El documento introduce el concepto de espacio vectorial como una generalización abstracta que engloba conceptos matemáticos como vectores, matrices, polinomios y series. Explica que la abstracción y generalización son claves en las matemáticas y que el objetivo es desarrollar una teoría común que se pueda aplicar a diferentes contextos sin cambios.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como soluciones generales, particulares y singulares. También cubre problemas de valor inicial y el teorema de existencia y unicidad de soluciones. Finalmente, detalla métodos para resolver ecuaciones de variables separables, homogéneas, exactas y lineales de primer orden.
Este documento discute métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Explica cómo resolver ecuaciones lineales homogéneas dependiendo de si las raíces de la ecuación característica son reales y distintas, reales e iguales, o complejas. También cubre métodos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, incluyendo el método de los coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros. Finalmente, presenta algunos problemas de ejemplo.
Este documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales. Incluye introducciones a ecuaciones diferenciales ordinarias y métodos elementales para resolverlas, como el método de variables separadas. También cubre temas como ecuaciones de primer orden no lineales, ecuaciones diferenciales de orden superior, sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y series de potencias. Finaliza con introducciones a ecuaciones en derivadas parciales, la teoría de Sturm-Liouville y el cálculo variacional. Contiene ejemplos y ejercicios resu
Algebra básica conjuntos numéricos-carlos gamonal-2010Gamonal Carlos
El documento describe los diferentes conjuntos de números, incluyendo naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números irracionales surgieron de la necesidad de representar raíces cuadradas no exactas en geometría. También define el conjunto de los números reales como la unión de todos los otros conjuntos numéricos y representa gráficamente las relaciones entre ellos.
Este documento describe las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial se define como y = a^x donde a es la base y puede ser cualquier número real positivo distinto de 1. También describe el dominio, rango y gráfica de funciones exponenciales, así como cómo resolver ecuaciones exponenciales y cómo funciona el interés compuesto cuando los intereses se capitalizan periódicamente.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como soluciones generales, particulares y singulares. También cubre problemas de valor inicial y el teorema de existencia y unicidad de soluciones. Finalmente, detalla métodos para resolver ecuaciones de variables separables, homogéneas, exactas y lineales de primer orden.
Este documento discute métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Explica cómo resolver ecuaciones lineales homogéneas dependiendo de si las raíces de la ecuación característica son reales y distintas, reales e iguales, o complejas. También cubre métodos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, incluyendo el método de los coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros. Finalmente, presenta algunos problemas de ejemplo.
Este documento presenta un curso sobre ecuaciones diferenciales. Incluye introducciones a ecuaciones diferenciales ordinarias y métodos elementales para resolverlas, como el método de variables separadas. También cubre temas como ecuaciones de primer orden no lineales, ecuaciones diferenciales de orden superior, sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y series de potencias. Finaliza con introducciones a ecuaciones en derivadas parciales, la teoría de Sturm-Liouville y el cálculo variacional. Contiene ejemplos y ejercicios resu
Algebra básica conjuntos numéricos-carlos gamonal-2010Gamonal Carlos
El documento describe los diferentes conjuntos de números, incluyendo naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números irracionales surgieron de la necesidad de representar raíces cuadradas no exactas en geometría. También define el conjunto de los números reales como la unión de todos los otros conjuntos numéricos y representa gráficamente las relaciones entre ellos.
Este documento describe las funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial se define como y = a^x donde a es la base y puede ser cualquier número real positivo distinto de 1. También describe el dominio, rango y gráfica de funciones exponenciales, así como cómo resolver ecuaciones exponenciales y cómo funciona el interés compuesto cuando los intereses se capitalizan periódicamente.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
El documento resume las aplicaciones de la derivada, incluyendo la monotonía, extremos relativos, optimización y curvatura de funciones. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar si una función es creciente o decreciente, si tiene máximos o mínimos relativos, y si es cóncava hacia arriba o abajo. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas relacionados con la Prueba de Acceso a la Universidad.
Este documento presenta los pasos para aplicar el método simplex a un problema de programación lineal. En 3 oraciones o menos, resume lo siguiente:
El método simplex es un procedimiento iterativo que involucra la construcción de tablas sucesivas para maximizar una función objetivo sujeto a restricciones. Se define la función objetivo y restricciones iniciales, y luego se construyen tablas que identifican variables de base y no base, calculando nuevos valores en cada iteración hasta optimizar la solución.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingeniería. Explica brevemente las generalidades de las ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, forma implícita y explícita. Luego, detalla las tres etapas clave en la resolución de problemas científicos usando ecuaciones diferenciales: 1) formulación matemática del problema, 2) solución de las ecuaciones, y 3) interpretación científica de la solución. Finalmente, indica que el documento analizará aplicaciones
El presente documento se presenta información acerca de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos matriciales y resolución de sistemas vectoriales por métodos gráficos, mediante la utilización de bibliotecas virtuales.
Ecuaciones diferenciales orden superiorJohana lopez
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
El proceso para obtener la inversa de una matriz elemental es el siguiente:
1. Identificar la matriz elemental dada. En este caso tenemos dos matrices elementales:
E1 = 1 0 0
1 1 0
0 0 1
E2 = 1 0 0
0 1 0
0 0 6
2. Invertir el valor del escalar en la posición que no es 1.
Para
El documento trata sobre funciones y relaciones matemáticas. Explica conceptos clave como función, dominio, recorrido, funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. También define funciones especiales como la constante, identidad y lineal. El objetivo es analizar las relaciones que se establecen entre conjuntos de datos y generar información a partir de ellas.
Este documento describe el funcionamiento de una red neuronal artificial (ART1) con 4 neuronas de entrada y 2 de salida para clasificar patrones binarios. Se inicializan los pesos de las conexiones y se aplican 3 vectores de entrada como ejemplos. La red actualiza sus pesos después de cada entrada para reconocer patrones similares.
Examen resuelto PAU Matemáticas CCSS , septiembre 2012, Madrid
(Comentar no cuesta nada y ayuda a mejorar los contenidos)
https://sites.google.com/site/clasesapoyomates/
http://www.clasesparticularesmatematicas.es/
1. Es un examen de cálculo vectorial con 4 preguntas. Cada pregunta ofrece múltiples opciones de respuesta y puntajes dependiendo de si la respuesta es correcta y está sustentada.
2. El documento indica que el examen dura 50 minutos y que no se permite intercambiar objetos durante su realización.
Este documento describe el funcionamiento de una red neuronal artificial con 4 neuronas de entrada y 2 de salida para clasificar patrones binarios. Se inicializan los pesos de las conexiones y se aplican 3 vectores de entrada como ejemplos. Luego, se actualizan los pesos a medida que la red clasifica los patrones de entrada iterativamente.
