El documento presenta una definición y propiedades sobre el cálculo de primitivas. Explica que una función F es primitiva de otra f si la derivada de F es igual a f. Luego, detalla algunas primitivas inmediatas como la integral de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y racionales.

1. Cálculo de Primitivas.
Definición: Una función F es una primitiva de otra f si la derivada
de la primera coincide con la segunda.
 f xdx  F x  F ' x  f x
x.
Si F es una primitiva de f , para cualquier constante c la función
G  F  c también es una primitiva de f . En efecto,
G' x   F ' x  x.
Definición: Se llama integral indefinida de una función f al
conjunto de todas sus funciones primitivas. Si F es una de ellas, la
integral indefinida de f es el conjunto de todas las funciones que
resultan de sumar a F una constante arbitraria.
 f xdx  F x  c.
Propiedades útiles para el cálculo:
1.
2.
  f x  g xdx   f xdx   g xdx.
 kf xdx  k  f xdx.
1

2. Cálculo de Primitivas.
Algunas primitivas inmediatas:
 dx  x  c.
f x 
f ' x dx 
 c,   1.
 1
x 1
 x dx    1  c,   1.
 f x 
1
 x dx  ln x  c.

e x dx  e x  c.

e f  x  f ' x dx  e f  x   c.

1 x
 a dx  ln a a  c, a  0.
a f  x  f ' x dx 

 sen x dx   cos x  c.
 sen f x f ' x dx   cos f x  c.
 cos x dx  sen x  c.
 cos f x f ' x dx  sen f x  c.

x

 1
f ' x 
dx  ln f x   c.
f x 
1 f x
a  c, a  0.
ln a
2

3. Cálculo de Primitivas.
Algunas primitivas inmediatas:
1
 cos 2 x dx  tg x  c.
f ' x 
 cos 2 f x  dx  tg f x   c.
1
 sen 2 x dx   cotg x  c.
f ' x 
 sen 2 f x  dx   cotg f x   c.
1
 1  x 2 dx  arctg x  c.
f ' x 
 1  f x 2 dx  arctg f x   c.
1
 1  x 2 dx  arc cotg x  c.
 f ' x 
 1  f x 2 dx  arc cotg f x   c.


1
1 x
1
1 x
2
2
dx  arcsen x  c.

dx  arc cos x  c.

f ' x 
1  f x 
 f ' x 
2
1  f x 
2
dx  arcsen f x   c.
dx  arc cos f x   c.
3

4. Derivadas de funciones arc
Derivada de
f x   arcsen x.
Despejando, sen f x   x.
Derivando, cos f x  f ' x   1.  f ' x  
1
.
cos f x   f ' x   1 .
Por otro lado,
2
1 x2
sen f x   x.  cos f x   1  x .
Derivada de
f x   arctg x.
tg f x   x.
f ' x 
Derivando,
 1.  f ' x   cos 2 f x .
cos 2 f x 
sen f x 
Por otro lado, tg f x   x. 
 x.  x cos f x   sen f x .
cos f x 
1
2
2
2
2
f ' x  
.
 x cos f x   sen f x   1  cos f x .
2
1 x
1
 1  x 2 cos 2 f x   1.  cos 2 f x  
.
2
1 x
4
Despejando,



5. Cálculo de Primitivas: reducibles a inmediatas.
Ejercicio: Resuelva
 sen4 xdx.
 e
e
x
x2
(t)

5
1  3x
 5 e x dx. (p)
 x 3x
x dx.
2
 tg x dx.
4
(e)
1
 9  5x 2 dx. (t)
cos x sen 3 x dx. (p)



x
1
2  4x
2
dx. (t)
2

3

3
 16 dx. (p)
17 x
3
6x  8
x2 7 x

2
3
dx. (p)
5
(L)
dx. (p)
dx.
(e)
2sen x  cos x 
 sen x  cos x dx. (L)
5

6. Cálculo de Primitivas: reducibles a inmediatas.
Ejercicio: Resuelva
ex
1
 3x  16 dx. (p)

2x
 3x 2  4 dx. (L)
cos x
 sen 2 x dx.

