1) El documento contiene información sobre vectores, operaciones con vectores, producto escalar, rectas y ecuaciones vectoriales, paramétricas y explícitas de rectas. 2) También incluye conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores, ángulo entre rectas, bisectriz de un segmento y de un ángulo. 3) Finalmente, presenta la ecuación general de una circunferencia.

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distancia
cos
cos
cos
Es un segmento de una cierta longitud
sean los puntos A a b y B c d vector c a d b
Sus caracteresticas son
sentido A B
Direccion
Modulo longitud c a d b
primero dibujar el vector u despues dibujar el vector v empezando por el final de u
el vector u v es dibujado desde el principio de u hasta el final de v
se representa por un punto el resultado es un numero
u v es el menor angulo formado entre u y v
se realiza como producto matricial a b d
c
ac bd
Vector
Propiedades
como representar la suma de dos vectores
Producto Escalar
Propiedades del producto escalar
Observacion
u es la proyeccion escalar de u en v
perpendicular
paralelo
desigualdad de Cauchy schwarz
sean los vectores u a b y v c d
u v a b c d k u k a k b k u v c d
a b
u v
u v u v
ac bd
sean u a b v c d y w e f
k u v u k v u v v u u v w u v u w u u u
u v u v o u o v
u v u k v k
u v u v
u v u w v w
v
u
no existe
Vea la imagen
vea la imagen de abajo
de abajo
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AB
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det
distinta
det
Determinada
A a b P x y y v v
y b
x a
asi que la ecuacion vectorial de una recta esta definida de la forma y b
x a
u y v son Linealmente Dependientes
tienen misma direccion
que significa que
u v u v u v
u k v k
u y v son
c d
a b
ad bc
a b k c d k
u y v son Linealmente Independientes
tienen direccion
que significa que
u v u v u v
u k v k
u y v son
c d
a b
ad bc
a b k c d k
Recta r por un punto A y un vector v
Recuerda
coplanarios
no coplanarios
Dados dos puntos A a b y B c d se define el vector de la manera seguiente
c a d b
Dado un punto A a b y un vector v v v su suma es un punto a v a v
Dados dos vectores u u u y v v v su suma es un vector w u v u v
Dado un escalar k y un vector u u u su producto es un vector ku ku
x y a b
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o
L D
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v
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cos
cos
distinto cos
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u a b u u a b
u es un vector unitario u u a b vector unitario w
u
a
u
b
u y v son ortogonales perpendiculares u v u v porque
u y v son paralelos mismo sentido u v u v u v porque
u y v son paralelos sentido u v u v u v porque
es un vector que define la orientacion de una recta
conociendo puntos podemos dibujar una recta sean esos puntos A a b y B a b
el vector director de la recta que pasa por los puntos A y B es a a b b
con el punto A o bien el B y el vector director ya se puede hallar la ecuacion de la recta
cogemos el punto A a b y el vector director c d
x y a t c b t d y b t d
x a t c
d
y b
t
c
x a
t
c
x a
d
y b
d x a d c y c b d x c y c b a d x y siendo
cb ad
c
d
su vector director v vector normal n
d x a d c y c b y b c
d
x c
a d
y b c
d
x a
siendo c
d
tg angulo formado entre la recta y el eje ox pendiente
la mediatriz de un segmento es la recta a esta y que lo divida
en partes iguales es una recta al segmento trazada desde el punto medio
sean los puntos A a b B c d del segmento AB
la ecuacion de la mediatriz es
se resuelve hasta llegar a
sean dos rectas r su vector director v a b y s su vector director v c d
si menor angulo formado entre r y s entonces
a b c d
a c b d
Vector director
Ecuacion Vectorial de la recta que pasa por A y B
Ecuacion Parametrica de la recta que pasa por A y B
Ecuacion Continua de la recta que pasa por A y B
Ecuacion General de la recta que pasa por A y B
Ecuacion Explicita de la recta que pasa por A y B
Mediatriz
Posicion de las rectas
x y a b t c d siendo t
y b t d
x a t c
c
x a
d
y b
x y
y b c
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x a
x a y b x c y d
x y
AB
AB
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cortan
cortan
infinitas
secantes
explicitas
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v k v a b k c d b k d
a k c
k d
b
k c
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b
c
d
a
b
a
b
m es la pendiente de la recta r c
d
m es la pendiente de la recta s
asi que