Este documento describe nueve métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que los métodos numéricos son importantes para obtener soluciones aproximadas cuando las soluciones analíticas son complicadas o imposibles de obtener. Luego presenta el método de la serie de Taylor como ejemplo, resolviendo numéricamente una ecuación diferencial de primer orden usando los primeros tres términos de la serie de Taylor y comparando los resultados con la solución analítica. Finalmente, muestra cómo implementar este método en MATLAB para obtener una serie de
Este documento presenta los conceptos básicos de los números complejos. Introduce el conjunto de los números complejos como una ampliación del conjunto de los números reales que incluye la unidad imaginaria i, cuya cuadrado es igual a -1. Explica las diferentes formas de representar números complejos como la forma binómica, polar y trigonométrica, así como las operaciones básicas entre ellos. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación de los conceptos.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos básicos como orden, linealidad y soluciones. Luego, describe varios modelos matemáticos que se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales, como la desintegración radiactiva, el movimiento pendular y las oscilaciones en resortes. Finalmente, adelanta que en capítulos posteriores se analizarán en detalle diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, así como sistemas de ecuaciones diferencial
Este documento describe las consideraciones básicas de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Define una ecuación diferencial y explica que relaciona una función desconocida, las variables independientes y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Luego, describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones separables y diferenciables exactas.
Los primeros indicios matemáticos aparecieron en África hace 37,000 años, y los babilonios desarrollaron el sistema sexagesimal para medir horas, minutos y segundos. Los mayas fueron grandes astrónomos que midieron el tiempo y crearon calendarios, mientras que los griegos como Arquímedes, Hipatia, Euclides y Pitágoras hicieron importantes contribuciones matemáticas. Los números actuales provienen de la cultura india, y Fibonacci describió una serie numérica donde cada número es la suma de los dos anteri
Escuela normal superior del distrito de barranquillaTonny Quintero
El documento describe la función de un foro, el cual es un medio donde las personas pueden compartir opiniones y preguntas sobre un tema específico. Un foro es moderado y se inicia planteando una pregunta concreta para iniciar la discusión. El moderador controla el tiempo de discusión y se requiere registrarse para participar y facilitar la organización. Un foro es una excelente técnica de comunicación que representa una oportunidad para consultar y obtener respuestas sobre un tema.
Este documento describe un nuevo software de seguimiento ocular que permitirá conocer en tiempo real los patrones de visualización de publicidad por parte de usuarios. El software brindará información a las empresas sobre el impacto visual de su publicidad en clientes potenciales, y asesoramiento para mejorar su efectividad. El software forma parte de un nuevo servicio de neuromarketing visual que analizará datos reales sobre la percepción de los consumidores.
La imagen muestra a un niño llamado Juanito bañándose en agua junto a basura porque es lo único que pudo encontrar, reflejando la miseria en la que vive. A pesar de su penosa situación, Juanito disfruta de pequeños momentos como una mariposa posándose en su mano. El propósito de la imagen es demostrar la tristeza que sufren quienes no tienen un hogar.
Manual de buenas practicas comerciales para el sector de los supermercadosConaudisa
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento presenta el esquema de un proceso de investigación sobre el uso pedagógico de las TIC en una institución educativa. El objetivo general es caracterizar las prácticas pedagógicas con TIC para generar estrategias didácticas mediadas por TIC. La investigación utilizará encuestas, observación y análisis documental para evaluar variables como formación docente, materiales didácticos y rendimiento académico, con el fin de demostrar que las TIC pueden mejorar las estrategias de enseñanza. El resultado
El documento resume las aplicaciones de la derivada, incluyendo la monotonía, extremos relativos, optimización y curvatura de funciones. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar si una función es creciente o decreciente, si tiene máximos o mínimos relativos, y si es cóncava hacia arriba o abajo. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas relacionados con la Prueba de Acceso a la Universidad.
Este documento presenta los pasos para aplicar el método simplex a un problema de programación lineal. En 3 oraciones o menos, resume lo siguiente:
El método simplex es un procedimiento iterativo que involucra la construcción de tablas sucesivas para maximizar una función objetivo sujeto a restricciones. Se define la función objetivo y restricciones iniciales, y luego se construyen tablas que identifican variables de base y no base, calculando nuevos valores en cada iteración hasta optimizar la solución.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingeniería. Explica brevemente las generalidades de las ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, forma implícita y explícita. Luego, detalla las tres etapas clave en la resolución de problemas científicos usando ecuaciones diferenciales: 1) formulación matemática del problema, 2) solución de las ecuaciones, y 3) interpretación científica de la solución. Finalmente, indica que el documento analizará aplicaciones
El presente documento se presenta información acerca de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos matriciales y resolución de sistemas vectoriales por métodos gráficos, mediante la utilización de bibliotecas virtuales.
Ecuaciones diferenciales orden superiorJohana lopez
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
El proceso para obtener la inversa de una matriz elemental es el siguiente:
1. Identificar la matriz elemental dada. En este caso tenemos dos matrices elementales:
E1 = 1 0 0
1 1 0
0 0 1
E2 = 1 0 0
0 1 0
0 0 6
2. Invertir el valor del escalar en la posición que no es 1.
Para
El documento trata sobre funciones y relaciones matemáticas. Explica conceptos clave como función, dominio, recorrido, funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. También define funciones especiales como la constante, identidad y lineal. El objetivo es analizar las relaciones que se establecen entre conjuntos de datos y generar información a partir de ellas.
Este documento describe el funcionamiento de una red neuronal artificial (ART1) con 4 neuronas de entrada y 2 de salida para clasificar patrones binarios. Se inicializan los pesos de las conexiones y se aplican 3 vectores de entrada como ejemplos. La red actualiza sus pesos después de cada entrada para reconocer patrones similares.
Examen resuelto PAU Matemáticas CCSS , septiembre 2012, Madrid
(Comentar no cuesta nada y ayuda a mejorar los contenidos)
https://sites.google.com/site/clasesapoyomates/
http://www.clasesparticularesmatematicas.es/
1. Es un examen de cálculo vectorial con 4 preguntas. Cada pregunta ofrece múltiples opciones de respuesta y puntajes dependiendo de si la respuesta es correcta y está sustentada.
2. El documento indica que el examen dura 50 minutos y que no se permite intercambiar objetos durante su realización.
Este documento describe el funcionamiento de una red neuronal artificial con 4 neuronas de entrada y 2 de salida para clasificar patrones binarios. Se inicializan los pesos de las conexiones y se aplican 3 vectores de entrada como ejemplos. Luego, se actualizan los pesos a medida que la red clasifica los patrones de entrada iterativamente.
