Este documento define los conceptos básicos de espacio vectorial, incluyendo las propiedades que deben cumplir para ser considerado un espacio vectorial, como la cerradura bajo suma y multiplicación por escalares, y provee ejemplos. También introduce los conceptos de subespacio vectorial, combinación lineal, espacio generado por vectores, e independencia lineal. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar estos conceptos.
Kyiesha Baldwin loves several Apple products including the Mac Book Pro for its efficiency running graphic design programs and ability to use dual operating systems through boot camp. She also enjoys the iPad Mini for its compact size that fits better in her purse compared to her previous iPad 2. Additionally, she loves her iPhone 5 for having music, movies, email and more conveniently available in the palm of her hand for both business and personal use.
クラウド見積・請求Office用アプリの詳細機能検討ver1 (Exceedone Cloud Office App System detail)Seiji Noro
This PowerPoint is business plan
I am going to release invoice and quotation cloud application.
This application is made "App for Office".
"App for Office" is Microsoft new Technology.
The document discusses the kidnapping of Charles Lindbergh's baby from Hopewell, New Jersey on March 1, 1932. Charles Augustus Lindbergh and his wife Ann Marrow Lindbergh's baby was kidnapped from their home, sparking a massive search and investigation.
The document provides tips and insights into Mongol military tactics and strategies. It discusses how the Mongols would divide their forces into smaller units for command, use horses for transportation and food, bring minimal supplies relying on hunting, and employ fast communication using horns and arrows from horseback. Their main weapons were the deadly accurate recurve bow and scimitar sword suited for horse combat. The Mongols were also known for faking retreats to draw enemies from their lines, surrounding enemies from all sides to crush them, using human shields and spies, weakening cities before battle, and spreading fear of their ruthlessness.
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The document discusses the kidnapping of Charles Lindbergh's baby from Hopewell, New Jersey on March 1, 1932. Charles Augustus Lindbergh and his wife Ann Marrow Lindbergh's baby was kidnapped from their home, sparking a massive search and investigation.
The document provides tips and insights into Mongol military tactics and strategies. It discusses how the Mongols would divide their forces into smaller units for command, use horses for transportation and food, bring minimal supplies relying on hunting, and employ fast communication using horns and arrows from horseback. Their main weapons were the deadly accurate recurve bow and scimitar sword suited for horse combat. The Mongols were also known for faking retreats to draw enemies from their lines, surrounding enemies from all sides to crush them, using human shields and spies, weakening cities before battle, and spreading fear of their ruthlessness.
1. El documento describe las funciones cognitivas y cómo cambian con la edad, incluyendo la inteligencia, la memoria, el lenguaje y la orientación. 2. Específicamente, discute cómo la velocidad de procesamiento, la memoria operativa, los procesos de control ejecutivo y la memoria a largo plazo se ven afectados por el envejecimiento. 3. También analiza factores motivacionales importantes para el aprendizaje en personas mayores como responder a necesidades, personalización, participación activa y aprendizaje significativo
LG Electronics is a South Korean multinational electronics company with five divisions: Mobile Communications, Home Entertainment, Home Appliances, Air Conditioning, and Energy Solutions. It is the world's second largest TV manufacturer and fifth largest mobile phone maker. The document provides details on LG's operations, products, branding and sponsorships.
Sony Corporation is a Japanese multinational conglomerate founded in 1946. It produces consumer and professional electronic equipment, gaming and entertainment products. Some of Sony's most successful products include the Walkman personal stereo in 1979, PlayStation video game console in 1994, and Bravia LCD televisions. Sony has a diverse product portfolio, strong brand image, and focuses on continuous innovation, positioning it as one of the most important companies worldwide.
The Seattle Barista Academy offers premier training education in coffee and espresso. It pioneered barista training in the Pacific Northwest. Check us out at: seattlebaristaacademy.com
El documento presenta 5 ejercicios relacionados con determinar si vectores dados son combinaciones lineales de conjuntos de vectores dados. Los primeros 4 ejercicios piden determinar si existe combinación lineal sin mostrar los cálculos. El último ejercicio pide calcular el valor de λ para que un vector sea combinación lineal de un conjunto T, y determinar si otro vector puede expresarse como combinación lineal de T.
Working capital refers to the capital required to finance short-term operating expenses like inventory, accounts receivable, and other current assets. It is the difference between current assets and current liabilities and provides funds for day-to-day business operations. There are two main concepts of working capital - the balance sheet concept and operating cycle concept. Firms must determine the optimal level of working capital to balance the costs of holding too much or too little. Tools like economic order quantity, reorder points, and inventory classifications help firms manage working capital levels.
The document discusses different types of aggregates used in construction. It defines aggregates as materials like sand, gravel, and crushed stone. It then discusses the purposes of aggregates, which include providing strength, weight, and being economically viable. It also discusses how aggregates are used in concrete, roads, and railways. The document further classifies aggregates according to their formation as natural or artificial, and according to their size as fine or coarse aggregates. It provides details on the types and properties of different aggregates.
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia linealalgebra
El documento presenta varios conjuntos y determina si son linealmente independientes (LI) o linealmente dependientes (LD). Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales asociado a cada conjunto para encontrar si tiene una única solución o infinitas soluciones. Los conjuntos S, A y C son LI, mientras que los conjuntos B, D y E son LD.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
1) El documento presenta los números complejos, definidos como pares ordenados de números reales, y establece las operaciones de suma, multiplicación e igualdad para ellos.
