Este documento describe las variables aleatorias continuas y la función de densidad de probabilidad. Las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, a diferencia de las discretas que solo pueden tomar valores específicos. La función de densidad de probabilidad generaliza el histograma de frecuencias para variables continuas y se define de tal forma que la integral sobre todo el dominio es 1.

1. UNIDAD 3:
Variables Aleatorias Continuas
Modelos de Probabilidad

2. Una variable aleatoria es continua cuando puede
tomar cualquier valor en un intervalo.
Ejemplos, peso de una persona
tiempo de duración de un suceso
nivel de colesterol
% de contaminación

3. Para una variable aleatoria continua
disponemos de un conjunto no numerable
de valores.
No es posible definir una probabilidad para
cada uno. Por eso definimos la función
densidad de probabilidad

4. Si el resultado de medir una longitud es 23 mm,
todo lo que podemos afirmar es que la longitud
real, no observable, está en el intervalo 22,5 mm
a 23,5 mm.
Los modelos que describen variables aleatorias se
basan en este principio.

6. Se puede pensar como la generalización de un histograma
de frecuencias relativas para variable continua.
0.25
0.20
∞
∫ f ( x )dx = 1
0.15
−∞
0.10
0.05
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
13
10
12
14
15

7. 0.25
0.20
P(a ≤ x ≤ b)
0.15
0.10
b
= ∫ f ( x )dx 0.05
a
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
13
10
12
14
15
a b

8. Función de densidad de probabilidad
Definición
Dada una variable aleatoria continua X se llama función de
densidad de probabilidad de X a f(x) que satisface las
siguientes condiciones:
a.- f(x) ≥ 0 para todo x
∞
b.-
∫ f ( x )dx = 1
−∞

9. Definimos la función de distribución para la variable
aleatoria continua como: x
F ( x) = ∫ f (t )dt
−∞
∀x ∈ ℜ
Diferenciando tenemos:
dF ( x )
= f ( x)
dx
función densidad de probabilidad
∞
Esperanza matemática o media
μ= ∫ x f ( x) dx
−∞
∞
Varianza σ2 = ∫ ( x − μ)
2
f ( x )dx
−∞

10. Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por
la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es
la distribución normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue
descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la
misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss
(1809), en relación a la teoría de los errores de observación
astronómica y física .
Pierre Simon de Laplace Karl Gauss
Pierre Simon de Laplace Karl Gauss
(1749-1827) (1777-1855)
(1749-1827) (1777-1855)

11. Caracteres morfológicos de individuos
(personas, animales, plantas,...) de una
especie (tallas, pesos, diámetros,
perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo:
consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos,
puntuaciones de examen, ...
Caracteres fisiológicos, por
ejemplo: efecto de una misma dosis
de un fármaco.
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.

12. Distribución normal o gaussiana
Está caracterizada por dos parámetros:
la media, μ y la desviación típica, σ.
La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas
por sus parámetros μ y σ.

13. Características de la distribución Normal
• Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas
(para x = ±∞ )
• Simétrica con respecto a la media (µ ) donde coinciden la mediana
(Mn) y la moda (Mo )
• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores µ ± σ
−∞ σ σ +∞
µ - σ µ, Mo, Mn µ + σ

14. Distribución normal con µ =0 para varios valores
σ=0.25
1.2 σ=0.5
σ=1
p(x) 0.8
0.4
0
-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

15. σ=5 σ=5
σ = 10
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar

16. N(μ, σ): Interpretación geométrica
 La media se puede
interpretar como un factor
de traslación.
 Y la desviación típica como
un factor de escala, grado
de dispersión,…

17. N(μ, σ): Interpretación probabilística
Entre la media y una
desviación típica tenemos
siempre la misma
probabilidad:
aproximadamente el 68%.
Entre la media y dos
desviaciones típicas aprox.
95%

18. Función de distribución F (x)
x ( v −μ) 2
1 −
F ( x) =
σ 2π ∫e
−∞
2σ 2
dv
( v −μ)2
−
1 b 2
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a) = ∫ e 2σ dv
σ 2π a
¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!

19. ¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una
curva normal específica?
Dado que tanto µ como σ pueden asumir infinitos valores lo que
hace impracticable tabular las probabilidades para todas las
posibles distribuciones normales, se utiliza la distribución normal
estándar o tipificada.
Se define una variable z =
x -µ
σ
Es una traslación, y un cambio de escala de la
variable original.
La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con
media µ = 0 y desviación típica σ = 1

20. La nueva variable z se distribuye como una
NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1
Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las
probabilidades delimitadas entre :
± σ = 68 %
± 2σ = 95 %
± 3σ = 99 %
68%
95%
z
-3 -2 -1 0 1 2 3

22. Otras distribuciones de probabilidad: Distribución Chi cuadrado
0.09
0.14
0.08
0.12
0.07
6 gl 12 gl
0.1
0.06
0.08 0.05
0.04
0.06
0.03
0.04
0.02
0.02
0.01
0 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 25 30 35 40

23. Otras distribuciones de probabilidad: Distribución t de Student
0.45
0.4
Grados de
libertad:
0.35
0.3
2, 5, 15
0.25
0.2
En rojo se
muestra la
0.15
normal
0.1 estándar
0.05
0
-6 -4 -2 0 2 4 6