Este documento describe nueve métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que los métodos numéricos son importantes para obtener soluciones aproximadas cuando las soluciones analíticas son complicadas o imposibles de obtener. Luego presenta el método de la serie de Taylor como ejemplo, resolviendo numéricamente una ecuación diferencial de primer orden usando los primeros tres términos de la serie de Taylor y comparando los resultados con la solución analítica. Finalmente, muestra cómo implementar este método en MATLAB para obtener una serie de
Este documento presenta los conceptos básicos de los números complejos. Introduce el conjunto de los números complejos como una ampliación del conjunto de los números reales que incluye la unidad imaginaria i, cuya cuadrado es igual a -1. Explica las diferentes formas de representar números complejos como la forma binómica, polar y trigonométrica, así como las operaciones básicas entre ellos. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación de los conceptos.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos básicos como orden, linealidad y soluciones. Luego, describe varios modelos matemáticos que se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales, como la desintegración radiactiva, el movimiento pendular y las oscilaciones en resortes. Finalmente, adelanta que en capítulos posteriores se analizarán en detalle diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, así como sistemas de ecuaciones diferencial
Este documento describe las consideraciones básicas de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Define una ecuación diferencial y explica que relaciona una función desconocida, las variables independientes y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Luego, describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones separables y diferenciables exactas.
Los primeros indicios matemáticos aparecieron en África hace 37,000 años, y los babilonios desarrollaron el sistema sexagesimal para medir horas, minutos y segundos. Los mayas fueron grandes astrónomos que midieron el tiempo y crearon calendarios, mientras que los griegos como Arquímedes, Hipatia, Euclides y Pitágoras hicieron importantes contribuciones matemáticas. Los números actuales provienen de la cultura india, y Fibonacci describió una serie numérica donde cada número es la suma de los dos anteri
Escuela normal superior del distrito de barranquillaTonny Quintero
El documento describe la función de un foro, el cual es un medio donde las personas pueden compartir opiniones y preguntas sobre un tema específico. Un foro es moderado y se inicia planteando una pregunta concreta para iniciar la discusión. El moderador controla el tiempo de discusión y se requiere registrarse para participar y facilitar la organización. Un foro es una excelente técnica de comunicación que representa una oportunidad para consultar y obtener respuestas sobre un tema.
Este documento describe un nuevo software de seguimiento ocular que permitirá conocer en tiempo real los patrones de visualización de publicidad por parte de usuarios. El software brindará información a las empresas sobre el impacto visual de su publicidad en clientes potenciales, y asesoramiento para mejorar su efectividad. El software forma parte de un nuevo servicio de neuromarketing visual que analizará datos reales sobre la percepción de los consumidores.
La imagen muestra a un niño llamado Juanito bañándose en agua junto a basura porque es lo único que pudo encontrar, reflejando la miseria en la que vive. A pesar de su penosa situación, Juanito disfruta de pequeños momentos como una mariposa posándose en su mano. El propósito de la imagen es demostrar la tristeza que sufren quienes no tienen un hogar.
Manual de buenas practicas comerciales para el sector de los supermercadosConaudisa
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento presenta el esquema de un proceso de investigación sobre el uso pedagógico de las TIC en una institución educativa. El objetivo general es caracterizar las prácticas pedagógicas con TIC para generar estrategias didácticas mediadas por TIC. La investigación utilizará encuestas, observación y análisis documental para evaluar variables como formación docente, materiales didácticos y rendimiento académico, con el fin de demostrar que las TIC pueden mejorar las estrategias de enseñanza. El resultado
Este documento presenta definiciones breves de varios términos tecnológicos como Wi-Fi, wiki, LAN, WAN, wireless, libro digital, TIC, e Internet. Explica que Wi-Fi se refiere a una tecnología de redes inalámbricas, wiki es un sitio web cuyas páginas pueden ser editadas por múltiples usuarios, LAN conecta ordenadores en un área pequeña, y wireless se refiere a comunicaciones sin cables usando ondas electromagnéticas.
DIA DE LA INAUGURACIÓN GURU JOSH GURU JOSH REFLECTIONS. De la música al arte Exposición dede acrílicos, 18 a28 de Febrero.Mes del arte en Madrid. Arco 2014 Exposición acrílicos, 18 a 28 de Febrero. Mes del arte en Madrid. Arco 2014 Fotografias
Universidad regional autonoma de los andes perfil 8voBrayan Diaz
Este documento describe un proyecto para desarrollar un sitio web de gestión de facturación para la empresa Productos Naturales Génesis. Actualmente la empresa carece de un sistema adecuado para realizar eficientemente la facturación de sus productos, lo que ha afectado su crecimiento. El proyecto busca desarrollar un sitio web que permita mejorar el proceso de facturación y evitar pérdidas económicas. Se revisarán proyectos similares y la situación actual de la empresa para determinar sus necesidades. Luego se des
El documento resume las características de la Web 1.0, 2.0, 3.0 y 4.0. La Web 1.0 se centraba en la lectura y el control, mientras que la Web 2.0 fomentaba la colaboración y la inteligencia colectiva. La Web 3.0 utiliza datos semánticos e inteligencia artificial. Finalmente, la Web 4.0 busca clasificar las emociones humanas a través de dispositivos y mejorar la experiencia del usuario de manera personalizada.
Material didáctico Leidy Castrillon y Johana ChiquilloLeidy Castrillon
El documento propone incentivar las actividades físicas en niños de 0 a 3 años a través de juegos y actividades lúdicas que motiven el interés en el deporte. Se busca involucrar a los padres en talleres educativos y actividades conjuntas para fomentar hábitos saludables en los niños y las familias. Una de las acciones propuestas es una canción rítmica que ejercita todo el cuerpo.
El documento describe varios medios colaborativos de la web 2.0 como los weblogs, wikis y edublogs. Los weblogs permiten a los autores publicar contenido fácilmente con un solo botón. Las wikis son sitios donde las páginas pueden ser editadas por múltiples voluntarios simultáneamente. Los edublogs apoyan el aprendizaje en un contexto educativo.
Este documento resume las 7 leyes espirituales del éxito descritas en el libro de Deepak Chopra. Estas leyes incluyen la ley de la potencialidad pura, la ley de dar, la ley del karma o causa y efecto, la ley del menor esfuerzo, la ley de la intención y el deseo, la ley del desapego, y la ley del dharma o propósito en la vida. Siguiendo estas leyes, una persona puede alcanzar el éxito en todas las áreas de su vida.
Mercado Libre es una página web donde los usuarios pueden comprar y vender artículos de diferentes categorías. Los usuarios pueden registrarse gratuitamente, luego publicar anuncios de venta detallando los productos, precios y condiciones. Otros usuarios pueden ver los anuncios, hacer preguntas al vendedor y realizar compras de manera segura.