2) Se representan gráficamente los complejos en el plano cartesiano y se definen conceptos como parte real, parte imaginaria y módulo.
3) Se introduce la forma trigonométrica de un complejo, relacionando su magnitud, argumento y representación como vector geométrico.
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, y combinaciones lineales. 2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud, y se denota por su posición inicial y terminal o por sus componentes. 3) La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos, donde la suma es el vector que va de la cola del primero a la cabeza del segundo.
Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra LinealCelso Sobarzo
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, longitud de vectores.
2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud. La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos.
3) Se define el producto escalar como una medida de la componente paralela entre dos vectores, y la longitud de un vector como su producto escalar consigo mismo.
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define una progresión aritmética como una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Define una progresión geométrica como una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante. Presenta propiedades como fórmulas para calcular la suma de los primeros términos y ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento define matrices y describe sus propiedades fundamentales. Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Se describen operaciones básicas como suma y multiplicación de matrices, y se explican propiedades como conmutatividad, asociatividad y distributividad. También se definen matrices especiales como cuadradas, triangulares y diagonales.
Este documento proporciona una guía básica de los comandos de MATLAB para definir y manipular vectores, matrices y realizar operaciones de álgebra lineal. Explica cómo definir vectores y matrices, crear matrices especiales como identidades y ceros, y realizar operaciones como multiplicación, inversión y factorización de matrices. También cubre la creación y uso de archivos .m para funciones y scripts en MATLAB.
1) El documento presenta un grafo y solicita determinar varias propiedades como matriz de adyacencia, incidencia, conectividad, simplicidad, regularidad, completitud, entre otras.
2) Se demuestra que el grafo es conexo pero no simple, ya que contiene aristas paralelas. También no es regular porque los grados de los vértices son diferentes.
3) Se encuentra un árbol generador aplicando el algoritmo constructor y se concluye que el grafo no es euleriano ni o hamiltoniano.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores, rectas y planos en espacios tridimensionales. Introduce la noción de vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Explica propiedades importantes de los vectores como conmutatividad, asociatividad y existencia de elemento neutro. También cubre temas como producto punto, norma, ángulo entre vectores, paralelismo, perpendicularidad, proyección ortogonal y producto cruz. Finalmente, analiza conceptos geométricos como rectas, plan
Este documento presenta una introducción a las cadenas en diferentes lenguajes de programación como C, C++ y PHP. Define cadenas como secuencias ordenadas de caracteres y describe cómo se almacenan, representan y manipulan mediante operaciones como asignación, concatenación, búsqueda, extracción y comparación. También proporciona ejemplos de funciones para el tratamiento de cadenas como strlen(), strcpy() y funciones para convertir entre mayúsculas y minúsculas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre grafos. En la sección A, se muestra una matriz de adyacencia para un grafo no dirigido con 8 vértices. En la sección B, se presenta otra matriz de adyacencia para un grafo dirigido con 20 vértices. El documento continúa resolviendo preguntas sobre las propiedades de conectividad, cadenas, ciclos y distancias en estos grafos.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo hallar matrices de adyacencia e incidencia, determinar si el grafo es conexo, simple, regular o completo, y encontrar cadenas, ciclos, árboles generadores y subgrafos.
2) Se provee la matriz de adyacencia de un grafo y se pide hallar características como si es conexo o simple, y encontrar cadenas y ciclos de ciertas propiedades.
3) También se presenta la matriz de un dígrafo y se p
1. El documento describe las funciones cognitivas y cómo cambian con la edad, incluyendo la inteligencia, la memoria, el lenguaje y la orientación. 2. Específicamente, discute cómo la velocidad de procesamiento, la memoria operativa, los procesos de control ejecutivo y la memoria a largo plazo se ven afectados por el envejecimiento. 3. También analiza factores motivacionales importantes para el aprendizaje en personas mayores como responder a necesidades, personalización, participación activa y aprendizaje significativo
LG Electronics is a South Korean multinational electronics company with five divisions: Mobile Communications, Home Entertainment, Home Appliances, Air Conditioning, and Energy Solutions. It is the world's second largest TV manufacturer and fifth largest mobile phone maker. The document provides details on LG's operations, products, branding and sponsorships.
Sony Corporation is a Japanese multinational conglomerate founded in 1946. It produces consumer and professional electronic equipment, gaming and entertainment products. Some of Sony's most successful products include the Walkman personal stereo in 1979, PlayStation video game console in 1994, and Bravia LCD televisions. Sony has a diverse product portfolio, strong brand image, and focuses on continuous innovation, positioning it as one of the most important companies worldwide.
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El documento presenta 5 ejercicios relacionados con determinar si vectores dados son combinaciones lineales de conjuntos de vectores dados. Los primeros 4 ejercicios piden determinar si existe combinación lineal sin mostrar los cálculos. El último ejercicio pide calcular el valor de λ para que un vector sea combinación lineal de un conjunto T, y determinar si otro vector puede expresarse como combinación lineal de T.