x
dx. (e)
arctg x
 1  x 2 dx.
7

7
2x
5
(p)
(p)
1  x arcsen x
2
(p)

(L)
1
 sen x cos x dx.
2x
dx.
dx.
1

x
6
e 5
x
sen x cos xdx.
2 sen x 3
xe
dx. (L)
cos x 3dx.
(e)
(L)
3
x
(p)
5
 x 2 dx.
(e)
6

7. Cálculo de Primitivas: Por partes.
Proposición: Sean u y v funciones diferenciables. Se cumple que
 ux v' x dx  ux vx   vx u' x dx.
En efecto,
u  v ' x  u' x vx  ux v' x.
ux  v' x   u  v  ' x   u' x  vx .
Usando la notación habitual,
 u dv  u v   v du.
7

8. Cálculo de Primitivas: Por partes.
Algunos usos útiles:
1. Polinómica por trascendente.
 Px lnux dx.
Px  e dx.

(p)
x
u
sen x 
 Px  cos x  dx.

u 
2. Trascendente.
Aplicación reiterada
para reducir
sucesivamente el
grado del polinomio.
 lnux dx.
 arcsen x dx,  arc cos x dx,  arctgx dx,
u
u
u
3. Trascendente por trascendente.
sen x 
 e cos x  dx.


x
Circular. La elección de
irrelevante.
u es
8

9. Cálculo de Primitivas: Por partes.
Ejercicio: Resuelva
x 2 ln x dx.

e x sen x dx.

x 2e x dx.

 2 x sen x dx.
 x ln x 1 dx.
 ln x
2
dx.
2
3
 arcsen x dx.
 x
 arc tg x dx.
earcsen x dx. (Circular)

2

 5 e  x dx.
9

10. Cálculo de Primitivas Racionales
I. Si n  m,
Rq x 
Pn x 
 Qm x dx   C xdx   Qm xdx.
q  m (II)
(p)
Pn x 
 Qm x  dx.
II.1. (RRS) Raíces reales simples. r1 , r2 ,..., rm  R, mi  1
A
P x 
A
A
 1  2  ...  m .
Qx  x  r1 x  r2
x  rm
(L)
II.2. (RRM) Raíces reales múltiples. r  R m    1.
B
B1
B2

 ... 
.
2

x  r x  r 
x  r 
(L y P)
II.3. (RIS) Raíces imaginarias simples. r  C
r    i,
Mx  N
.
2
2
x     
m  1.
(arctg y/o L)
II.4. (RIM) Raíces imaginarias múltiples: Método de Hermite.
Ai
Bj
M
N
Sistema lineal de ecuaciones (dando
valores o identificando coeficientes)
II. Si n  m, cálculo de raices de Q , x / Qx   0.
10

11. Cálculo de Primitivas Racionales
II.3. (RIS) Raíces imaginarias simples. r    i,
Mx  N
M x     M  N
dx  
dx 
2
 x   2   2
2
x     

M
2
2x   
M  N
dx  
dx
2
 x   2   2
2
x     
ln x      2
2
M  N
M  N
 x   2   2 dx   2

M  N



1
 x  
1 
  



1

2
dx 
dx
M  N
 x  
arctg
  .




 x  
1 
  



 x  
Mx  N
M
M  N
2
dx 
ln x      2 
arctg
    c.

 x   2   2
2



2
11

12. Cálculo de Primitivas Racionales
Ejercicio: Resuelva
*
x3  2 x
 x 2  4 dx.
56 x 3  18 x 2  4
 7 x 4  3x3  2 x  39 dx.
*
2 x3  7 x 2  9 x  5
dx. (RRM)
4
3

x x
x2  x
 x3  7 x  6 dx. (RRS)
x 4  x3  x  1
 x3  3x 2 dx.
x4 1
 x5  x 4  x3  x 2 dx. (RRM)
x2
dx.
*  2
x  6 x  13
(RRM)
(RIS)
x4
*  x 3  x 2  x  2 dx. (RIS)
12