ax by c su vector director es v b a
a x b y c su vector director es v b a
a
a
b
b
a
a
b
b
c
c
a a b b
a
a
b
b
y m x n
y m x n menor angulo formado entre r y s
angulo formado entre las rectas r y s es tag
m m
m m
m m m m
m m y n n m m y m m
m
n n
siendo r s
son las que no se no tienen puntos en comun tambien
sistema de ecuaciones formado por las rectas r y s no tiene solucion
son las que se en un solo punto tambien
sistema de ecuaciones formados por las rectas r y s tiene una unica solucion
son las que tienen todos sus puntos comunes tambien
sistema de ecuaciones formados por las rectas r y s tiene soluciones
r s r r
r s r s
r s r s
r s r s
dist r s
r s v v v k v
r s m m
r s v v v v
r
s
Paralelas Coincidentes
Perpendiculares
r
s
Rectas
Rectas
Rectas
Dadas dos rectas r y s de ecuaciones generales
Dadas dos rectas r y s de ecuaciones
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arcos
bisectriz
Distancia
Distancia
Bisectriz
unimos vertice del angulo con el
punto de corte de los esta
semi recta es la del angulo
Pinchamos el compas en el vertice
del angulo y trazamos un arco que
corta los lados en dos puntos A y B
Pinchamos el compas en el punto A
y trazamos un arco con la misma
apertura y trazamos otro desde B
A x y y B x y
d A B Modulo
Por Pytagoras x x y y
Toda recta que que pasa por y Su Ecuacion
toda recta que pasa por y de una pendiente Su ecuacion
toda recta que pasa por dos puntos A a b y B c d Su ecuacion y b
c a
d b
x a
dist X A dist X B
dist X r dist X r
entre puntos
Ecuaciones de una Recta
a
b
c
Mediatriz de un Segmento
de un Angulo
d A B AB x x y y
A a B b a
x
b
y
A a b m y b m x a
ver imagen
ver imagen de enfrente
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Sea A a b centro de la circunferencia y X x y circunferencia
dist X A r x a y b r
Ecuacion Reducida x a y b r
Forma general Ax By Cxy Dx Ey F
Ecuacion de una Circonferencia
Angulo entre dos rectas
vea imag abajo
vea la imagen para entenderlo
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determinar
Distancia
distancia
cos cos
cos
Bisectriz
Distancia
Distancia
Distancia
vectores vector punto y vector punto Producto escalar es un numero
Para la ecuacion de una recta hace falta una de estas dos condiciones
un punto A a b y un vector v v v
dos puntos A a b y B c d un punto A a b y un vector c a d b
x y a b v v con
y b v
x a v
v
x a
v
y b
y b v
v x a Pendiente m v
v
y m x n
n es la ordenada en el origen valor de y cuando x
m es la pendiente
Ax By C
si la recta corta a los ejes en los puntos A m y B n su ecuacion puede escribirse
de la forma
r Ax By C
v B A vector director
n A B vector normal
m B
A se fija en el vector director
v n
si u a b y u v v b a un vector a v v v es w v v
u v u v v u sus coordenadas son proporcionales
r s Coincidentes
A
A
B
B
C
C
r s Secantes
A
A
B
B
r s Paralelas
A
A
B
B
C
C
sus vectores normales son
sus vectores directores son
r s m m y n n Coincidentes
r s m m Secantes
r s m m y n n Paralelas
Eje de coordenadas eje de ordenadas eje y eje de las abscisas eje x
A B dist b a b a
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A B
A a B b C
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A B
r s v v
v v
v v
r s
A B A B
AA BB
r s
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m m
m m r s
Simetria Central Simetria axial
Mediatriz de un segmento de un angulo
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion Continua
Ecuacion Punto Pendiente
Ecuacion Explicita
Ecuacion Implicita
s A x B y C
r Ax By C
s y m x n
r y mx n
sea A a a y B b b
r Ax By C y un punto P a b
s Ax By
r Ax By
s A x B y C
r Ax By C
s y m x n
r y m x n
Resumen
entre dos puntos
entre un punto y una recta
entre dos rectas
Angulo Formado entre dos rectas
m
x
n
y
AB
AB AB
1
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distancia
cos cos
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Bisectriz
Distancia
Distancia
Distancia
vectores vector punto y vector punto Producto escalar es un numero
Para la ecuacion de una recta hace falta una de estas dos condiciones
un punto A a b y un vector v v v
dos puntos A a b y B c d un punto A a b y un vector c a d b
x y a b v v con
y b v
x a v
v
x a
v
y b
y b v
v x a Pendiente m v
v
y m x n
n es la ordenada en el origen valor de y cuando x
m es la pendiente
Ax By C
si la recta corta a los ejes en los puntos A m y B n su ecuacion puede escribirse
de la forma
r Ax By C
v B A vector director
n A B vector normal
m B
A se fija en el vector director
v n