Working capital refers to the capital required to finance short-term operating expenses like inventory, accounts receivable, and other current assets. It is the difference between current assets and current liabilities and provides funds for day-to-day business operations. There are two main concepts of working capital - the balance sheet concept and operating cycle concept. Firms must determine the optimal level of working capital to balance the costs of holding too much or too little. Tools like economic order quantity, reorder points, and inventory classifications help firms manage working capital levels.
The document discusses different types of aggregates used in construction. It defines aggregates as materials like sand, gravel, and crushed stone. It then discusses the purposes of aggregates, which include providing strength, weight, and being economically viable. It also discusses how aggregates are used in concrete, roads, and railways. The document further classifies aggregates according to their formation as natural or artificial, and according to their size as fine or coarse aggregates. It provides details on the types and properties of different aggregates.
Ejercicios resueltos de dependencia e independencia linealalgebra
El documento presenta varios conjuntos y determina si son linealmente independientes (LI) o linealmente dependientes (LD). Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales asociado a cada conjunto para encontrar si tiene una única solución o infinitas soluciones. Los conjuntos S, A y C son LI, mientras que los conjuntos B, D y E son LD.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
1) El documento presenta los números complejos, definidos como pares ordenados de números reales, y establece las operaciones de suma, multiplicación e igualdad para ellos.
2) Se representan gráficamente los complejos en el plano cartesiano y se definen conceptos como parte real, parte imaginaria y módulo.
3) Se introduce la forma trigonométrica de un complejo, relacionando su magnitud, argumento y representación como vector geométrico.
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, y combinaciones lineales. 2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud, y se denota por su posición inicial y terminal o por sus componentes. 3) La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos, donde la suma es el vector que va de la cola del primero a la cabeza del segundo.
Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra LinealCelso Sobarzo
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, longitud de vectores.
2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud. La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos.
3) Se define el producto escalar como una medida de la componente paralela entre dos vectores, y la longitud de un vector como su producto escalar consigo mismo.
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define una progresión aritmética como una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Define una progresión geométrica como una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante. Presenta propiedades como fórmulas para calcular la suma de los primeros términos y ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento define matrices y describe sus propiedades fundamentales. Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Se describen operaciones básicas como suma y multiplicación de matrices, y se explican propiedades como conmutatividad, asociatividad y distributividad. También se definen matrices especiales como cuadradas, triangulares y diagonales.
Este documento proporciona una guía básica de los comandos de MATLAB para definir y manipular vectores, matrices y realizar operaciones de álgebra lineal. Explica cómo definir vectores y matrices, crear matrices especiales como identidades y ceros, y realizar operaciones como multiplicación, inversión y factorización de matrices. También cubre la creación y uso de archivos .m para funciones y scripts en MATLAB.
1) El documento presenta un grafo y solicita determinar varias propiedades como matriz de adyacencia, incidencia, conectividad, simplicidad, regularidad, completitud, entre otras.
2) Se demuestra que el grafo es conexo pero no simple, ya que contiene aristas paralelas. También no es regular porque los grados de los vértices son diferentes.
3) Se encuentra un árbol generador aplicando el algoritmo constructor y se concluye que el grafo no es euleriano ni o hamiltoniano.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores, rectas y planos en espacios tridimensionales. Introduce la noción de vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Explica propiedades importantes de los vectores como conmutatividad, asociatividad y existencia de elemento neutro. También cubre temas como producto punto, norma, ángulo entre vectores, paralelismo, perpendicularidad, proyección ortogonal y producto cruz. Finalmente, analiza conceptos geométricos como rectas, plan
Este documento presenta una introducción a las cadenas en diferentes lenguajes de programación como C, C++ y PHP. Define cadenas como secuencias ordenadas de caracteres y describe cómo se almacenan, representan y manipulan mediante operaciones como asignación, concatenación, búsqueda, extracción y comparación. También proporciona ejemplos de funciones para el tratamiento de cadenas como strlen(), strcpy() y funciones para convertir entre mayúsculas y minúsculas.
Este documento presenta varios ejercicios sobre grafos. En la sección A, se muestra una matriz de adyacencia para un grafo no dirigido con 8 vértices. En la sección B, se presenta otra matriz de adyacencia para un grafo dirigido con 20 vértices. El documento continúa resolviendo preguntas sobre las propiedades de conectividad, cadenas, ciclos y distancias en estos grafos.
1) El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos, incluyendo hallar matrices de adyacencia e incidencia, determinar si el grafo es conexo, simple, regular o completo, y encontrar cadenas, ciclos, árboles generadores y subgrafos.
2) Se provee la matriz de adyacencia de un grafo y se pide hallar características como si es conexo o simple, y encontrar cadenas y ciclos de ciertas propiedades.
3) También se presenta la matriz de un dígrafo y se p
El documento presenta un análisis de las propiedades de dos grafos. En el primer grafo, se determina que no es simple, regular ni completo. También se identifica un árbol generador y se demuestra que es hamiltoniano. En el segundo grafo, un dígrafo, se determina que no es simple y que es fuertemente conexo.
El documento contiene las siguientes solicitudes de ejercicios:
(1) Determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, y si es conexo, simple, regular, completo, euleriano o hamiltoniano.
(2) Encontrar una cadena simple no elemental de grado 6, un ciclo no simple de grado 5, un árbol generador, subgrafo parcial.