13. Cálculo de Primitivas Racionales
Ejercicio: Resuelva
x3
 x 2  4 x  3 dx. (RRS)
1
 x3  x 2  x dx.
3x  5
 x3  x 2  x  1 dx. (RRM)
x5  x 4  x3  2 x 2  2
dx.
2

x 1
8x 2  6 x  6
*
 x3  3x 2  7 x  5 dx. (RIS)
*
 9x
1
2
1
dx.
(RRS)
(RIS)
1
 x 4  4 x 2 dx. (RIS)
x 4  x3  x
 x3  3x 2  13x  15 dx. (RRM)
13

14. Cálculo de Primitivas. Cambio de variable.
Sea f : D  R  R una función continua. Y sea g : D '  R  R
una función de clase C 1 tal que g D'  D. Entonces
 f x dx   f g t g ' t dt.
Los elementos para el cambio de variable: x  g t , dx  g ' t dt.
1
Para deshacer el cambio: t  g x .
2
1
dx  
dt  arctg t  c  arctg 2 x  c.
Ejemplo: 
2
2
1  4x
1 t
t
x  g t   ,
2
t  2x.
2 x  t , 2dx  dt.
t  g 1 x   2 x.
Dem.: Por un lado,
 f x dx  F x  F ' x  f x.
Por otro lado, la derivada de la función compuesta F  g t   F g t 
es
Por tanto,
F  g ' t   F ' g t g ' t   f g t g ' t .
F g t  es una primitiva de f g t g ' t . Esto es,
 f g t g ' t dt  F g t   F x.
14

15. Cálculo de Primitivas. Cambio de variable.
Ejemplos:
x e
2 sen x 3
1
 x 1  x dx.
cos x dx. t  sen x3 .
3
1
 x 4  ln 2 x dx.

earcsen x dx.


t  1  x.
ln 2 x
 x ln 4 x dx. t  ln x.
x
arctg
2 dx. t  arctg x .
 4  x2
2
t  ln x.
t  arcsen x.
(Circular)
 
 
 
P ax
Cambio para racionales de una exponencial.  R a dx  
dx.
x
Qa
1
1
1
x
x
a  t , dx 
dt.
 R a dx  ln a  Rt  t dx.
ln a  t
x
 
Ejemplos:
1
 e2 x  e x dx.
4 x  2  42 x
 42 x  1 dx.
15

16. Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
 Rsen x, cos xdx.
I. Cambio impar en seno. R sen x, cos x    Rsen x, cos x .
t  cos x. sen x  1  t . dt   sen x dx, dx 
1
2
II. Cambio impar en coseno.
1 t
2
dt.
Rsen x, cos x   Rsen x, cos x .
t  sen x. cos x  1  t 2 . dt  cos x dx, dx 
1
1 t
2
dt.
III. Cambio par en seno y coseno. R sen x, cos x   Rsen x, cos x .
t  tg x. cos x 
1
1 t 2
, sen x 
t
1 t 2
.
dx 
1
dt.
2
1 t
IV. Cambio general.
x
1 t 2
2t
t  tg . cos x 
, sen x 
.
2
2
2
1 t
1 t
dx 
2
dt.
2
1 t
16

17. Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
III. Cambio par en seno y coseno. R sen x, cos x   Rsen x, cos x .
t  tg x.
sen x
1  cos 2 x
t

.
cos x
cos x


t cos x  1  cos 2 x .  t 2 cos 2 x  1  cos 2 x.  t 2  1 cos 2 x  1.
cos x 
t cos x  sen x 
t
1 t 2
,
x  arctg t  dx 
1
1 t
2
,
dt
.
2
1 t
17

18. Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
IV. Cambio general.
x
t  tg .
2
cos(a  b)  cos a cos b  sen a sen b,
cos(a  b)  cos a cos b  sen a sen b.
cos(a  b)  cos(a  b)  2 cos a cos b.
cos 2a  1
x cos x  1
.  cos 2 
.
2
2
2
x
x
cos x  1 1  cos x
sen 2  1  cos 2  1 