si u a b y u v v b a un vector a v v v es w v v
u v u v v u sus coordenadas son proporcionales
r s Coincidentes
A
A
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A
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A
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B
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C
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sus vectores normales son
sus vectores directores son
r s m m y n n Coincidentes
r s m m Secantes
r s m m y n n Paralelas
Eje de coordenadas eje de ordenadas eje y eje de las abscisas eje x
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A B
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v v
v v
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A B A B
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tan tan r s
m m
m m r s
Simetria Central Simetria axial
Mediatriz de un segmento de un angulo
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion Continua
Ecuacion Punto Pendiente
Ecuacion Explicita
Ecuacion Implicita
s A x B y C
r Ax By C
s y m x n
r y mx n
sea A a a y B b b
r Ax By C y un punto P a b
s Ax By
r Ax By
s A x B y C
r Ax By C
s y m x n
r y m x n
Resumen
entre dos puntos
entre un punto y una recta
entre dos rectas
Angulo Formado entre dos rectas
m
x
n
y
AB
AB AB
1
2
0
0
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Determinar
paralelogramo
Determina
Determinar
explicita
Ejercicio
a b c d e
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a b c
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Dados los puntos P y Q y los vectores u v y w
Calcula y di si los resultados son un punto un vector o un numero
P v w v w u v
dados los puntos A y B halla
punto medio de AB simetrico de A respecto de B
simetrico de B respecto de A
obten un punto P de AB tal que
obten un punto Q de AB tal que
El punto P es el punto medio del segmento AB siendo A hallar B
Halla el punto simetrico de P respecto al punto Q
el punto P simetrico de P respecto de la recta r x y
Hallar las coordenadas del vertice D del ABCD
Sabiendo que A B C
Dar las coordenadas del punto P que divide el segmento de extremos A y B
en dos partes tales que BP PA
los puntos que dividen al segmento en AB en tres partes iguales siendo
A y B
k para que los puntos A B y C k esten alineados
Halla las ecuaciones parametricas continua implicita de la recta que pasa por A y B
A B A B A B
PQ PQ
AP PB
AQ AB
1 2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 2 3 2 2 1 1 1
2 4
1 7 7 3
2 5
1 7
3 2 1 3
1 2 2 1
3 2 2 8 0
1 2 5 1 6 3
3 4 0 2
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2 1 3 4
3 5 2 1 6
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distancia
bisectriz
Ejercicio
a
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a b
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a
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Ejercicio
a b c
n
n
n
n
n
n
n
n
Escribir las ecuaciones parametricas de las seguientes rectas
Pasa por el punto A y su vector de direccion es v
Pasa por el punto P y es paralela a y t
x t
siendo t
Pasa por A y es perpendicular a la recta r x y
Es perpendicular al segmento PQ siendo P y Q en su punto medio
Halla m y n para que las rectas
s nx y
r mx y
sean y que r pasa por el punto P
Sea r y k t
x t
t
Dada la recta r x y y el punto P
Halla las ecuaciones de las rectas s y t que pasen por P y sean
r paralela a s r s t perpendicular a r t r
Halla la ecuacion parametrica y cartesiana de r
x y
Estudia la posicion relativa de las rectas
r x y s y x
Las ecuaciones de los lados del triangulo ABC son
r x y
r x y
r x y
Hallar
los vertices del triangulo
el vector que une los puntos medios de AB y AC comprueba que es paralelo a BC
Halla la del punto P a las rectas
y t
x t
t y x
la del cuadrante
calcula k para que r sea a
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16
17
18
3 1 2 0
5 2 2
1
1 3 2 3 6 0
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3 2 6 0 5 1
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. . . . . . . . . .
determine
distancia
Determinar distancia
Ejercicio
a
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a b c
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Sea r Ax By C y t y ax b siendo a
halla los vectores directores y normales de las rectas r y t
halla la ecuacion de la recta s sabiendo que s r
halla la ecuacion de la recta q sabiendo que q t y cual es su pendiente
Halla la longitud del segmento que la recta r x y