(3) Determinar la matriz de conexión de un digrafo, si es simple, una cadena no simple de grado 5, un ciclo simple, y si
Este documento presenta ejercicios sobre espacios vectoriales. Se analizan conceptos como combinaciones lineales, líneas y planos en el espacio, independencia lineal y subespacios. Se plantean varios problemas para descomponer vectores como combinaciones lineales de otros vectores dados, determinar líneas y planos que pasan por vectores especificados, y analizar la independencia lineal y bases de subespacios definidos por matrices dadas.
1) El documento contiene información sobre vectores, operaciones con vectores, producto escalar, rectas y ecuaciones vectoriales, paramétricas y explícitas de rectas. 2) También incluye conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores, ángulo entre rectas, bisectriz de un segmento y de un ángulo. 3) Finalmente, presenta la ecuación general de una circunferencia.
Este documento presenta una serie de ejercicios propuestos relacionados con grafos. Incluye ejercicios para determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo, si un grafo es conexo, simple, regular, completo o no. También incluye ejercicios para encontrar una cadena simple no elemental de grado 6, un ciclo no simple de grado 5, un árbol generador aplicando un algoritmo constructor, un subgrafo parcial, y demostrar si un grafo es euleriano o hamiltoniano aplicando diferentes algoritmos.
A) El documento presenta una matriz de adyacencia y una matriz de incidencia que representan un grafo. B) Define qué es un grafo conexo y explica que el grafo dado es conexo. C) Explica las características de un grafo simple y que el grafo cumple con ellas.
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1. Pág :1
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATERIAL 4
ALGEBRA LINEAL
ESPACIOS VECTORIALES.
: DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIALM
1) : Sean un cuerpo o campo y un conjuntoDEFINICIÓN Š 9Z Á
dotado de dos operaciones:
a) ADICIÓN O SUMA VECTORIAL:
Para todo se tiene que ,@ à @ − Z Ð @ @ Ñ − Z" # " #
b) MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:
Para todo ; se tiene que .! Š !− @ − Z @ − Z
Diremos que tiene estructura de ESPACIO VECTORIALZ
SOBRE EL CUERPO si y solo si se satisfacen los siguientesŠ
axiomas:
PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA SUMAAxioma 1.-
VECTORIAL:
Si . Entonces .@ ß @ − Z Ð @ @ Ñ − Z" # " #
PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA SUMA VECTORIAL:Axioma 2.-
:a @ ß @ ß @ − Z Ð@ @ Ñ @ œ @ Ð@ @ Ñ" # $ " # $ " # $
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO:Axioma 3.-
; ! tal quea @ − Z b / − Z @ / œ / @ œ @
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO:Axioma 4.-
; ! tal quea @ − Z b @ − Z @ Ð @Ñ œ Ð @Ñ @ œ /
2. Pág :2
PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA LA SUMAAxioma 5.-
VECTORIAL:
:a @ ß @ − Z @ @ œ @ @" # " # # "
(Con estas cinco propiedades se dice que es grupoÐZ ß Ñ
abeliano o conmutativo)
Axioma 6.- PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA MULTIPLICACIÓN
POR UN ESCALAR:
Si ; . Entonces .! Š !− @ − Z @ − Z
Axioma 7.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL ESCALAR:
; :a − a @ ß @ − Z Ð@ @ Ñ œ @ @! Š ! ! !" # " # " #
Axioma 8.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL VECTOR:
, ; :a − a @ − Z Ð Ñ @ œ @ @! " Š ! " ! "
Axioma 9.- PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN
POR ESCALARES: , ; : ( )a − a @ − Z Ð Ñ @ œ @! " Š ! " ! "
Axioma 10.- ;a @ − Z " − À " @ œ @Š
: Si es un espacio vectorial sobre el cuerpoTEOREMA Z O Ð à Ñ‘ ‚
Entonces:
a) y! !! œ ! à − O ! − Z
b) ; y ,! @ œ ! ! − O ! @ − Z
c) ! !@ œ ! Ê Ð œ ! ” @ œ !Ñ
d) ;Ð "Ñ @ œ @ @ − Z
DEMOSTRACIÓN: SE DEJA DE EJERCICIO!!
MM: SUBESPACIOS VECTORIALES:
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre yZ O Ð à Ñ‘ ‚
sea un subconjunto de[ Á Z Þ9
Diremos que es[ SUBESPACIO ESPACIO VECTORIAL de Z Þ
si es a su vez un espacio vectorial con las misma operaciones de[
suma vectorial y multiplicación por escalar definidas para Z Þ
3. Pág :3
:OBSERVACIÓNES
a) Todo espacio vectorial tiene como subespacios vectorialesZ
triviales sobre el cuerpo a los conjuntos yOß ! Z Þ˜ ™@
b) En tenemos por subespacios vectoriales sobre el cuerpo‘ ‘#
ß
a: que es el conjunto de˜ ™ ˜ ™Ð ! ß !Ñ à à ÐB ß C Ñ − ÎC œ 7 B‘ ‘# #
rectas que pasan por el origen; con las operaciones usuales de
suma vectorial y multiplicación por escalar.