1) El documento describe el funcionamiento del CIADI (Centro Internacional de Arreglo de Diferencias relativas a Inversiones), incluyendo su estructura, jurisdicción y procesos de arbitraje. 2) También analiza las críticas al sistema CIADI-TBI, como la falta de control de constitucionalidad de los laudos y la posible incompatibilidad con el sistema jurídico argentino. 3) Por último, resume el largo proceso del caso Aguas de Aconquija contra Argentina ante el CIADI.
El documento presenta una discusión sobre la integración de nuevas tecnologías en la educación. Explica que las nuevas tecnologías pueden usarse para presentar información, ampliar la comunicación entre profesores y estudiantes, permitir la autoevaluación de los estudiantes, y apoyar el trabajo autónomo de los estudiantes. También destaca la importancia de considerar variables como el modelo didáctico, criterios de selección, costos y disponibilidad al integrar las nuevas tecnologías en la enseñanza.
Este documento presenta la información sobre el personal de la fonda, Francesc d'Albranca, una figura histórica menorquina, y proporciona detalles sobre los servicios de la fonda como el acceso WiFi, horarios de desayuno, y números de contacto de emergencia. También incluye información sobre el restaurante de la fonda y su cocina tradicional menorquina, así como las políticas medioambientales de la fonda para preservar la reserva de la biosfera de Menorca.
Listado estudiantes pendientes por recuperar primer periodo inglésNorma Rodriguez
Este documento presenta dos listas de estudiantes que deben recuperar el primer período de las materias de OP e Inglés-Literatura. Los estudiantes en cada lista deben completar tareas específicas relacionadas con sus materias antes del 10 de junio para evitar tener que hacer trabajos diferentes durante la semana de recuperaciones del 17 al 21 de junio.
Los primeros indicios matemáticos aparecieron en África hace 37.000 años. Los babilonios desarrollaron el sistema sexagesimal para medir el tiempo, y los mayas fueron grandes astrónomos que crearon calendarios. Los griegos como Pitágoras, Euclides y Arquímedes hicieron importantes contribuciones a las matemáticas, mientras que los chinos inventaron el ábaco y los indios desarrollaron los números actuales.
Este documento presenta los pasos para resolver dos ejercicios numéricos. El primero involucra calcular las raíces de un polinomio de grado 7 mediante el cálculo de los autovalores de la matriz asociada. El segundo ejercicio busca encontrar las raíces de la ecuación zez = 1+i mediante el método de Newton-Raphson, encontrando 88 raíces en el dominio especificado.
Este documento presenta el plan de estudios para un curso de Análisis Matemático III. El curso cubre propiedades topológicas de subconjuntos de Rn, continuidad y límites, diferenciabilidad, teoremas de funciones inversas, aplicaciones geométricas y ecuaciones diferenciales. El curso se divide en seis secciones que cubren estos temas y concluye con problemas de repaso.
1) El autor agradece a su esposa Julia por su continuo apoyo y paciencia durante las muchas horas que dedicó a preparar este manuscrito.
2) El documento presenta un índice analítico detallado de los principios de la estática dividido en 7 capítulos principales.
3) El texto introduce conceptos fundamentales de la mecánica como fuerza, momento, par y condiciones de equilibrio aplicados a estructuras, cuerpos rígidos y sistemas de fuerzas.
Este documento trata sobre conjuntos de vectores y matrices ortogonales. Explica conceptos como producto interno, norma de un vector, distancia entre vectores, vectores ortogonales, conjuntos ortogonales de vectores y matrices ortogonales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cada uno de estos conceptos matemáticos en diferentes espacios vectoriales como Rn, Cn, funciones continuas y matrices.
El documento resume los conceptos clave de la multiplicación. Explica que la multiplicación es una suma abreviada donde un número (el multiplicando) se repite la cantidad de veces indicada por el otro número (el multiplicador). También menciona que la tabla de Pitágoras es una herramienta útil para facilitar las multiplicaciones.
El documento explica tres conceptos clave sobre la multiplicación: 1) los términos de una multiplicación, que son el factor y el multiplicador; 2) que la multiplicación es una suma abreviada donde un número se repite según el multiplicador; y 3) que la multiplicación es útil para realizar sumas de números iguales de forma más rápida.
Este informe resume las estadísticas del portal de trámites del gobierno de Canarias entre septiembre y octubre de 2012. Durante este periodo hubo 42,574 visitas con un total de 116,053 páginas vistas y un promedio de 2.73 páginas por visita. El 57.39% de las visitas fueron de una sola página y la duración media de las visitas fue de 1 hora y 55 minutos. El informe analiza las visitas por día de la semana, con mayores visitas los fines de semana y festivos.
Este documento presenta el módulo de álgebra lineal de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia. El módulo contiene dos unidades que cubren vectores, matrices y determinantes, así como sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales. El módulo proporciona los objetivos del curso y una tabla de contenido detallada con los temas a cubrir.
Este documento presenta una guía teórico-práctica sobre matemáticas básicas para estudiantes de nuevo ingreso de la Universidad Central de Venezuela. Explica conceptos fundamentales como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, ecuaciones de primer y segundo grado, polinomios, funciones trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos.
Este documento resume las principales modificaciones introducidas en C++ respecto a C, incluyendo: (1) la introducción de la programación orientada a objetos con clases, objetos y métodos; (2) nuevas características como variables de referencia, punteros void, funciones inline y sobrecarga de operadores; y (3) los conceptos de herencia y polimorfismo mediante clases base, derivadas y funciones virtuales.
Este documento trata sobre el tema de la regresión lineal simple. Explica el modelo de regresión lineal, incluyendo su estructura, hipótesis y estimación de parámetros. También cubre el contraste del modelo, análisis de residuos, predicción y diagnóstico del modelo. Proporciona ejemplos de cómo se puede utilizar la regresión lineal simple para estudiar diferentes tipos de relaciones entre variables.
Este documento describe las variables aleatorias continuas y la función de densidad de probabilidad. Las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, a diferencia de las discretas que solo pueden tomar valores específicos. La función de densidad de probabilidad generaliza el histograma de frecuencias para variables continuas y se define de tal forma que la integral sobre todo el dominio es 1.
El documento presenta un trabajo de grado sobre la teoría de distribuciones y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales. Introduce conceptos como espacios de funciones diferenciables Ck, propiedades de distribuciones como soporte y orden, y operaciones con distribuciones como multiplicación, derivación y convolución. Finalmente, aplica esta teoría para resolver la ecuación de ondas en Rt × R3x.
Este informe de estadísticas resume las métricas clave del sitio web sede.gobcan.es para el período del 1 de septiembre al 31 de octubre de 2012. Recibió 22,291 visitas que generaron 77,523 páginas vistas, con un promedio de 3.48 páginas por visita. La mayoría de las visitas provinieron de España, con Santa Cruz de Tenerife y Las Palmas de Gran Canaria como las ciudades con más tráfico. La página principal fue la más vista con 15,545 visitas.
