros reales. Definimos la funci´on d de Vn(R) × Vn(R) hacia R as´ı: si x =
(α1
, · · · , αn
) y y = (β1
, · · · , βn
) son dos puntos cualesquiera de Vn(R), en-
tonces
d(x, y) =
n
i=1
(αi
− βi
)2
1
2
.
Obviamente d tiene la propiedad de positividad y de simetr´ıa.
Si x = (α1
, · · · , αn
) y y = (β1
, · · · , βn
) son dos puntos cualesquiera de
Vn(R), y α0 es cualquier n´umero real, entonces:
0 ≤
n
i=1
(αi
− α0βi
)2
=
n
i=1
(αi
)2
− 2α0
n
i=1
αi
βi
+ α2
0
n
i=1
(βi
)2
.
Si
n
i=1
(βi
)2
= 0, hacemos α0 =
n
i=1
αi
βi
n
i=1
(βi
)2
−1
.
Entonces α0
n
i=1
αi
βi
=
n
i=1
αi
βi
2 n
i=1
(βi
)2
−1
y
α2
0
n
i=1
(βi
)2
=
n
i=1
αi
βi
2 n
i=1
(βi
)2
−2 n
i=1
(βi
)2
=
n
i=1
αi
βi
2 n
i=1
(βi
)2
−1
.
Entonces
0 ≤
n
i=1
(αi
)2
−
n
i=1
αi
βi
2 n
i=1
(βi
)2
−1
,
entonces
n
i=1
αi
βi
2
≤
n
i=1
(αi
)2
n
i=1
(βi
)2
Esta ´ultima desigualdad recibe el nombre de desigualdad de Cauchy-Schwarz
y es valida tambi´en cuando
n
i=1
(βi
)2
= 0. Sean x, y, z puntos cualesquiera
de Vn(R). Hagamos x − y = (α1
, · · · , αn
) y y − z = (β1
, · · · , βn
), entonces
x − z = (x − y) + (y − z) = (α1
+ β1
, · · · , αn
+ βn
).

7. 7
Entonces
[d(x, z)]2
=
n
i=1
(αi
+ βi
)2
=
n
i=1
(αi
)2
+ 2
n
i=1
αi
βi
+
n
i=1
(βi
)2
≤
n
i=1
(αi
)2
+ 2 (
n
i=1
(αi
)2
)(
n
i=1
(βi
)2
)
1/2
+
n
i=1
(βi
)2
=


n
i=1
(αi
)2
1/2
+
n
i=1
(βi
)2
1/2


2
= [d(x, y) + d(y, z)]2
;
entonces d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Por lo tanto d cumple la desigualdad
triangular y es consecuentemente una m´etrica sobre Vn(R).
3. Definimos la funci´on d de Vn(R)×Vn(R) en (R) as´ı: si x = (α1
, · · · , αn
) y y =
(β1
, · · · , βn
) , entonces d(x, y) = sup {|αi
− βi
| : i ∈ Pn} . Evidentemente d
tiene las propiedades de positividad y de simetr´ıa. Demostremos que d satisface
la desigualdad triangular. Sen x, y, z puntos cualesquiera de VnR. Hagamos
x−y = (α1
, · · · , αn
) y y−z = (β1
, · · · , βn
), entonces x−z = (x−y)+(y−z) =
(α1
+ β1
, · · · , αn
+ βn
); entonces d(x, z) = sup {|αi
+ βi
| : i ∈ Pn} = |αk
+ βk
|
para alg´un k ∈ Pn; entonces
d(x, z) = |αk
+ βk
|
≤ |αk
| + |βk
|
≤ sup{|αi
| : i ∈ Pn} + sup{|βi
| : i ∈ Pn}
= d(x, y) + d(y, z).
4. Definimos la funci´on d de Vn(R) × Vn(R) en R as´ı: si x = (α1
, · · · , αn
) y
y = (β1
, · · · , βn
),