: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo yTEOREMA Z O Ð à Ñ‘ ‚
sea un subconjunto de[ Á Z Þ9
es SUBESPACIO ESPACIO VECTORIAL de si y solo[ Z
si se verifican las siguientes propiedades de clausura o cerradura
para la suma vectorial y multiplicación por escalar.
Si , entonces3 Ñ A ß A − [ A A − [ Þ" # " #
Si y , entonces .3 3Ñ − O A − [ A − [! !
DEMOSTRACIÓN: SE DEJA DE EJERCICIO!!
:OBSERVACIÓNES
a) Para demostrar si un determinado conjunto tiene estructura
de subespacio vectorial aplicaremos la siguiente propiedad
que resume las condiciones y del TEOREMA3 Ñ 33 Ñ
anterior
Si y , entonces .! !− O A ß A − [ A A − [" # " #
b) Todo subespacio vectorial contiene al @/->9< -/<9 ./ Z Þ
Esta propiedad es útil en el sentido que si el @/->9< -/<9
que es único no pertenece al conjunto ; este no es[
subespacio vectorial de Z Þ
4. Pág :4
MMMÑ COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O
(escalares); (vectores). Se llama! ! !" # 8 " # 8
ß ß Þ Þ Þ ß − O @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z
COMBINACIÓN LINEAL de a cualquier arreglo de la@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
forma siguiente: ! ! ! ! !" " # # 3 3 8 8 3 3
@ @ Þ Þ Þ @ Þ Þ Þ @ œ @!
3œ"
8
EJEMPLOS:
a) En ; cualquier vector de la forma es combinación‘$
Ð+ ß , ß -Ñ
lineal de los vectores , ya3 œ Ð"ß !ß !Ñ à 4 œ Ð!ß "ß !Ñ à 5 œ Ð!ß !ß "Ñ
que existen escalares tal que+ ß , ß - − ‘
Ð+ ß , ß -Ñ œ + 3 , 4 - 5 œ +Ð"ß !ß !Ñ ,Ð!ß "ß !Ñ -Ð!ß !ß "Ñ
b) Forme una combinación lineal en , con los vectoresY ‘ ‘Ð Ñ =/8
y ; y los escalares y respectivamente.-9= # $
SOLUCIÓN:
La combinación lineal es: ,Ð # =/8 $ -9=Ñ − Ð ÑY ‘ ‘
Note que la función , es la definidaÐ # =/8 $ -9=Ñ − Ð ÑY ‘ ‘
por la fórmula: Ð # =/8 $ -9=ÑÐBÑ œ # =/8 ÐBÑ $ -9=ÐBÑ
c) En ; forme una combinación lineal de los vectores‘$
,: œ Ð#ß $ß &Ñ à ; œ Ð #ß %ß 'Ñ à < œ Ð!ß !ß "Ñ
Sean los números y formemos la combinación linealBß CÞ D
B † Ð#ß $ß &Ñ C † Ð #ß %ß 'Ñ D † Ð!ß !ß "Ñ
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O
(vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
Diremos que los vectores GENERAN a ; o bién que el@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z" # 8
conjunto de vectores GENERA a si y solo si TODO˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z" # 8
vector se puede expresar como una combinación lineal de los@ − Z
vectores ; es decir existen escalares tal@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ ß ß ÞÞÞß − O" # 8 " # 8
! ! !
que @ œ @!
3œ"
8
!3 3
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O
(vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
5. Pág :5
Llamaremos ESPACIO GENERADO POR LOS VECTORES8
; lo que denotaremos por@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ 1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8 " # 8
˜ ™
al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores8
; es decir:@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ 1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ œ @ − Z Î@ œ @" # 8 " # 8 3 3
˜ ™ ˜ ™!
3œ"
8
!
donde son escalares arbitrarios.!3
− O
OBSERVACIONES:
El espacio generado por los vectores , también se3Ñ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8
denota por ¡@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8
Si son vectores que generan a33Ñ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z 8" # 8
entonces , también generan a .Z ß @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ @ − Z Z" # 8 8"
: INDEPENDENCIA LINEAL:MMÑ
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo yZ O Ð à Ñ‘ ‚
. Diremos que los vectores son@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8 " # 8
LINEALMENTE INDEPENDIENTES si y solo si se verifica la siguienteß
propiedad : ;!
3œ"
8
! !3 3 3
@ œ ! Ê œ ! a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8
OBSERVACIONES:
a) La propiedad anterior significa que si se forma la combinación
lineal de los vectores y se iguala a cero, es8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
decir .! ! ! !" " # # 3 3 8 8
@ @ Þ Þ Þ @ Þ Þ Þ @ œ !
LA ÚNICA SOLUCIÓN PARA LOS ESCALARES ! ! !" # 8
ß ß Þ Þ Þ ß
está dada por .! ! !" # 8
œ œ Þ Þ Þ œ œ !
b) De no verificarse la propiedad anterior; diremos que los vectores
son LINEALMENTE DEPENDIENTES; lo cual@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
significa que a lo menos uno de los escalares ; para algún!3
Á !