.
2
2
2
2
x
sen 2
x
2  1  cos x  t 2 .  1  cos x  t 2 1  cos x .
tg2 
2 cos 2 x 1  cos x
1 t 2
2
2
2
 1  t  1  t cos x.  cos x 
.
2
1 t
2
1 t 2
4t 2
2t
2
2
 sen x  1  cos x  1 

.  sen x 
.
2
2 2
2 2
1 t
1 t
1 t
cos 2a  cos 0  2 cos 2 a.  cos 2 a 




 
x
2
t  tg .  x  2 arctg t  dx 
dt.
2
2
1 t


18

19. Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.
Ejercicio: Resuelva
*
sen x
dx. impar
 3 cos 2 x  sen 2 x
seno
cos x
dx.
* 
2
1  sen x
impar
coseno
sen x cos 2 x
 1  9 cos 2 x dx.
cos x
 1  4 cos 2 x dx.
*
impar
seno
impar
coseno
 tg
4
x dx.
(par)
1
dx.
*
1  2 sen x  cos x
1  cos x
dx.
*
1  cos x
2
*  3  cos 2 x dx.
1
 sen x dx.
cambio
general
cambio
general
cambio
general
impar
seno
sen 2 x  2 cos 2 x
 sen x cos x dx. (par)
19

20. Otras Primitivas Trigonométricas.
Las razones de la suma y la diferencia nos permiten resolver
algunos tipos de primitivas trigonométricas.
A partir del seno de la suma y la diferencia tenemos
sen a  b   sen a cos b  cos a sen b,
sen a  b   sen a cos b  cos a sen b.
sena  b  sena  b  2 sen a cos b.
I. Seno por coseno.
 sen x cos x dx  
sena  b   sena  b 
sen a cos b 
.
2
sen   x  sen   x
dx.
2
20

21. Otras Primitivas Trigonométricas.
A partir del coseno de la suma y la diferencia,
cos(a  b)  cos a cos b  sen a sen b,
cos(a  b)  cos a cos b  sen a sen b.
(1)
(2)
cos(a  b)  cos(a  b)  2 cos a cos b.
II. Coseno por coseno.
cos(a  b)  cos(a  b)
cos a cos b 
.
2
cos(   ) x  cos(   ) x
dx.
 cos x cos x dx  
2
De (2) – (1)
cos(a  b)  cos(a  b)  2 sen a sen b.
sen a sen b 
III. Seno por seno.
 sen x sen x dx  
cos(a  b)  cos(a  b)
.
2
cos(   ) x  cos(   ) x
dx.
2
21

22. Otras Primitivas Trigonométricas.
Ejemplos:
1
 sen 7 x cos 5x dx  2  sen12 x  sen 2 x dx.
1
1
 cos 7 x sen 5x dx  2  sen12 x  sen 2 x dx  2  sen12 x  sen 2 x dx.
1
cos 2 x cos x dx   cos 3x  cos x dx.

2
1
1
 cos 2 x cos 5x dx  2  cos 7 x  cos 3x dx  2  cos 7 x  cos 3x dx.
1
sen 7 x sen 2 x dx   cos 5 x  cos 9 x dx.

2
22

23. Cálculo de Primitivas Irracionales.
I. Irracionales del tipo
pn
p1
p2


  ax  b  q1  ax  b  q2
 ax  b  qn 
 R x,  cx  d  ,  cx  d  ,...,  cx  d  dx. pi , qi  N .
 