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene ejemplos y figuras para ilustrar los diferentes conceptos matemáticos presentados.
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre números complejos como su definición como pares ordenados de números reales, sus propiedades algebraicas que lo convierten en un cuerpo, y cómo se pueden calcular raíces cuadradas y resolver ecuaciones cuadráticas. También presenta la noción de módulo, argumento y la fórmula de de Moivre para potencias de números complejos.
Este documento presenta una tesis sobre la solución del modelo input-output de Leontief aplicando la forma canónica de Jordan. En el primer capítulo se exponen nociones básicas de álgebra lineal necesarias para comprender el tema, como matrices, determinantes, espacios vectoriales y transformaciones lineales. El segundo capítulo se dedica al estudio de la forma canónica de Jordan. El tercer capítulo analiza el modelo input-output y su resolución mediante el método matricial y la forma canónica de Jordan.
1. Espacios Vectoriales
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM
a
17 de junio de 2008
´
Indice
15.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15.2. Motivaci´n . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15.3. Abstracci´n y Generalizaci´n . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.4. Generalizaci´n . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.5. El concepto de operaci´n . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.6. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.7. Teoremas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
15.8. Ejemplos de EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
15.9. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
15.1. Objetivos
En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las
matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante
un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.
15.2. Motivaci´n
o
Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la soluci´n a un sistema de
o
ecuaciones lineales.
Ejemplo 15.1
Considere el sistema homog´neo:
e
x + 2y + w + 2t = 0
2x + 4y − z + w + 5t = 0
x + 2y + z + 2w + t = 0
z+w−t = 0
Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0
2 4 −1 1 5 0 0 0 1 1 −1 0
→
1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 −1 0 0 0 0 0 0 0
De donde la f´rmula para las soluciones son:
o
x −2 −1 −2
y 1 0 0
z =y
0 +w
−1 +t
1
w 0 1 0
t 0 0 1
2. Si utilizamos el orden x → y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda:
1 2 1 0 2 0 1 2 0 −1 3 0
2 4
1 −1 5 0 → 0 0 1
1 −1 0
1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 −1 0 0 0 0 0 0 0
De donde la f´rmula para las soluciones son:
o
x −2 1 −3
y 1 0 0
z =y 0 +z 1 +t 0
w 0 −1 1
t 0 0 1
Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducida queda:
1 2 2 0 1 0 1 2 0 2 3 0
2 4
5 −1 1 0 → 0 0 1 −1 −1 0
1 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 −1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
De donde la f´rmula para las soluciones son:
o
x −2 −2 −3
y 1 0 0
z =y 0 +z 1 +w 0
w 0 0 1
t 0 −1 1
Si utilizamos el orden y → x → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:
1 1
2 1 0 1 2 0 1 0 1 0
4 2 −1 1 5 0
2 2
→ 0 0 1 1 −1 0
2 1 1 2 1 0
0 0
0 0 0 0
0 0 1 1 −1 0 0 0 0 0 0 0
De donde la f´rmula para las soluciones
o son:
x 1 0 0
y
−1/2
−1/2
−1
z =x
0 +w
−1 +t
1
w 0 1 0
t 0 0 1
Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto
soluci´n. Necesitamos una teor´ que nos d´ confianza en los resultados obtenidos; qu´ nos indique las co-
o ıa e e
sas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las m´ltiples respuestas v´lidas en Rn que podemos
u a
obtener. Adem´s de los conjuntos soluci´n en Rn , existen otras areas de la ingenier´ que requieren un
a o ´ ıa
apoyo matem´tico: las matrices tienen su importancia y uso en ingenier´ industrial y en control; las series
a ıa
trigonom´tricas en procesamiento de se˜ales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los
e n
IFIs, etc..
¿C´mo desarrollar una teor´ comod´ que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ning´n cambio impor-
o ıa ın u
tante?
2
3. 15.3. Abstracci´n y Generalizaci´n
o o
Si se hace una encuesta entre los matem´ticos sobre que palabras describen a las matem´ticas se notar´ que
a a a
la mayor´ responde al menos dos palabras claves: abstracci´n y generalizaci´n. La abstracci´n tiene que ver
ıa o o o
con representar cantidades por medio de s´ ımbolos ,y la generalizaci´n tiene que ver con la construcci´n de
o o
estructuras o teor´ que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa m´s para abrir este
ıas a
tema es el aspecto de la generalizaci´n. La generalizaci´n tambi´n tiene que ver con la economia del trabajo
o o e
realizado para investigar, y con determinar cu´les son los elementos m´
a ınimos responsables de que ciertos re-
sultados ocurran.
15.4. Generalizaci´n
o
Para entender como ocurre la generalizaci´n en nuestra materia recordemos algunos conceptos hemos visto
o
en diferentes cursos de matem´ticas:
a
1. vectores en el espacio n dimensional (Rn ),
2. matrices con entradas reales (Mn×m ),
3. polinomios reales,
4. series de pontencias,
5. series trigonom´tricas, y
e
6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homog´neas
e
entre otros elementos.
El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que engloba
las anteriores construcciones, y qu´ resultados se pueden obtener en lo general sin importar a cual de las
e
estructuras espec´
ıficas se haga referencia.
15.5. El concepto de operaci´n
o
Antes que el concepto de espacio vectorial est´ el concepto de operaci´n. Veamos algunos ejemplos de
a o
operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicaci´n por escalares podr´ ser
o ıan
diferentes de las que conocemos.
Lo que es importante recordar es el uso de los par´ntesis : sirven para indicar un orden en las operaciones.