. Por lo cual; a lo menos uno de los vectores3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8
se puede expresar como combinación lineal del@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8
resto.
c) También se dice que el conjunto de vectores es˜ ™@ ß @ ß ÞÞÞß @" # 8
LINEALMENTE INDEPENDIENTE o LINEALMENTE
DEPENDIENTE
6. Pág :6
OBSERVACIONES:
a) Geométricamente dos vectores en , son linealmente‘#
dependientes si uno es múltiplo del otro, es decir están en la
misma dirección o en dirección opuesta.
b) Geométricamente tres vectores en , son linealmente‘$
dependientes si y solo si estos son coplanares.
c) tiene a lo más vectores linealmente independientes.‘8
8
d) Si . Entonces el conjunto de las columnas de laE − Ð Ñ` ‘7 B 8
matriz dado por , . . . , es linealmenteE E ß E E˜ ™" # 8
independiente si y solo si el sistema tiene solamente laE B œ !
solución trivial B œ ! Þ
e) Si Entonces si y solo si las columnas (oE − Ð Ñ Þ ./> E Á !` ‘8 B 8
filas) de la matriz son linealmente independientes.E
f) Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en8
; genera a o es generador de .‘ ‘ ‘8 8 8
EJERCICIOS
ESPACIOS VECTORIALES
1. Sea yŠ ‘ ‘ ‘œ Z œ œ ÐB ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ Î B − ß a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 88 ˜ ™" # 8 3
con las operaciones usuales:
a) Suma vectorial:
ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ ÐC ß C ß ÞÞÞß C Ñ œ ÐB C ß B C ß ÞÞÞ ß B C Ñ" # 8 " # 8 " " # # 8 8
b) Multiplicación por escalar:
! ! ! !ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ œ Ð B ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8 " # 8
DEMUESTRE QUE:
) es espacio vectorial sobre el cuerpo3 Þ‘ ‘8
) a) es espacio vectorial sobre el cuerpo33 Þ‘ ‘
b) es espacio vectorial sobre el cuerpo‘ ‘#
Þ
c) es espacio vectorial sobre el cuerpo‘ ‘$
Þ
7. Pág :7
2. Sea o yŠ ‘ ‚œ Z œ !˜ ™
DEMUESTRE QUE: es espacio vectorial sobre el cuerpo˜ ™! ÞŠ
( está formado por el único elemento vector cero)Z
3. Sea y que es el conjunto de rectasŠ ‘ ‘œ Z œ ÐB ß C Ñ − ÎC œ 7 B˜ ™#
que pasan por el origen; con las operaciones usuales de suma vectorial y
multiplicación por escalar.
DEMUESTRE QUE: es espacio vectorial sobre el cuerpoZ ÞŠ
4. Sea y . Se definen las operaciones:Š ‘ ‘œ Z œ #
SUMA VECTORIAL que denotamos por :
ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ œ Ð B B ß C C Ñ" " # # " # " #
MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR :
! !ÐB ß CÑ œ Ð B ß ! Ñ
Verifique si es espacio vectorial sobre .Z ‘
&. Demuestre que las rectas que NO pasan por el origen; no son espacios
vectoriales.
6. ¿ Es espacio vectorial sobre ?3Ñ ‘ ‚
¿ Es espacio vectorial sobre ?33Ñ ‘ ‚8
¿ Es espacio vectorial sobre ?333Ñ ‚ ‘
JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE !!
7. Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘7 B 8
Ð Ñ 7 B 8
coeficientes en el cuerpo ; dotado de las operaciones:‘
SUMA VECTORIAL:
Si ,Ð+ Ñ à Ð, Ñ − Ð Ñ3 4 3 4 7 B 8
` ‘
entonces Ð+ Ñ Ð, Ñ œ Ð+ , Ñ3 4 3 4 3 4 3 4
MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR:
Si ; , entonces! ‘ ` ‘ ! !− Ð+ Ñ − Ð Ñ Ð+ Ñ œ Ð + Ñ3 4 7 B 8 3 4 3 4
Demuestre que el conjunto
es subespacio vectorial de .Q œ ÎB ß C − Ð Ñ
B B C
B C C
˜ ™Œ ‘ ` ‘# B #
8. Sea , el conjunto de las funciones reales de variable real y elY ‘ ‘Ð Ñ
cuerpo ; dotado de las operaciones: Si ; , ,‘ ! ‘ Y ‘ ‘− 0 − Ð Ñ
entonces Ð0 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ Ð 0Ñ ÐBÑ œ Ð0 ÐBÑÑ! !
8. Pág :8
Demuestre que el conjunto J œ 0 À Ä Î 0ÐBÑ œ 0Ð BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘
es subespacio vectorial de , .Y ‘ ‘Ð Ñ
9. Determine si el conjunto:
es subespacio vectorial de3Ñ M œ E − Ð ÑÎ E 38@/<>3,6/˜ ™` ‘# B #
con las operaciones usuales.` ‘# B #
Ð Ñ
33Ñ J œ 0 À Ä Î 0ÐBÑ œ 0Ð BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘
es subespacio vectorial de , con las operaciones usuales.Y ‘ ‘Ð Ñ
"! 3. ) Demuestre que:
Si son subespacios vectoriales de un espacio vectorial sobre[ à [ Z" #
el cuerpo Entonces es también subespacio vectorial deO Þ [ [ Z Þ" #
) Verifique si es verdadera la siguiente proposición:33
Si son subespacios vectoriales de un espacio vectorial sobre[ à [ Z" #
el cuerpo Entonces es también subespacio vectorial deO Þ [ [ Z Þ" #
JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE!!
