1. Es un examen de cálculo vectorial con 4 preguntas. Cada pregunta ofrece múltiples opciones de respuesta y puntajes dependiendo de si la respuesta es correcta y está sustentada. 2. El documento indica que el examen dura 50 minutos y que no se permite intercambiar objetos durante su realización.

1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
´
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
´
AREA DE MATEMATICAS
´
CALCULO VECTORIAL
QUIZ IV
Nombre: C´digo:
o
Nombre: C´digo:
o
Fecha: Grupo:
Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 50 Minutos
o
Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada
o ´ a
es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1,25. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es
sustentada completamente con procesos que lleven a ella el valor es de 0,625. Si la respuesta seleccionada es correcta y
NO es sustentada el valor es de 0. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de
0,625. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado
por [ ]. No se permite el intercambio de objetos.
1. [1.25] Los valores m´ximo y m´
a ınimo absolutos de la funci´n
o
4xy
f (x, y) =
(x2 + 1) (y 2 + 1)
en la regi´n R = (x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1 son:
o
4 10 8 8
a) 3 , 0 b) 9 ,0 c) 3 , 0 d) 9 , 0
2. [1.25] Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio se forma doblando los extremos de una l´mina
a
de aluminio de 30 pulgadas de ancho. El ´ngulo θ y la longitud lateral x que m´ximizan el ´rea de la seccion
a a a
transversal son:
x x
θ θ
30 − 2x
a) 45o , 8 b) 60o , 10 c) 50o , 9 d) 30o , 8
3. [1.25] El maximo de la funci´n f (x, y, z) = z sujeto a la restricciones x2 + y 2 + z 2 = 36 y 2x + y − z = 2 es:
o
√ √ √
5+ 265 5− 265 1− 265
a) 15 , 5 , 3
√ √ √
10+2 265 5+ 265 −1+ 265
b) 15 , 15 , 3
√ √ √
5−2 265 5+ 265 1− 265
c) 15 , 5 , 3
√ √ √
10−2 265 5− 265 −1+ 265
d) 15 , 15 , 5
4. [1.25] Un semic´
ırculo est´ sobre un rect´ngulo. Si el ´rea es fija y el per´
a a a ımetro es un m´
ınimo utilice multiplicadores
de Lagrange para verificar que la longitud del rect´ngulo es el doble de su altura.
a
h
l

2. 1.
Sea
4xy 4x y
f (x, y) = = 2
(x2 + 1) (y 2 + 1) (x + 1) (y 2 + 1) y
x2 + y 2 = 1
Derivando parcialmente con respecto a x y a y 1
4y 1 − x2 R
fx (x, y) = 2 =0
(x2 + 1) (y 2 + 1)
1 x
4x 1 − y 2
fy (x, y) = =0
(x2 + 1) (y 2 + 1)2
Asi 4y 1 − x2 = 0 y 4x 1 − y 2 = 0
a) Si y = 0 entonces x = 0
b) Si 1 − x2 = 0 entonces x = ±1 y y = ±1
Obtenemos el punto cr´
ıtico (0, 0), descartamos los puntos (±1, ±1) por que no estan en R.
Ahora encontremos los puntos cr´
ıticos en las fronteras
Para la frontera x = 0 con 0 ≤ y ≤ 1 tenemos la funci´n lineal f1 (y) = 0, la cual no posee m´ximos ni
o a
m´
ınimos.
Para la frontera y = 0 con 0 ≤ x ≤ 1 tenemos la funci´n lineal f2 (x) = 0, la cual no posee m´ximos ni
o a
m´
ınimos.
√ √
1−x2
Para la frontera y = 1 − x2 con 0 ≤ x ≤ 1. tenemos la funci´n f3 (x) = 4x 2 −x4 la cual posee m´ximo en el
o 2+x
a
1 1
punto cr´
ıtico √ ,√
2 2
.
1 1 8
As´ el valor m´ximo absoluto en R es f
ı a √ ,√
2 2
= 9 y el m´
ınimo absoluto en R es f (0, 0) = 0.
2.
θ sin θ = h =⇒ h = x sin θ
x
cos θ = w =⇒ w = x cos θ
x
h x
w
Tenemos
(30 − 2x + 30 − 2x + 2x cos θ)
A(x, θ) = x sin θ
2
= (30 − 2x + x cos θ) x sin θ
Derivando parcialmente con respecto a x y θ
Ax (x, θ) = sin θ (30 − 4x + 2x cos θ) = 0
Aθ (x, θ) = (30 − 2x)x cos θ + x2 2 cos2 θ − 1 = 0

3. De donde
a) sin θ = 0 =⇒ θ = 0 ´ θ = π, lo cual no puede suceder.
o
b) (30 − 4x + 2x cos θ) = 0 =⇒ cos θ = 2x−15
x
Reemplazando en Aθ (x, θ) tenemos
(30 − 2x)x cos θ + x2 2 cos2 θ − 1 = 0
2
2x − 15 2x − 15
(30 − 2x)x + x2 2 −1 =0
x x
30(2x − 15) − 2x(2x − 15) + 2(2x − 15)2 − x2 = 0
3x2 − 30x = 0
x = 10
1 π
entonces cos θ = 2 =⇒ θ = 3
3. Sea f (x, y, z) = z, g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 = 36, y, h(x, y, z) = 2x + y − z = 2
∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
(0, 0, 1) = (2λx + 2µ, 2λy + µ, 2λz − µ)
Tenemos el sistema
0 = 2λx + 2µ
0 = 2λy + µ
1 = 2λz − µ
As´ x = 2y, reemplazando en 2x + y − z = 2 =⇒ z = 4y + y − 2 = 5y − 2, ahora reemplazando x y z en
ı
x2 + y 2 + z 2 = 36 tenemos
(2y)2 + y 2 + (5y − 2)2 = 36
30y 2 − 20y − 32 = 0
15y 2 − 10y − 16 = 0
√
5+ 265
y=
15
√ √ √
10+2 265 5+ 265 −1+ 265
Por tanto 15 , 15 , 3
lπ πl2
4. Sea P (h, l) = 2h + l + 2, y,A(h, l) = hl + 8 =A
∇P (h, l) = λ∇A(h, l)
π lπ
(2, 1 + )= λl, λ h +
2 4
Tenemos el sistema
2 = λl
π lπ
1+ =λ h+
2 4
Solucionando l = 2h