e
Ejemplo 15.2
Suponga que V = R2 y que se define la operaci´n: o
(x, y) ⊕ (z, w) = (5 x + z, 2 w + 2 y)
Si
a = (−2, −3) , b = (−1, 3) , c = (−1, −1)
Calcule:
1. a ⊕ b
= (5 · (x = −2) + (z = −1), 2 · (w = 3) + 2 · (y = −3)) = (−11, 0)
2. b ⊕ a
= (5 · (−1) + (−2), 2 · (−3) + 2 · (−1)) = (−7, 0)
3
4. 3. (a ⊕ b) ⊕ c
= (−11, −0) ⊕ (−1, −1) = (5 · (−11) + (−1), 2 · (−1) + 2 · (0)) = (−56, −2)
4. a ⊕ (b ⊕ c)
= (−2, −3) ⊕ (−6, 4) = (−16, 2)
Ejemplo 15.3
Suponga que V = R2 y que se definen las operaciones:
(x, y) ⊕ (z, w) = (2 x, 3 w + y)
y
t ⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y)
Si
a = (1, 0) , c1 = 1, c2 = −4
Calcule:
1. (c1 + c2 ) ⊙ a = −3 ⊙ (1, 0) = (2(−3)(1), 3(−3)(0)) = (−6, 0)
2. (c1 ⊙ a) ⊕ (c2 ⊙ a) = (2, 0) ⊕ (−8, 0) = (4, 0)
3. (c1 · c2 ) ⊙ a = −4 ⊙ (1, 0) = (−8, 0)
4. c1 ⊙ (c2 ⊙ a) = 1 ⊙ (−8, 0) = (−16, 0)
15.6. Espacio Vectorial
Definici´n 15.1
o
Sea V un conjunto no vac´ sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra
ıo
llamada mulitplicaci´n de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o
o
funci´n que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representar´ como u ⊕ v. La
o a
multiplicaci´n es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado
o
por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes
axiomas:
(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V
u⊕v ∈V (1)
Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:
La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado tambi´n un elemento del
e
conjunto.
(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V
u⊕v =v⊕u (2)
Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:
El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V
u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3)
Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:
4
5. En una suma de vectores, no importa el orden c´mo asocien la sumas entre dos; el resultado
o
ser´ siempre el mismo.
a
(A4) Existe un unico vector en V que se simbolizar´ por 0 y que se llamar´ el vector cero tal que para cualquier
´ a a
vector u ∈ V se cumple
u⊕0=0⊕u=u (4)
Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:
Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo
segundo elemento.
(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un unico vector tambi´n en V y simbolizado por −u que cumple
´ e
u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5)
Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:
Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado
con ´l da el neutro aditivo.
e
(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple
c⊙u∈V (6)
Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´n por escalares:
o
El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar
como resultado tambi´n un elemento del conjunto.
e
(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple
c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v) (7)
Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de
vectores):
En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los
vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector
por el escalar y despu´s sumar los resultados.
e
(M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple
(a + b) ⊙ u = (a ⊙ u) ⊕ (b ⊙ u) (8)
Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.
(M4) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple
a ⊙ (b ⊙ u) = (a b) ⊙ u (9)
Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar
con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto.
5
6. (M5) Para cualquier vector u ∈ V se cumple
1⊙u=u (10)
Cuando se elabora una argumentaci´n en alg´n c´lculo o demostraci´n uno debe hacer referencia a los axiomas.
o u a o
Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripci´n. Se le pide al alumno que entienda
o
la l´gica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones.
o
Ejemplo 15.4
Indique cual opci´n enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto.
o
1.- (c + k) ⊙ x = (c ⊙ x) ⊕ (k ⊙ x) ← Respuesta
2.- x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x
3.- x ⊕ y = y ⊕ x ← Conmutatividad
4.- c ⊙ x es vector ← Cerradura
5.- x ⊕ (−x) = (−x) ⊕ x = 0
6.- x ⊕ y es vector ← Cerradura
Ejemplo 15.5
Indique cual opci´n describe la propiedad:
o
x⊕0=0⊕x=x
1.- Cerradura del producto por escalares.
2.- Existencia del neutro de la suma. ← Respuesta
3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores.
4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto.
5.- Asociatividad del producto por escalares.
6.- Existencia del inverso aditivo
Ejemplo 15.6
Apesar que nuestro inter´s no es hacer demostraciones matem´ticas si es conveniente entender c´mo se cons-
e a o
truyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es unico. Es decir, que si hay otro vector que cumple
´
la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Justifique los pasos.
Suponga que
x+y =x
Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da
(−x) + (x + y) = (−x) + x
Por la propiedad (b) se deduce entonces
((−x) + x) + y = (−x) + x
Por la propiedad (c) se tiene entonces
0+y =0
6
7. Finalmente, por la propiedad (d) se tiene
y = 0.
1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro
Respuesta: la correspondencia es (a)=1,(b)=2,(c)=1,(d)=3
15.7. Teoremas sobre espacios vectoriales
Resultados generales sobre espacios generales:
Sea V es un espacio vectorial, y sean u ∈ V y c ∈ R, entonces:
1. 0 u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero)
2. c 0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero)
3. c u = 0 implica c = 0 ´ u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vector
o
cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero)
4. (−c) u = − (c u) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del
producto del escalar sin el signo por el vector)
15.8. Ejemplos de EV
Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos.
Ejemplo EV 1
Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c ⊙ x = xc , veamos que V con tal operaciones cumple los
axiomas de espacio vectorial:
Axioma A1: x ⊕ y ∈ V
Efectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x ⊕ y = x · y > 0, probando que x ⊕ y ∈ V .
Axioma A2: x ⊕ y = y ⊕ x
Efectivamente, pues x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de
n´meros reales.
u
Axioma A3: x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z
Efectivamente, pues x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y · z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x · y) ⊕ z = (x ⊕ y) ⊕ z. Esto se tiene
por la propiedad asociativa del producto de n´meros reales.
u
Axioma A4: Existe en V un neutro para ⊕
Efectivamente, el n´mero 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 ⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x ⊕ 1.
u
Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V
Efectivamente, si x ∈ V es n´mero, 1/x tambi´n est´ en V = R (Pues si x > 0, tambi´n se cumple 1/x > 0)
u e a e
y cumple la propiedad requerida pues x ⊕ 1/x = x · 1/x = 1 = 1/x · x = 1/x ⊕ x.
Axioma M1: c ⊙ x ∈ V
Efectivamente, pues si x ∈ V entonces x > 0 y c ⊙ x = xc > 0 para cualquier n´mero c. (Recuerde que para
u
x > 0, xc = ec ln(x) > 0)
Axioma M2: c ⊙ (x ⊕ y) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y)
Efectivamente, c ⊙ (x ⊕ y) = c ⊙ (x · y) = (x · y)c = xc · y c = (xc ) ⊕ (y c ) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y). Y esto vale por la
ley de los exponentes con bases positivas.
Axioma M3: (c1 + c2 ) ⊙ x = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x)
Efectivamente, (c1 + c2 ) ⊙ x = xc1 +c2 = xc1 · xc2 = (xc1 ) ⊕ (xc2 ) = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley de
los exponentes con bases positivas.
Axioma M4: (c1 · c2 ) ⊙ x = c1 ⊙ (c2 ⊙ x)
Efectivamente, (c1 · c2 ) ⊙ x = xc1 ·c2 = (xc2 )c1 = c1 ⊙ (xc2 ) = c1 ⊙ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley de los exponentes
7
8. con bases positivas.
Axioma M5: 1 ⊙ x = x
Efectivamente, 1 ⊙ x = x1 = x.