10. Demostrar que el conjunto (reales positivos) es un espacio vectorial‘
sobre con la suma vectorial y producto escalar definido por‘
B Š C œ BC à B œ B! !
! ‘ ‘− ß Bà C −
11. Sea Z œ Ð`# B # ‘Ñ con la adición habitual de matrices y se define el
producto escalar por !
! !
! !Œ Œ
+ , + .
- . , .
œ
Determine si es espacio vectorial sobre .Z ‘
SUBESPACIO VECTORIAL
1. Verifique si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales con las
operaciones definidas usualmente.
3Ñ W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB œ ! §˜ ™" # $ 8 "
8 8
‘ ‘
)33 W œ ÐB ß B ß B Ñ − ÎB B B œ " §˜ ™" # $
$ # # # $
" # $‘ ‘
)333 W œ ÐB ß B Ñ − Î$B %B œ " §˜ ™" #
# #
" #‘ ‘
)3@ W œ ÐB ß B ß B Ñ − Î(B B œ ! §˜ ™" # $
$ $
" #‘ ‘
9. Pág :9
# Z œ 0 Î 0 À Ä O œ Þ. Sea función real de variable real ;˜ ™‘ ‘ ‘
Consideremos los siguientes subconjuntos de Z À
3Ñ [ œ 0 Î 0 ÐB Ñ œ Ð 0ÐBÑ Ñ 33Ñ [ œ 0 Î # 0 Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ" #
# #˜ ™ ˜ ™
333Ñ [ œ 0 Î 0 Ð "Ñ œ ! 3@Ñ [ œ 0 Î 0 /= -98>38?+ /8$ %˜ ™ ˜ ™‘
@Ñ [ œ 0 Î 0 Ð$Ñ œ " 0 Ð &Ñ @3Ñ [ œ 0Î0 /= ./<3@+,6/ /8& '˜ ™ ˜ ™‘
Verifique si los conjuntos dados tienen elementos.+Ñ
) Determine cual de estos conjuntos es subespacio vectorial de, Z
sobre el cuerpo ‘Þ
$ Z œ. Sea ‘ ‘#
y Definamos:O œ Þ
)3 ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ œ ÐB C ß ? @Ñ à ÐBß CÑ œ Ð B ß CÑ! !
)33 ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ œ ÐB C ß !Ñ à ÐBß CÑ œ Ð B ß !Ñ! !
333Ñ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ! ! !
Determine, en cada caso, si con estas operaciones es ESPACIOZ
VECTORIAL SOBRE O
% Ñ. con la adición habitual de matrices y se define elSea Z œ Ð`# B # ‘
producto escalar por !
!Œ Œ
+ , + ,
- . - .
œ
Determine si es espacio vectorial sobre .Z ‘
& Z. Sea el conjunto de todas las funciones que tienen valor complejo
sobre el eje real, tales que: a > − À 0Ð >Ñ œ 0Ð>Ñ Þ‘
Demostrar que con las operaciones usuales de suma de funciones yZ
multiplicación por escalar; es un espacio vectorial sobre .‘
6. Verifique si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales con las
operaciones definidas usualmente.
)3 W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB œ B §˜ ™" # $ 8 " #
8 8
‘ ! ‘
)33 W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB − §˜ ™" # $ 8 "
8 8
‘ ™ ‘
) ,333 W œ ÐB ß B ß B B Ñ − ÎB B œ ! §˜ ™" # $ %
% %
# $‘ ‘
7. Demostrar que es un[ œ ÐB ß B ß B Ñ − ÎB B œ B B œ !˜ ™" # $ " #
$
# $‘
subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales.‘3
10. Pág :10
COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO
Ejercicios resueltos:
1) Determinar si los siguientes vectores son LI o LD
˜ ™Ð "ß #ß $ Ñß Ð #ß "ß ! Ñß Ð $ß "ß # Ñ
Solución:
Formamos la combinación lineal nula:
! " #Ð "ß #ß $ Ñ Ð #ß "ß ! Ñ Ð $ß "ß # Ñ œ Ð !ß !ß ! Ñ
! " #
! " #
! #
# $ œ !
# œ !
$ # œ !
sistema de ecuaciones homogeneo de solución única ! " #œ œ œ !
luego los vectores son LI. ( Linealmente independientes ).
2) Determinar si los siguientes vectores son LI o LD
˜ ™Ð "ß "ß # Ñß Ð "ß "ß # Ñß Ð $ß (ß 'Ñ
Solución:
Formamos la combinación lineal nula:
! " #Ð "ß "ß # Ñ Ð "ß "ß # Ñ Ð $ß (ß ' Ñ œ Ð !ß !ß ! Ñ
! " #
! " #
! " #
$ œ !
# œ !
# # ' œ !
sistema de ecuaciones homogeneo de soluciones infinitas generadas por
el vector luego los vectores son LD. ( Linealmente!
Î Ñ
Ð Ó
Ï Ò
"
"
#
&
#
dependientes ).
Como los vectores son LD , es posible expresar uno de ellos como una
combinación lineal de los otros.