al cortar los ejes de coordenadas
Halla la entre las dos rectas
s x y
r x y
c para que la de la recta r x y c al punto P sea
Halla el angulo que forman los seguientes pares de rectas
s y x
r y x
x y
x y
Que angulo forma la recta r x y con el eje de las abscisas
Halla n para que la recta r x ny forme con el eje ox
En el triangulo de vertices A B y C hallar las ecuaciones de
la altura que parte de B la mediana que parte de B la mediatriz del lado CA
Halla el angulo que forman las rectas r y t
x t
s x y
Halla la ecuacion de una recta que pasa por el punto P y forma un angulo de
con una recta r x y
En el triangulo de vertice A B y C
calcula la longitud de la altura que parte de B
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29
0 0
2 5 0
2 4 7 0
2 8 0
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3 1
2 5
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3 2 6 0
3 2 0 45
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distan
distancia
tan
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Halla la ecuacion de la recta paralela a r x y que de r
Halla un punto de la recta r y x que equidista de los puntos A y B
Calcula todos los lados y angulos del triangulo
A B C
Sean A y B dos vertices del lado de un cuadrado
calcula los otros vertices y area del cuadrado
Calcula la entre el punto P y la recta r x y k k
Que angulo forma la recta x y con el eje de las abscisas
Hallar el pie de la perpendicular proyeccion ortogonal trazada desde P a la recta
r x y
Calcula el punto P del eje de las abscisas que equidista de la rectas
r x y y s x y
Ecuacion de la recta formada por los puntos que equidis de y de
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32
33
34
35
36
37
38
2 3 0 5
3 2 5 1 3 2
2 2 3 6 8 3
1 1 4 5
3 3 2 0 2 4
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es un vector P v es un punto
w es un vector v w es un vector
u v es un escalar un numero
sea M Punto medio de AB
M
Sea A simetrico de A respecto de B
es lo mismo que decir que B es el punto medio de AA
y
x
y
x
A
Sea B simetrico de B respecto de A
es lo mismo que decir que A es el punto medio de BB
y
x
y
x
A
sea P x y x y x y
y
y
x
x
y
x
y
x
luego P
Sea Q x y x y
y
x
y
x
luego P
Ejercicio
a b c d e
a b
c d
e
Ejercicio
n
Respuesta
vectores vector punto y vector punto Producto escalar es un numero
n
Respuesta
Dados los puntos P y Q y los vectores u v y w
Calcula y di si los resultados son un punto un vector o un numero
P v w v w u v
dados los puntos A y B halla
punto medio de AB simetrico de A respecto de B
simetrico de B respecto de A
obten un punto P de AB tal que
obten un punto Q de AB tal que
Recuerda
vea la imagen
vea la imagen
vea la imagen
PQ
PQ
AP PB AP PB
AQ AB AQ AB
PQ PQ
AP PB
AQ AB
3 1 2 2 2 4 1 2 2 1 1 1
2 4 1 1 3 3 2 4 4 2 4 4 8 6
3 2 2 1 6 2 4
2
7 1
2
7 3
4 2
2
7
3
2
1
7
13
13 13 13
3
2
3
7
2
7
1
17
5 5 17
4 2 5 2 5 1 7 2 5 7 3
7 5
6
5
2
1 5
14
5
2
5
7
5
29
5
7
5
19
7
29
7
19
7
19
7
29
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1 7
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13
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7
39
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2
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2
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interseccion
Determinar
sea B x y luego x y y
x
y
x
B
Sea P x y asi que x y y
x
y
x
P
P simetrico de P respecto de la recta r que P y P
se encuentran sobre una recta s que es a r
asi que lo vamos a hallar la recta s r por P
r
vector normal n
vector director v
s pasa por P y vector director v n
luego n s x y c x y c
y como P s c c
luego la recta s x y
Hallemos el punto M que es el punto de de las dos rectas
s
r
x y
x y
x y
x y
y
x
M
Por ultimo M es el punto medio de P y P PM MP x y
x y
y
x
y
x
P
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
r Ax By C
su vector normal perpendicular n A B
su vector director es v B A
El punto P es el punto medio del segmento AB siendo A hallar B
Halla el punto simetrico de P respecto al punto Q
el punto P simetrico de P respecto de la recta r x y
vea la imagen
vea la imagen
Recuerda
vea la imagen
AP PB
PQ QP
2 5 3 2 5 2
2 3
7
5 5 7
1 3 2 1 1 3
2 1
4
3 3 4
1
2 1
1 2
3 2 2 1
1 2 1 2 0 2 0
1 3 2 2 0 1
2 1 0
2 1 0
2 8 0
2 1
2 8
1 2
2 1
1 1
2 8
5
2 8
5
6
1 2
2 1
1 2
8 1
4 1
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5
17
5
6
5
16
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6
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17