Habi´ndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que V con las operaciones
e
x⊕y =x·y y
c ⊙ x = xc
s´ es un espacio vectorial
ı
Ejemplo EV 2: Rn
El conjunto de todas las n-adas con componentes reales Rn :
operaciones:
La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector tambi´n con n componentes cuya
e
componente i-´sima es la suma de las componentes i-´simas de los vectores que se est´n sumando:
e e a
(xi ) + (yi ) = (xi + yi )
El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes se tambi´n un
e
vector de n componetes cuya componente i-´sima es el producto del escalar por la i−´sima componente
e e
del vector que se multiplica:
c · (xi ) = (c · xi )
Axiomas A1 y M1: x + y ∈ Rn y c · x ∈ Rn
De la misma definici´n de la suma y producto por escalares.
o
Axioma A2 : x + y = y + x
Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar las componente i se tiene
o
xi + yi = yi + xi
Axioma A3: x + (y + z) = (x + y) + z
Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar las componente i se tiene
o
xi + (yi + zi ) = (xi + yi ) + zi
Axioma A4: Existe el vector neutro bajo la adici´n:
o
Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + x = x + 0 = x pues al comparar
las i-´simas componentes se cumple:
e
0 + xi = xi + 0 = xi
Axioma A5: Cada vector de tiene su inverso aditivo:
Para cada vector x = (xi ) el vector −x = (−xi ) cumple x + (−x) = (−x) + x = 0 pues al comparar las i-´simas
e
componentes se cumple:
−xi + xi = 0 = xi + −xi
Axioma M2: c(x + y) = c x + c y: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar las
o
componentes i se tiene
c(xi + yi ) = c xi + c yi
8
9. Axioma M3: (c1 + c2 )x = c1 x + c2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar
o
las componentes i se tiene
(c1 + c2 )xi = c1 xi + c2 xi
Axioma M4: (c1 · c2 )x = c1 (c2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar
o
las componentes i se tiene
(c1 · c2 )xi = c1 (c2 xi )
Axioma M5: 1 · (xi ) = (1 · xi ) = (xi )
Habi´ndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Rn con las operaciones
e
(xi ) + (yi ) = (xi + yi ) y
c(xi ) = (c xi )
s´ es un espacio vectorial
ı
Ejemplo EV 3: Mm×n
El conjunto de todas las matrices m × n con componentes reales Mm×n :
operaciones:
La suma: La suma de dos matrices m × n es una matriz tambi´n m × n cuyo elemento (i, j) es la suma
e
de los elementos (i, j) de las matrices que se est´n sumando:
a
(aij ) + (bij ) = (aij + bij )
El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz m × n es tambi´n una matriz m × n
e
cuyo elemento (i, j) es el producto del escalar por el elemento (i, j) de la matriz que se multiplica:
c · (aij ) = (c · aij )
Axiomas A1 y M1: A + B ∈ Mm×n y c · A ∈ Mm×n : De la misma definici´n de la suma de matrices y
o
producto por escalares.
Axioma A2 ; A + B = B + A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar los
o
elementos (i, j) se tiene
aij + bij = bij + aij
Axioma A3: A + (B + C) = (A + B) + C: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al
o
comparar los elementos (i, j) se tiene
aij + (bij + cij ) = (aij + bij ) + cij
Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adici´n: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes
o
cero 0 = (0) y cumple 0 + A = A + 0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple:
0 + aij = aij + 0 = aij
Axioma A5: Cada matriz de tiene su invero aditivo:
Para cada matriz A = (aij ), la matriz −A = (−aij ) cumple A + (−A) = (−A) + A = 0, pues al comparar los
elementos (i, j) se cumple:
−aij + aij = 0 = aij + −aij
9
10. Axioma M2: c(A + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar
o
los elementos (i, j) se tiene
c(aij + bij ) = c aij + c bij
Axioma M3: (c1 +c2 )A = c1 A+c2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar
o
los elementos (i, j) se tiene
(c1 + c2 )aij = c1 aij + c2 aij
Axioma M4: (c1 · c2 )A = c1 (c2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensi´n y al comparar
o
los elementos (i, j) se tiene
(c1 · c2 )aij = c1 (c2 aij )
Axioma M5: 1 · (aij ) = (1 · aij ) = (aij )
Habi´ndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Mm×n con las operaciones
e
(aij ) + (bij ) = (aij + bij ) y
c(bij ) = (c aij )
s´ es un espacio vectorial
ı
Ejemplo EV 4: P
De todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x con las operaciones:
Suma: Cuando son dos polinomios, esta operaci´n se lleva a cabo sumando los coeficientes de las mismas
o
potencias de x de los polinomios.
a0 + a1 x + · · · + am xm
+
b0 + b1 x + · · · + bm xm
=
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + · · · + (am + bm ) xm
(Alguno de los polinomios se completa hasta el grado mayor de los dos con coeficientes cero)
Multiplicaci´n: La multiplicaci´n por escalar es la multiplicaci´n de todo el polinomio por una cons-
o o o
tante:
c(a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am xm )
=
c a0 + c a1 x + · · · + c am xm
Axiomas A1 y M1: p(x) + q(x) ∈ P y c · p(x) ∈ P: De la misma definici´n de la suma de polinomios y
o
producto por escalares.
Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Los polinomios son iguales pues est´n en la misma variable y
a
comparando los coeficientes de xi se tiene:
pi + qi = pi + qi
Axioma A3: p(x) + (q(x) + r(x)) = (p(x) + q(x)) + r(x): Los polinomios son iguales pues est´n en la misma
a
variable y comparando los coeficientes de xi se tiene:
pi + (qi + ri ) = (pi + qi ) + ri
10
11. Axioma A4, Existe un polinomio neutro bajo la adici´n: Este polinomio es el polinomio con todos sus
o
coeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0 x y cumple 0 + p(x) = p(x) + 0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de xi
se tiene:
0 + pi = pi + 0 = pi
Axioma A5: Cada polinomio de tiene su invero aditivo: Para cada plinomio p(x) = p0 + p1 x + c . . . , el
polinomio −p(x) = (−p0 ) + (−p1 ) x + (−p2 )x2 + · · · cumple p(x) + (−p(x)) = (−p(x)) + p(x) = 0, pues al
comparar los coeficientes de xi se tiene:
(−pi ) + pi = 0
Axioma M2: c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues est´n en la misma variable y
a
comparando los coeficientes de xi se tiene:
c(pi + qi ) = c pi + c qi
Axioma M3: (c1 + c2 )p(x) = c1 p(x) + c2 p(x): Los polinomios son iguales pues est´n en la misma variable y
a
comparando los coeficientes de xi se tiene:
(c1 + c2 )pi = c1 pi + c2 pi
Axioma M4: (c1 · c2 )p(x) = c1 (c2 p(x)): Los polinomios son iguales pues est´n en la misma variable y
a
comparando los coeficientes de xi se tiene:
(c1 · c2 )pi = c1 (c2 pi )
Axioma M5: 1 · p(x) = p(x)
Habi´ndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que P con las operaciones suma de polinomios y producto
e
de un escalar por un polinomio conocidas s´ es un espacio vectorial
ı
Ejemplo EV 5: Pn
Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor
o igual que cero):
1 operaciones:Sea x la variable independiente de los polinomios.
a) Suma: Misma que en P.
b) Multiplicaci´n por escalares: Misma que en P.
o
2 el cero: El polinomio 0, es ´quel cuya totalidad de coeficientes es cero.
a
3 inversos aditivos: El inverso de −p de un polinomio p tiene por coeficientes los opuestos de los coefi-
cientes de p
Ejemplo EV 6: F (R)
El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R:
1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar.