En efecto, tomemos el vector y expresémoslo como unaÐ "ß "ß # Ñ
11. Pág :11
combinación lineal de ˜ ™Ð "ß "ß # Ñß Ð $ß (ß 'Ñ
B Ð "ß "ß # Ñ C Ð $ß (ß 'Ñ œ Ð "ß "ß # Ñ
B $C œ "
B (C œ "
#B 'C œ #
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
" $ " " $ " " $ "
" ( " ! % # ! # "
# ' # ! ! ! ! ! !
µ µ
Rango igual al número de incognitas, luego tiene solución única
C œ à B œ
" &
# #
entonces:
& "
# #
Ð "ß "ß # Ñ Ð $ß (ß 'Ñ œ Ð "ß "ß # Ñ
Ejercicios propuestos:
"Ñ Determinar si los siguientes vectores son LI o LD. Si resultan L D
determinar el conjunto generador de soluciones y exprese uno de los
vectores como una combinación lineal de los otros:
a) ˜ ™Ð $ß &ß "Ñß Ð "ß #ß " Ñß Ð #ß !ß $ß Ñ
,Ñ Ð "ß "!ß &Ñß Ð !ß !ß ! Ñß Ð $ß #ß "ј ™
-Ñ Ð"ß #ß $ß %Ñß Ð#ß !ß &ß $Ñß Ð $ß $ß "ß "Ñß Ð "ß "ß #ß & ј ™
.Ñ Ð"ß #ß $ß %Ñß Ð#ß !ß &ß $Ñß Ð $ß $ß "ß "Ñß Ð "ß "ß #ß & ј ™
0Ñ Ð#ß !ß $ß "Ñß Ð "ß #ß #ß %Ñß Ð&ß !ß !ß $Ñß Ð ")ß #ß )ß "& ј ™
Sea el espacio vectorial vectorial de loos polinomios de grado#Ñ Z
2 sobre . Determinar siŸ > > "ß $> #> &ß $> (‘ ˜ ™# #
es un conjunto LI, LD.
12. Pág :12
3) Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente
independientes o linealmente dependientes.
)3 E œ ˜ ™"ß B "ß B #B "ß B §# #
c# ‘B Þ
) funciones contínuas en33 G œ =/8 ÐBÑß -9= ÐBÑß " § +ß , ߘ ™ ‘# #
V
Si resultan L D, exprese uno de ellos como una combinación lineal
de los otros.
. ‘+ß ,
.%Ñ Î Bß C − §
B (C &C
"!C B (C
Sea Y œ Œ Ÿ‘ `#B#
Demostrar que es subespacio vectorial de con lasY `#B#
operaciones usuales.
. Encuentre& 3Ñ W œ W) Sea " "˜ ™ ¡Ð"ß "ß "Ñ Þ
) . Encuentre33 Ð!ß "ß "Ñ ß Ð#ß !ß "Ñ ß Ð!ß "ß !Ñ ÞSea W œ W# #˜ ™ ¡
) Demuestre: es subespacio vectorial de' W œ 1/8 Ð"ß "Ñ ß Ð#ß &Ñ Þ˜ ™ ‘#
(Ñ Determinar si los siguientes conjuntos de funciones reales en
definidas por las fórmulas que se indican; ‘! ß " son linealmente
independientes o linealmente dependientes.
)3 0 ÐBÑ œ ÐB "Ñ à 0 ÐBÑ œ B " à 0 ÐBÑ œ #B #B $" # $
# # #
)33 0 ÐBÑ œ à 0 ÐBÑ œ B
"
B #
" #
)Ñ Sea el conjunto E œ Ð"ß !ß "Ñß Ð3ß "ß !Ñß Ð3ß #ß " 3Ñ § Þ˜ ™ ‚$
) Expresar de ser posible; los vectores3 ? œ Ð"ß #ß $Ñ C
como una combinación lineal de los vectores deA œ Ð3ß 3ß 3Ñ EÞ
) Determine si el conjunto es linealmente independiente en33 E
‚ ‚$
Ð Ñ Þ
) Determine si el conjunto es linealmente independiente en333 E
‚ ‘$
Ð Ñ Þ
*Ñ Determinar el valor de para que los tres vectores- Ð$ß "ß %ß 'Ñß
sean linealmente dependientes.Ð"ß "ß %ß %Ñß Ð"ß !ß %ß Ñ-
13. Pág :13
"!Ñ Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘# B #
Ð Ñ # B #
coeficientes en el cuerpo Determine si el conjunto de matrices‘ Þ
es L . I .˜ ™” • ” • ” • ” •
" " " " " " " "
" " " " " " " "
à à à
11 Dados los siguientes conjuntos, determine todos los posiblesÑ
subconjuntos linealmente independientes.
)3 ˜ ™Ð"ß !ß "Ñß Ð!ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "Ñß Ð#ß #ß " § Þ‘$
)33 =/8 ÐBÑß -9= ÐBÑß -9=Ð#BÑ § +ß ,˜ ™ ‘# #
V
)333 E œ ˜ ™Ð"ß !ß "Ñß Ð"ß "ß #Ñß Ð$ß #ß "Ñ § Þ‘$
)3@ F œ ŸŒ Œ Œ Œ
$ % & " ' % # "
" $ $ " " ! $ #
ß ß ß § `#B#
)@ G œ ˜ ™ ‘B / ß =/8ÐBÑß / -9=ÐBÑß " § M ßB B
V funciones contínuas
en un intervalo M Þ