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5
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5
49
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22
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0
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determinante det
paralelogramo
Determina
Determinar
AB DC
x y
y
x
y
x
D
Sea P x y tal que BP PA x y x y
y y
x x
y
x
P
sea M a b y N c d
y N es el medio de MB
N es el medio de MB N es el medio de MB
a b
N es el medio de MB
a b
b
a
b
a
M
N c d N
y k para que A B C esten alineados
el de
k k k k
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Hallar las coordenadas del vertice D del ABCD
Sabiendo que A B C
Dar las coordenadas del punto P que divide el segmento de extremos A y B
en dos partes tales que BP PA
los puntos que dividen al segmento en AB en tres partes iguales siendo
A y B
k para que los puntos A B y C k esten alineados
vea la imagen
vea la imagen
vea la imagen
AB AM
AB AM
AB BC
AB BC
5 1 1 2 6 3
3 3
6 4
6
2 2 6
2 0 2 2 3 4
2 8 2
6 2
2
2 2 2
3
3 3 2 4 1 3 2 1 5 3 3 6 3 3
3 3 3
5 3 6
2
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1
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4
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4
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0
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5 4
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1
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explicita
A B
cogiendo el punto A
x y siendo x y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y x y x y
A B
cogiendo el punto A
x y siendo x y
y
x
y
x
y
x
x y
se puede hallar directamente
x y
o bien deduciendo de la continua
x y
x y
A B
cogiendo el punto B
x y siendo x y
y
x
y
x
x y x y
x y
x y
Ejercicio
a b c
m
x
n
y
a
b
c
Ec Vectorial
Ec Parametrica
Ec Continua
Ec Cartesiana o Implicita
Ec Vectorial
Ec Parametrica
Ec Continua
Ec Cartesiana o Implicita
Ec Vectorial
Ec Parametrica
Ec Continua
Ec Implicita
n
Respuesta
si la recta corta a los ejes en los puntos A m y B n su ecuacion puede
escribirse de la forma
Halla las ecuaciones parametricas continua implicita de la recta que pasa por A y B
A B A B A B
Recuerda
AB AB
OA AB
AB AB
OA AB
AB
OB AB
1 1 3 2 3 1 2 1 4 1
1 1
1 1 4 1
1 1
1 4
1
1 4
1
4
1
4
1
1
4
1
1 1 4 4 4 5 0
0 4 5 0 5 0 0 4 5 4
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5
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1 2
1 2 4 3
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1
3
2
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1
3
2
4
1
3
2
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1 1 3 2 0 4 5 0 3 5 1 2
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R
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bisectriz
bisectriz
pasa por el punto A y su vector de direccion es v
sea s esa recta buscada su Ecuacion vectorial es x y t v siendo t
Ecuacion Parametrica s y t
x t
s y
x t
pasa por A y es perpendicular a la recta r x y
Sea s la recta buscada que pasa por A y s r v v
r x y v y n y v n v n
luego la ecuacion parametrica de s y t
x t
t
pasa por el punto P y es paralela a r y t
x t
siendo t v
sea s la recta buscada r s tienen mismo vector director v v
su ecuacion parametrica es s y t
x t
t
es perpendicular al segmento PQ siendo P y Q en su punto medio
P y Q sea M punto medio de PQ tal que M
vector director del segmento PQ es su vector normal es n
luego n es el vector director de la perpendicular al segmento PQ
su ecuacion parametrica es y t
x t
t
r pasa por el punto P m m
r mx y v m s nx y v n
r s v v v v n n n
la del cuadrante es s y x
v k y v
r s v v son proporcionales
sus coordenadas
k
k
n
Respuesta
r Ax By C v B A vector director n A B vector normal v n
si u a b y u v v b a u v u v
v u sus coordenadas son proporcionales
n
Respuesta
n
Respuesta
la del cuadrante
calcula k para que r sea a
Ejercicio
a
b
c
d
a
c
b
d
Ejercicio
Ejercicio
Escribir las ecuaciones parametricas de las seguientes rectas
Pasa por el punto A y su vector de direccion es v
Pasa por el punto P y es paralela a y t
x t
siendo t
Pasa por A y es perpendicular a la recta r x y
Es perpendicular al segmento PQ siendo P y Q en su punto medio
Halla m y n para que las rectas
s nx y
r mx y
sean y que r pasa por el punto P
Sea r y k t
x t
t
Recuerda
Vea la imagen
OA
PQ
3 1 2 0
1 0
3 2
1
3 2
1 3 2 3 6 0
1 3
2 3 6 0 3 2 2 3 2 3
3 3
1 2
5 2 2
1 1 2
1 2
2 2
5 1
0 4 6 0
0 4 6 0 2
6
2
4 3 2
6 4 4 6
4 6
2 6
3 4