11
12. a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la funci´n cuyos valores est´n expresados por:
o a
(f + g)(x) = f (x) + g(x) para toda x ∈ R
b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue:
(c f )(x) = c f (x) para toda x ∈ R
2 el cero: La funci´n cero, 0 es aquella cuyos valores son todos ceros: 0(x)= 0 para toda x ∈ R.
o
3 inversos aditivos: La inversa de −f de f es la funci´n (-1)f .
o
4 axiomas: La comprobaci´n de los axiomas se deja como ejercicio.
o
De manera m´s general, el conjunto F (X) de todas las funciones de valor real definidas en un conjuno X es
a
un espacio vectorial. Las operaciones, el cero y el negativo se definen en la misma forma. La unica diferencia
´
es que x se en encuentra en el conjunto X, en lugar de estar en R.
15.9. Subespacio Vectorial
Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay
situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto est´ contenido en un con-
a
junto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen
referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y
por consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A1 y M1 que hacen referencia a la cerradura.
Definici´n 15.2
o
Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vac´ se dice
ıo
subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y
multiplicaci´n por escalares que est´n definidas en V , pero restringidas a vectores de U , es un
o a
espacio vectorial.
Apesar que en la definci´n de subespacio est´ implicita la verificaci´n de los axiomas, el siguiente resultado da
o a o
la clave para la verificaci´n de que un conjunto se subespacio.
o
Teorema
Un subconjunto no vac´ U de un espacio vectorial V es subespacio de V si cumple las siguientes
ıo
condiciones:
El conjunto U es cerrado bajo la suma;
Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que tambi´n est´ en
e a
U.
El conjunto U es cerrado bajo la multiplicaci´n por escalares;
o
Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elemento
que tambi´n est´ en U .
e a
Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones: La que est´ en el enunciado:
a
que el conjunto no sea vac´ y las dos expl´
ıo, ıcitamente citadas.
12
13. trans=R,toc=Ejemplo
Ejemplo 15.7
El subconjuto W de P2 formado por s´lo polinomios de la forma
o
p(x) = a x + 3 a x2
donde a es un n´mero real, ¿es un subespacio vectorial?
u
Soluci´n
o
Requisito 0: Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto
de un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplo
p(x) = 2 x + 6 x2
el coeficiente de x2 , 6, es justo el doble del coeficiente de x, que es 2. Por tanto, W = ∅.
Requisito 1: Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado tambi´ne
est´ en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor num´rico de a;
a e
debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos si
p(x) + q(x) ∈ W :
p(x) + q(x) = a1 x + 3 a1 x2 + a2 x + 3 a2 x2 = (a1 + a2 ) x + 3 (a1 + a2 ) x2
de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, p(x) + q(x) ∈ W . Por tanto,
W es cerrado bajo la suma.
Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del
conjunto, el resultado tambi´n est´ en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar
e a
un valor num´rico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c
e
un escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈ W :
c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2 ) = (c a1 ) x + 3 (c a1 ) x2
de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) ∈ W . Por tanto, W
es cerrado bajo el producto por escalares.
Como hemos probado los tres requisitos, W es un subespacio vectorial de P2 .
Ejemplo 15.8
El conjunto W de todas las matrices 2 × 2 de la forma:
a 0
0 b
donde a y b son n´meros reales que cumplen a b ≤ 0, ¿es un subespacio vectorial de M2×2 ?
u
Soluci´n
o
Requisto 0: Como la matriz
1 0
A=
0 −1
tiene el patr´n de las matrices de W para a = 1 y b = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0, A ∈ W . Por tanto,
o
W = ∅.
Requisito 1: Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado tambi´n
e
est´ en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores num´ricos; debemos
a e
utilizar letras. Sean
a1 0 a2 0
A= yB=
0 b1 0 b2
13
14. dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 y a2 b2 ≤ 0 veamos si A + B ∈ W :
a1 + a2 0
A+B =
0 b1 + b2
Ahora apliquemos la prueba ultima para ver si pertenece a W
´
(a1 + a2 ) (b1 + b2 )) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?
Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 y que a2 b2 ≤ 0. Pero el t´rmino a2 b1 + a1 b2 puede cambiar la
e
desigualdad. De hecho los valores a = 1, b1 = −5, a2 = −3, y b2 = 1 cumplen
a1 b1 = (1)(−5) = −5 ≤ 0 y a2 b2 = (−3)(1) = −3
Pero
(a1 + a2 )(b1 + b2 ) = (1 + −3)(−5 + 1) = (−2)(−4) = 8 > 0
Estos n´meros nos dan las matrices
u
1 0 −3 0
Ao = y Bo =
0 −5 0 1
que s´ est´n en W , pero cuya suma no est´ en W . A estos ejemplos conctretos que prueban que una cierta
ı a a
afirmaci´n no se cumpla se le llama contra ejemplo. El anterior contra ejemplo hace que W no sea cerrado
o
bajo la suma. Fallando un requisito como ahora, W no es un subespacio. Sin embargo, como nos interesa
ver la opci´n que se ajusta a W deberemos revisar el otro requisito.
o
Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del
conjunto, el resultado tambi´n est´ en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar
e a
un valor num´rico de a; debemos utilizar letras. Sea
e
a1 0
A=
0 b1
un elemento cualquiera de W (y por tanto a1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera, veamos si c A ∈ W :
c a1 0
cA =
0 c b1
Ahora apliquemos la prueba ultima para ver si pertenece a W
´
(c a1 ) (c b1 ) ≤ 0?
Como
(c a1 ) (c b1 ) = c2 (a1 b1 )
y c2 ≥ 0 y a1 b1 ≤ 0 entonces
(c a1 ) (c b1 ) = c2 (a1 b1 ) ≤ 0
Por tanto, c A ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares.
Resumiendo, W no es espacio vectorial: s´ es cerrado bajo el producto por escalares pero no es cerrado bajo
ı
la suma.
14