 
 


ax  b 
Cambio de variable:
 t ,   m.c.m.q1 , q2 ,..., qn .
cx  d
Ejemplos:

4
x 1  2
t2 3
dx  4 2
t dt.
t 4
x 1  4

x  1  t 4 , 4  m.c.m.4,2.
x3  3 x
t 18  t 4 11
dx  12
t dx.
3
4
6t
6 x
x  t12 , 12  m.c.m.2,3,4.
1
6t 2
1
dt  3 2
dt.
dx   3
3

3 2
2t
t 1 t
x
1 t
3
t
x
3
1 t
x2
x  t 3 x  2  t 3 x  2t 3 ,
3
x
6t 2
3
2t
 t , 3  m.c.m.3.
dt. 23
x
. dx 
3 2
3
x2
1 t
1 t
1







24. Cálculo de Primitivas Irracionales.


R x, ax 2  bx  c dx, a  0.

Reducibles a racionales trigonométricas.
II. Irracionales del tipo
2
Paso 1: Expresión de ax  bx  c como suma o diferencia de
cuadrados, au 2  2 , ó au 2  2 .
 2
b
b2
b2 
 2 b 
ax 2  bx  c  a x  x   c  a  x  2 x  2  2   c
a 
2a
4a
4a 


2
2

b 
b2 
b  b2

 a  x    2   c  a x   
 c  au 2  2 .
2 a  4a 
2 a  4a




b
u  x .
u2
 2
2a
b
b 2  4ac

.
O bien, a partir de las raices de ax 2  bx  c ,
2a
2a
A
B
2
2
2
2
2
B 2  0  B  R,
ax  bx  c  a x  A  B  ax  A  a B .


 au   .
2
2
B 2  0  B  C.
24

25. Cálculo de Primitivas Irracionales.


R x, ax 2  bx  c dx, a  0.

Reducibles a racionales trigonométricas.
II. Irracionales del tipo
Paso 2: Cambio de variable.
a  0, au 2  2 . au 2  2 tg2 t.
II.I.
2
2
2
2
2
II.II. a  0, au   . au   sec t.
II.III. a  0, au   . au   sen t.
2
II.I.
a  0,
II.II.
a  0,
II.III.
2
2
2
2
descartamos
a  0, au 2  2
porque en ese caso
au 2  2  R.
sen 2 t
1

au     tg t    
1  

.
2
2
cos t
cos t cos t
2
2
2
2
2
1
1  cos 2 t
sen t
au     sec t    
1  

.
2
2
cos t
cos t
cos t
2
a  0,
2
2
2
2
au 2  2   2 sen 2 t  2   1  sen 2 t   cos t.
25

26. Cálculo de Primitivas Irracionales.
Ejemplo:

x 2  4 x  13 dx.
x 2  4 x  13  x 2  2  2  x  4  4  13  x  2  32.
2
x  2  u, dx  du.

x 2  4 x  13 dx   u 2  32 du  
sen 2 t
3
2
3
3
dt
2
2
cos t
cos t
2
u 2  32 tg2 t , du 
 9
3
dt.
2
cos t
1
sen 2 t  cos 2 t 1
dt.
dt  9
3
2
2
cos t
cos t
cos t
26

27. Cálculo de Primitivas Irracionales.
 x  2
Ejemplo:
1
 x  4x  3
2


dx.


 x2  4x  3   x2  2  2x  3   x2  2  2x  4  4  3
 x  2  4  3  x  2  1.
2
2
x  2  u, dx  du.
 x  2
1
 x  4x  3
2
dx  
1
u 1 u
2
dx
u 2  sen 2 t , du  cos t dt.

1
sen t 1  sen 2 t
cos tdx  
1
dx.
sen t
27

28. Cálculo de Primitivas Irracionales.
Ejemplo:

x 2  2 x  3 dx.
x 2  2 x  3  x 2  2 1x  1  1  3  x  1  4.
2
x  1  u, dx  du.

x  12  4 dx  
x 2  2 x  3 dx  
u 2  4 sec2 t , u  2 sec t 

Ejemplo:
u 2  4 dx
2
2 sen t
, du 
dt.
2
cos t
cos t
4
2 sen t
sent sent
sen 2t
4
dt  4
dt  4
dt.
2
2
2
3
cos t
cos t
cos t cos t
cos t

9  4x2
dx.
x
28