1 4 1 2 4 5 0 3
2 5 0 2 2 3 6 8 0 6
0 2 6 3 0 3 12 4
3 1 1
1
3
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3 1 2 0
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1 3 2 3 6 0
0 4 6 0
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R
R
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R
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r x y y el punto P
r s la ecuacion cartesiana de s x y cte
y como P s cte cte luego s x y
t r r x y v y n
P t asi que se concluye que t
x y
t x y
vector director de r es v y vector posicion P
r y t
x t
t r y t
x
t
r
x y
x r x
s y x
r x y
r s r y s Secantes
Ejercicio
a b
a
b
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a
b
n
Respuesta
s A x B y C
r Ax By C
r s
B B
y
A A
n
Respuesta
n
Respuesta
s A x B y C
r Ax By C
r s
A
A
B
B
C
C Coincidentes
r s
A
A
B
B Secantes
r s
A
A
B
B
C
C Paralelas
n
Dada la recta r x y y el punto P
Halla las ecuaciones de las rectas s y t que pasen por P y sean
r paralela a s r s t perpendicular a r t r
Halla la ecuacion parametrica y cartesiana de r
x y
Estudia la posicion relativa de las rectas
r x y s y x
Las ecuaciones de los lados del triangulo ABC son
r x y
r x y
r x y
Hallar
los vertices del triangulo
el vector que une los puntos medios de AB y AC comprueba que es paralelo a BC
vector normal al vector director
Recuerda
Recuerda
Ecuacion Parametrica
Ecuacion cartesiana
s y m x n
r y mx n
r s m m y n n Coincidentes
r s m m Secantes
r s m m y n n Paralelas
3 2 6 0 5 1
3 2 0
3 5 2 1 0 13 3 2 13 0
3 2 6 0 2 3 3 2
3
5
2
1
2 3 13 0
0 7 5 0
0 7
5 0
7
5
0
5
7 7 35 0 5
4 7 0
3 5 0
1
1
4
3
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0
1
1
0
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1
3 2 6 0 5 1
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interseccion
interseccion
interseccion
distancia
distancia
Distancia
el punto de entre AB y AC es el punto A hallemos su
r x y
r x y
x y
x y
Aplicando la regla de cramer
y
x
A
el punto de entre AB y BC es el punto B hallemos su
r x y
r x y
x y
x y
Aplicando la regla de cramer
y
x
B
el punto de entre AC y BC es el punto C hallemos su
r x y
r x y
x y
x y
y
x
C
sea M punto medio de AB M
sea M punto medio de AC M
y como paralelos
sea r y t
x t
t
t y
t
x
r
x
y r
x
y
dist P r
sea r y P dist P r
sea r x P dist P r
Respuesta
n
Respuesta
r Ax By C y un punto P a b
P r dist P r
A B
A a B b C
a
b
Ejercicio
a b c
a
b
c
Halla la del punto P a las rectas
y t
x t
t y x
Recuerda
entre un punto y una recta
MM BC
MM BC
2 0
2 4 0
2 0
2 4
1 2
1 2
1 0
1 4
2 2
4
1
1 2
1 2
0 2
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2 2
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2 1
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0 2 3
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4
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2 0
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Distancia
determine
r Ax By C
n A B
v B A
t y ax b t ax y b
n a
v a
s r
n v B A
v n A B
s Bx Ay Cte
q t
n v a
v n a
q x a y Cte y a x a
Cte
su pendiente es a
la recta r corta el eje x y r x x r corta el eje x en el punto A
la recta r corta el eje y x r y y r corta el eje x en el punto B
dist
Ejercicio
a
b
c
a
b
c
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Eje de coordenadas eje de ordenadas eje y eje de las abscisas eje x
sea A a a y B b b A B dist b a b a
Sea r Ax By C y t y ax b siendo a
halla los vectores directores y normales de las rectas r y t
halla la ecuacion de la recta s sabiendo que s r
halla la ecuacion de la recta q sabiendo que q t y cual es su pendiente
Halla la longitud del segmento que la recta r x y
al cortar los ejes de coordenadas
Recuerda
AB AB
AB AB
0 0
1
1
0
1
1
1 0
1 1
0 5 0 5 5 0
0 2 5 0 2
5 0 2
5
0 5 2
5
0 25 4
25
4
125
2
5 5
1
0
0 0
2 5 0
r
r
t
t
s r
s r
q t
q t
1 2 1 2 1 1 2 2
2
2
2 2
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l
l
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c
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estan
cos cos
cos
distancia
distancia
distancia
Determinar distancia
Antes de nada veamos si de verdad paralelas r s
s x y
r x y
s x y
r x y
dist r s
hallemos un punto P que a r luego se calcula la dist P s
para hallar el punto P se hace asi para x se remplaza en r y P
dist r s dist P s
dist P r
c c
c c existen dos rectas
r x y s x y
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a b
n
Respuesta
punto P a b
r Ax By dist P r
A B
A a B b C
n
Respuesta
n
Respuesta
