El documento presenta un análisis de las propiedades de dos grafos. En el primer grafo, se determina que no es simple, regular ni completo. También se identifica un árbol generador y se demuestra que es hamiltoniano. En el segundo grafo, un dígrafo, se determina que no es simple y que es fuertemente conexo.
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Educación Superior para el Poder Popular
Universidad “Fermín Toro” Facultad de Ingeniería
Cabudare – Edo Lara
Alumno: Ricardo Richard.
Materia: Estructuras Discretas II.
Sección: SAIA
2. 1. Dado el siguiente grafo
Encontrar:
a) Matriz de adyacencia:
Ma =
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v8
v
1
0 1 1 0 0 1 1 1
v
2
1 0 1 1 1 0 1 0
v 1 1 0 1 1 0 1 1
5. Mi =
c) ¿Es conexo?. Justifique su respuesta:
El grafo Si es conexo debido a que se cumple que para todo par de vértices {U, V} tenemos que U y V
están conectados.
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a1
0
a1
1
a1
2
a1
3
a1
4
a1
5
a1
6
a1
7
a1
8
a1
9
a20
v
1
1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v
2
1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v
3
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
v
4
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
v
5
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
v
6
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
v
7
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
v
8
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
6. d) ¿Es simple?. Justifique su respuesta:
El grafo No es simple debido a que contiene aristas paralelas y para ser simple no debe contener
este tipo de aristas.
e) ¿Es regular?. Justifique su respuesta:
El grafo No es regular debido a que no todos los vértices tienen el mismo grado o valencia (sumatoria
de aristas de cada vértice):
v1=5; v2=5; v3=6; v4=4; v5=5; v6=5; v7=4; v8=6.
f) ¿Es completo? Justifique su respuesta:
El grafo No es completo debido a que contiene aristas paralelas y más de una arista por cada par de
vértices. En consecuencia podemos encontrarnos con varios sub-grafos.
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
En el grafo tenemos más de 1 cadena simple no elemental de grado 6. Aquí una de ellas:
7. V
3
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
h) Un ciclo no simple de grado 5:
Un Ciclo no simple es un ciclo que no es una cadena simple. No se puede demostrar, ya que todas las aristas
son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de ningún grado.
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor:
H1= {1} seleccionamos a5.
H2= {v1, v7} seleccionamos a12.
H3= {v1, v7, v3} Seleccionamos a3.
8. H4= {v1, v7, v3, v2} seleccionamos a10.
H5= {v1, v7, v3, v2, v4} seleccionamos a20.
H6= {v1, v7, v3, v2, v4, v8} seleccionamos a19.
H7= {v1, v7, v3, v2, v4, v8, v5} seleccionamos a12.
H8= {v1, v7, v3, v2, v4, v8, v5, v6} seleccionamos a14.
j) Sub-grafo parcial
Camino (a) v1, v3, v2 Camino (b) v2, v8, v6, v7 Camino (c) v1, v4, v3
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury:
Un grafo es eulerinano cuando este es no dirigido, conexo y si todos sus vértices poseen
valencia o grado par. Nuestro grafo no es euleriano debido a que posee vértices de valencia o grado impar
(v1=5; v2=5; v5=5 & v6=5).
9. l) Demostrar si es hamiltoniano:
Un grafo es hamiltoniano si todos los vértices tienen valencia o grado mayor o igual n/2, donde "n" es el
número de vértices del grafo.
Esta condición es necesaria mas es no suficiente debido a que si existe al menos un vértice que no
cumpla la relación entonces no sabemos si el grafo es hamiltoniano.
Para cada vértice "V" comprobamos la relación: grado(V) >= 8/2.
Vértice v1: 5 >= 8/2 = 4.
Vértice v2: 5 >= 8/2 = 4.
Vértice v3: 6 >= 8/2 = 4.
Vértice v7: 4 >= 8/2 = 4.
Vértice v8: 6 >= 8/2 = 4.
Vértice v4: 4 >= 8/2 = 4.
Vértice v6: 5 >= 8/2 = 4.
10. Vértice v5: 5 >= 8/2 = 4.
Así concluimos que el grafo si es hamiltoniano debido a que los vértices tienen grado mayor o igual a
4.
2.- Dado el siguiente dígrafo
a) Encontrar matriz de conexión
Mc=
11. a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a1
0
a1
1
a1
2
a1
3
a14
V
1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V
2
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V
3
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V
4
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V
5
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V
6
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
b) ¿Es simple?. Justifique su respuesta:
El dígrafo No es simple debido a que para ser simple no puede contener lazos, ni aristas paralelas, ni
aristas dirigidas y nuestro dígrafo contiene aristas paralelas y dirigidas.
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5:
12. Una cadena no simple no elemental es aquella que repite vértices y artistas. No se puede ubicar
ninguna debido a que el dígrafo no es doblemente dirigido para poder realizar el camino para repetir ambas.
d) Encontrar un ciclo simple:
Podemos observar que no se repiten ni vértices ni aristas. Por ello esto es un ciclo simple
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
MC 0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0