s A x B y C
r Ax By C
r s v v
v v
v v
r s
A B A B
AA BB
r s
Recuerda
Recuerda
metodo
metodo
s Ax By
r Ax By r s dist r s
A B
s y m x n
r y m x n
tan tan r s
m m
m m r s
entre dos rectas
entre un punto y una recta
Angulo Formado entre dos rectas
Halla la entre las dos rectas
s x y
r x y
c para que la de la recta r x y c al punto P sea
Halla el angulo que forman los seguientes pares de rectas
s y x
r y x
x y
x y
2
1
4
2
7
8
2 4 7 0
2 8 0
2 4 7 0
2 4 16 0
2 4
16 7
20
9
0 4 0 4
2 4
2 0 4 4 7
20
9
1 3
1 6 2 3
10
10 10 10
10
3 10 0 3 10 0
21
0
2
23
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1
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0
1 0 2
2 4 7 0
2 8 0
3 0 6 2 10
3 1
2 5
10 6 3 0
3 5 7 0
r s
r s
r s
s s
r r
r s
r s
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
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U
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a b
a a a
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- - - - - - - - - -
c
c
c
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g g
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g h
h
h
h
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cos
cos cos
tan
s y x
r y x
pendiente de s m
pendiente de r m
tan r s tan
tan r s r s
s x y
r x y
r s r s
otro metodo v v
r s v v
v v
v v
r s
Sea s eje de las abscisas eje de x y la pendiente m
r x y r y x la pendiente m
angulo formado entre r y s es tan r s r s arctan
sea s eje ox y m r x ny r y n x n
angulo formado entre r y s es tan r s
n
n
n
n n
la solucion son
r x y
r x y
r y x m tan si es la solucion
r y x m tan no es solucion
por ultimo la solucion es n
a
b
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Que angulo forma la recta r x y con el eje de las abscisas
Halla n para que la recta r x ny forme con el eje ox
3 1
2 5
3
2
1 2 3
2 3
5
5
1
1 4
10 6 3 0
3 5 7 0
3 5 10 6
3 10 5 6
0 2
5 3 6 10
5 3 6 10
5 3 6 10
34 136
30 30
0 2
0 0
3 2 6 0 2
3
3 2
3
1 2
3
0
2
3
0
2
3
2
3
56 18 36
0 0 3 2 0
3 2
45
1
3
0
3
0 3
1 3 3
3
3 3 2 0
3 3 2 0
3
2
1 1 45
3
2
1 1 45
3
24
25
3 2 6 0
3 2 0 45
s
r
r s
r s
r s
r s
s
r
s
r
r
2 2 2 2
2 2 2 2
& &
+
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b
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r
r
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a a
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c
l
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c
c
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la altura que parte de B es una recta a AC llamamosle a esta recta s
que es a su vez el vector director de la recta AC
como la recta s AC v v vector director y tambien conocemos el punto B s
asin que la ecuacion de s y t
x t
t s
x y
s x y
o bien se puede hallar de la manera seguiente
sabemos que s tiene por v vector normal a s es n y B
s x y cte como B s cte cte asi que la ecuacion de s es
s x y
sea t la mediana que parte de B corta segmento AC por la mitad en el punto M x y
A y C M x y M
asi que vector direccion de t es v y B t
v n y B t
t x y cte pero como B t cte cte por ultimo
t x y t x x t x y
Ejercicio
a b c
a
b
n
Respuesta
En el triangulo de vertices A B y C hallar las ecuaciones de
la altura que parte de B la mediana que parte de B la mediatriz del lado CA
Vea la imagen
AC
AC
BM
3 2 4 3 5 7
7 5
1 5
5 7
7
5
5
1
5 7 18 0
7 5 5 7 5 1
5 7 0 5 5 7 1 0 18
5 7 18 0
2 3 3 4 2
2 3
2
3 4
2
1
2
1
2
1
5 2
1
1 2
9
2
3 5 1
2
9
2
3
2
3
2
9 5 1
2
3
2
9
0 5 1
2
3
5 2
9
1 0 3
2
3
2
9
3 0 3 9 6 0 3 2 0
26
2 3 5 1 3 4
R
t
s s
s s
t
t
( (
+ +
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b
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b
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cos cos
sea r la mediatriz del lado CA es a CA en su punto medio ya calculado anteriormente
M v n
r x y cte y como M r cte cte por ultimo
r x y
vector director de r es v vector director de s es v
r s v v
v v
v v
r s
r x y r y x m
Sea s la recta buscada de la que se sabe que pasa por P y forma un angulo con r
tg m m
m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m m
m m
m
m
asi que son dos pendientes luego son dos rectas s y s
s y m x cte
s y x cte
s y x cte
como P a s y a s
s cte cte luego s y x
s cte cte luego s y x
c
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
angulo formado entre dos rectas r y s es tan m m
m m
Halla el angulo que forman las rectas r y t
x t
s x y
Halla la ecuacion de una recta que pasa por el punto P y forma un angulo de
con una recta r x y
Recuerda
CA
2
1
2
1
2 3 3 4 5 7 7 5
7 5 0 7 2
1
5 2
1
0 1
7 5 1 0
1 2 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
5 2
1
10
1
71 33 54
2 3 6 0 3
2
2 3
2
3 5 45
45 1 1 1
1 3
2
3
2
1 3 2
2 3
1
3 2
2 3
1
3 2
2 3
1
2 3 3 2
2 3 3 2
5
1
5
5
1
5
3 5
5 5 3 20 5 20
5 5
1
3 5
22
5
1
5
22
27
2
1
4 2 0
3 5 45
2 3 6 0
r r
r s
r s
r s
r s
r
r s
r s
s
s
s
s
s
s
s
s
s s
s s
s
s
s
r s
r s
1 2
2
1
1 2
1 1
2 2
2 2 2 2
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distan
la longitud de la altura que parte de B
fijandonos en la imagen esa altura corta AC en H
la recta AC r tiene por vector director y n
r x y cte pero como A r cte cte
r x y r y y
altura B H dist B r
sea s la recta paralela a r ha de tener una ecuacion de la forma s x y cte
s x y cte
r x y
tambien sabemos que dist r s
cte
cte cte
cte
cte
cte
hay dos soluciones
s x y
s x y
Sea P x y ses punto a r cumple la ecuacion y x
tambien cumple dist A P dist B P x y x y
x x y y x x y y x y
x y
x y
aplicando la regla de Cramer
x y luego P
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
a
b
a
b
n
Respuesta
n
Respuesta
s Ax By
r Ax By
dist r s
A B
n
Respuesta
En el triangulo de vertice A B y C
calcula la longitud de la altura que parte de B
Halla la ecuacion de la recta paralela a r x y que de r
Halla un punto de la recta r y x que equidista de los puntos A y B
vea la imagen
Recuerda
AC AC
8 3
6 0 0 6
0 6 0 0 0 6 1 0 6
0 6 6 0 6 6 0 1 0
0 1
8 0 3 1 1
4
2 0
2 0
2 3 0
5
2 1
3
5
3 5 3 5
3 5
8
2
2 8 0
2 2 0
3 2
5 1 3 2
10 25 2 1 6 9 4 4 4 6 13 0
3 2
4 6 13
3 1
4 6
2 1
13 6
4 18
13 12
14
1
14
3 2
4 13
14
8 39
14
31
14
1
14
31
29
0
0
0
3
0 1 8 3 6 1
2 3 0 5
3 2 5 1 3 2
AC AC
AC AC
AC AC
AC
2
1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
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modulos
cos cos
arccos
cos cos
arccos
cos cos
arccos
distancia
Primero calculemos los vectores de los lados para luego hallar sus
Para hallar los angulos
el vector el vector es
Hallar los vertices sumando a los vertices A y B el vector
C A
D B
dist A B
Area del cuadrado
r y k
x k x y
r x y
n
v
dist P r
Que angulo forma la recta x y con el eje de las abscisas
x y y x la pendiente de la recta es tan
asi que el angulo formado entre la recta y el eje ox es de
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
definicion de una pendiente
n
Respuesta dist A B
n
Respuesta un vector a v v v es w v v
n
Respuesta
n
Respuesta
la pendiente es el angulo que forma la recta con el eje ox eje de las abscisas
Calcula todos los lados y angulos del triangulo
A B C
Sean A y B dos vertices del lado de un cuadrado
calcula los otros vertices y area del cuadrado
Calcula la entre el punto P y la recta r x y k k
Recuerda
Recuerda
Recuerda
AB AC BC
AB AC BC
AB AC
AB AC
AB AC
BA BC
BA BC
BA BC
CB CA
CB CA
CB CA
AB AB
AB
AB
AB
AB
1 4 6 1 5 3
1 4 17 6 1 37 5 3 34
17 37
1 6 4 1
0 4
0 4
17 34
1 5 4 3
0 29
0 29
34 37
5 6 3 1
0 76
0 76
4 1 5 1 3 4 4 3
1 1 4 3 3 4
4 5 4 3 0 8
3 4 5
5 5 25
0 4
2 2
2
2
4 2 4 0
2 1
1 2
2 1
2 3 3 1 4
5
5
5
6 0
6 0 1 6 1 1 45
45
32
33
34
35
2 2 3 6 8 3
1 1 4 5
3 3 2 0 2 4 R
r
r
1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
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interseccion
tan
r x y
n
v
sea s la recta a r a la que P n v y n v
asi que la podemos escribir de la forma s x y cte y como P s cte
luego s x y ahora calculemos el punto de entre r y s
s x y
r x y
x y
x y
x y luego P
P ox P x tambien sabemos que dist P r dist P s
dist P r dist P s
x x x x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
esto implica que hay dos puntos P P
sean x y los puntos de la recta que equidista de y de
ha de verificar dist x y dist x y x y x y
x y x y x x y y x x y y
x y x y
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Hallar el pie de la perpendicular proyeccion ortogonal trazada desde P a la recta
r x y
Calcula el punto P del eje de las abscisas que equidista de la rectas
r x y y s x y
Ecuacion de la recta formada por los puntos que equidis de y de
2 4 0
1 2
2 1
2 0 2 1 1 3 0
2 1 0
2 1 0
2 4 0
2 1
2 4
2 1
1 2
1 1
4 2
5
6
5
2 1
1 4
5
7
5
6
5
7
0
3 4
3 4 0 6
1 2 2
2 2 0 9
5
3 6
3
9
3 6
3
5 9
3 6 3
5
15
3 6 3
5
15
3
14
9
3
4
21
14
27
4
63
4
63
0 14
27
0
5 2 2 1
5 2 2 1 5 2 2 1
5 2 2 1 10 25 4 4 4 4 2 1
6 6 24 0 4 0
36
37
3
1 3
2 4 0
3 4 6 0 2 2 9 0
5 2 2 1
r
r
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1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
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